渐近方法-—函数的展开

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1、光学中的数学方法,之（渐近方法）,主讲教师：白璐 联系电话：15291456996 Email: http:/ 渐近方法,本章渐进方法着重介绍数学物理中的近似方法，内容包括积分的渐近展开分析与常微分方程的渐进解法两大部分。通过本章的学习目的是为提高数学分析的能力和将理论应用于解决实际问题的本领。该方法在力学、大气科学、物理海洋、光学、声学等研究领域具有广泛的应用。 渐近计算是数学计算的近似方法之一，它是解析方法在一定条件下的发展，其与数值方法相结合可以提高计算的精确程度及计算速度，特别在非线性问题的处理中渐近方法具有重要的地位。,1、 量级符号； 2、 渐近展开； 3、 渐近展开式的运算；

2、4、 积分的渐近展开式； 5、 最陡下降法； 6、 驻定相位法； 7、 常微分方程的渐近解；,第二章 渐近方法,由于某些特殊函数具有积分表示式，如果这些函数是微分方程的解，就可以得到一种以它们的拉普拉斯变换或傅立叶变换的积分表达式表达的解。因此求解积分的渐近展开式的问题在解析函数理论中就起特别重要的作用，它可以使我们得到积分解另一种表达，称此为渐近方法。,比较函数趋于某个极限时的性质常定义：,例：, 2 渐近方法, 2.1 量级符号,1) 同量级,例：,称函数f (x)至多与g (x)同阶。, 2 渐近方法, 2.1 量级符号,2) 量级最多为,也可以说若存在某个常数A，使对定义域D某个内点x

3、0的邻域 V内的所有x，满足,例：, 2 渐近方法, 2.1 量级符号,3) 量级小于,也可以说若存在任一 ，定义域D内点x0总有一的邻域 存在，使得所有 ，满足,称函数f (x)是函数g (x)的高阶小量。,的意义是说 f (x)有界，而 的意义是说f (x)趋于零。, 2.2 渐近展开,下面给出渐近展开的定义和它的一些性质，讨论在扩充的复平面上进行。,一、 渐近序列,设 ，是定义在区间D上的连续函数序列， 是D中的一固定点，若对每一个固定的n，有,则称 为 点的渐进序列。渐近序列可以是有限项也可以是无限项的。 例如：,是对零点的渐近序列。, 2 渐近方法,是对于无穷的渐近序列。,二、 渐近

4、展式,设 是一个给定的函数，而 是 点的一个渐近序列，如果对每个固定的整数n，有 那么称此为 在 点的渐近展式。记为 注意：渐近展式与函数的级数展式不同：对确定的z值，渐近展式的项数无限增多时，所得级数一般是发散的，但若满足渐近展式的定义式，则当 时，取确定的项数n会得到对函数非常好的近似。, 2.2 渐近展开, 2 渐近方法,例1：求 当 时的积分值。,即求 时 的渐近展式。,解：,余项：, 2.2 渐近展开, 2 渐近方法,因此，取展开式的前n项，略去余项，当 时，其误差量级小于所取的最后一项，符合渐近展式的定义，可记为, 2.2 渐近展开, 2 渐近方法,注意： 这个级数对于有限的 x

5、值均不收敛。但是，取确定的项数，会得到对函数很好的近似。如果仅用一项，给出的相对误差为1/x ,结果粗略一些，但已经足够用了。,三、 展开式系数：,当 时， 的渐近展式 的系数为,证明略, 2.2 渐近展开, 2 渐近方法,四、 展开式的构成,设 在区域D中有定义，若 有定义且不为零，则 是 时， 的一个直到N项的渐近展开式。,当 时， 的渐近展式 的系数为,四、 展开式的构成,当 时， 的渐近展式 的系数为,四、 展开式的构成,当 时， 的渐近展式 的系数为,四、 展开式的构成,证明： 首先证明 是一个渐近序列。由 的定义得, 2.2 渐近展开, 2 渐近方法,所以：,又因为：,故存在一个

6、的 邻域使z在其中时：,所以 。由此，各个 都由这种方式定义得, 2.2 渐近展开, 2 渐近方法,五、 唯一性,设 是在D中， 的一个已知渐近序列，若 是当 时， 直到N 项的一个渐近展式，则此展式是唯一的。,注意：这个定理只表示用同一个已知渐近序列表示的展开式的唯一性。但是可能有多个不同的渐近序列对应同一个函数的渐近展式，它们可以不同，而且可以是收敛的也可是发散的。反过来，一个已知的渐近展式可以表示不止一种函数。,的一个渐近 幂级数展式，记为,六、 幂函数的展式, 2.2 渐近展开, 2 渐近方法,其中一种重要的特殊情形是在D中，当 时，如果,则在D中，当 时, 2.3 渐近展式的运算,若

7、在D中，当 时，直到N项有 则：,和,1. 加法：,2. 乘法：, 2 渐近方法,本节讨论渐近展开式的普通运算，由于实际应用中，展式多用 幂函数，以下均以幂函数作为渐近序列。,3. 除法：,即除法为两个函数渐近展开式分别保留到N项相除。,推论：, 2.3 渐近展式的运算, 2 渐近方法,4. 积分 : 当 时，若 则：,其中积分沿从 到 的一条直线路径。,推论 : 当 时，若 则：, 2.3 渐近展式的运算, 2 渐近方法,5. 求导 : 当 时，若 ，且当 时，在D中 存在并有,则在D中渐近展开式满足可逐项积分的条件时，有,推论1：在D中，当 有,且在D中, 2.3 渐近展式的运算, 2 渐

8、近方法,存在并有,若在D中，渐近幂级数满足逐项积分的条件，则,推论2： 对 ，当 时有 且 存在于相同的区域，当 时，有 则,对于解析函数 ，若在区域 当 时有 则在 中，当 有, 2.3 渐近展式的运算, 2 渐近方法,根据渐近展式的定义和相关运算法则，就可以讨论在解析函数理论中常用的积分的渐近展式。,获得积分渐近展式的方法有两种 把被积函数的一部分展开为级数，然后形式上逐项积分； 重复地进行分部积分。,一、 逐项积分法：,瓦特森引理：设, 2.4 积分的渐近展式, 2 渐近方法,式 对Re(z) 0 成立，因为在此定义域两边都解析且在实轴上它们一致。可应用瓦特森引理得到其积分的渐近展开式。

9、做变量代换，令,解：令 则,例：求当 ， 的函数 的渐近展式。, 2 渐近方法,则对给定的值 上述变换给出两个解s(u)和(u)，其中, 2.4 积分的渐近展式,即,且,两个解分别位于最大值s=1的两边其中,于是, 2 渐近方法, 2.4 积分的渐近展式,可以证明,且因当 时， 故 在 有界, 2 渐近方法, 2.4 积分的渐近展式,则可得 与,的关系：,剩下要证明的是 其中 对小的 有一个,麦克劳林展开式。再做代换，令,。它在 处是解析的。因为当,时，有,即,与 的邻域有两个分支。,根据复变函数理论：若,解析，且,则 在,的邻域存在解析的反函数,现在,在,邻域解析，且,在,点不等于零，故在,

10、 2 渐近方法, 2.4 积分的渐近展式,另一支是,注意到,则对足够小的 有,故,令,的邻域存在解析的反函数,式中,是 处 的留数，容易算出 等 。,将最后的表示式带入被积式，并在形式上逐项积分，则由瓦特森引理，在 时，有, 23 渐近方法, 2.4 积分的渐近展式,式中,二、 分部积分法：,的条件下得,。可以看出，所得积分与原来积分形式相似，,故可重复同一过程。, 2 渐近方法, 2.4 积分的渐近展式,的积分渐近形式。,（4）对所有正 ， ，且当 时，,（5）对 ， 存在，则对,当 时, 2 渐近方法, 2.4 积分的渐近展式,的渐近展开式。,令,现在的积分,和定理的假设相符，重复地应用此

11、, 2 渐近方法, 2.4 积分的渐近展式,如果 ，则应将方法修改。但对这种情形，可以采用,下面两节的方法，这里不再赘述。,以上只把分部积分法用于上限为,的积分，现在考虑a和b 有限，,且,的情形，即,设 ，而当 ， 时, 2 渐近方法, 2.4 积分的渐近展式,当 ， 时，因为,故,最徒下降法的思路：,首先令：,则：, 2 渐近方法, 2.5 最陡下降法,积分,其中C,是复平面Z,上的路径，在其中假定,缓变，且f 和g,均具有适当的正则性。,其中 u 和 v 是实函数。,当S 很大时，沿积分路径微小位移所引起的,的微小变化会引起,注意到：, 2.5 最陡下降法,也就是说，最徒下降法的本质就是

12、尽可能利用这样的积分路径：使被积函数在这个路径上u为最大，而等于常数。这样可以保证被积函数变化最速下降，也就保证积分值只与u为最大的点（鞍点）附近的邻域有关，从而可以渐近计算。,事实上，使等于常数的路径也就是u变化最快的路径。以下对此证明：, 2 渐近方法,中复数项的迅速震荡。但如选择积分路径使在其上 为常数，,则震荡就会迅速消失，于是被积函数变化最速部分将为 ，而,显然其主要贡献部分将来自u为最大点的邻域。因而此方法的本,质是尽可能地改变积分路径循着通过u,为最大的点，而等于常数,的路线进行。, 2.5 最陡下降法, 2 渐近方法,证明:,令,是在,邻近的一点，于是由,得：,当,等于常数时，

13、应有,，即,注意到柯西黎曼关系:,可得,此式表明,因此，由极值的条件，在,点，,等于常数的方向也正是u,的最大,变化方向。, 2.5 最陡下降法, 2 渐近方法,为寻找,的最大点，令,，因而,故当且仅当在该点,，,时，取得极值，这样的点称为驻点。,曲面,有极大极小值的条件为,而现在有,，即,，故,，因而,因为u是解析函数满足拉普拉斯方程,表明这里的驻点不是极值点而是鞍点，它连接曲面的“山谷”和“山脊” 沿山脊上升和山谷下降均是u最大变化方向。 对我们有意义的是山谷下降路径，即最徒下降路径，因为只有这一路径上在鞍点附近对积分有显著的贡献，所以这种渐近计算的方法称为：最徒下降法。, 2.5 最陡下降法, 2 渐近方法,鞍点,若,点为鞍点，即,此点的等于常数的曲线方程为,，则,通过,，或,其中t是实数，t 为正代表下降路径， t 为负代表上升路径。,由,在,点的Tailor展开式,现在,，若,(A为正实数),，接近,处,，则,，