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1、1,波 动,2,目录 第1章 振动 第2章 波动 第3章 光的干涉 第4章 光的衍射 第5章 光的偏振,3,第1章 振动 1 简谐振动的描述 2 简谐振动的能量 3 阻尼振动与阻尼受迫振动 4 简谐振动的合成,4,1 简谐振动的描述 一、简谐振动的判据 二、简谐振动的描述,5,机械振动： 物体位置在某一值附近来回往复的变化 广义振动： 一个物理量在某一定值附近往复变化 该物理量的运动形式称振动 物理量：,等等,6,(简谐振动）,振动的形式:,7,重要的振动形式是 简谐振动(S.H.V.) simple harmonic vibration,物理上：一般运动是多个简谐振动的合成 数学上： 付氏级
2、数 付氏积分 也可以说 S.H.V.是振动的基本模型 或说 振动的理论建立在S.H.V.的基础上 注意：以机械振动为例说明振动的一般性质,8,一、简谐振动的判据,表征了系统的能量,位移,振幅,最大位移,由初始条件决定,1.运动学表达式,广义：振动的物理量,弹簧谐振子,特征量：,9,位相 周相,系统的周期性 固有的性质 称固有频率,圆频率,相位,初相位,角频率,取决于时间零点的选择,初位相,10,2. 动力学方程 以弹簧谐振子为例,设弹簧原长为坐标原点,由牛顿第二定律,令,简谐振动,整理得,11,例1 复摆（物理摆）的振动,对比谐振动方程知：,但若做小幅度摆动 即当,由转动定律,得,一般情况不是
3、简谐振动,时,满足的方程：,12,振动的物理量,固有圆频率,角位移,振动表达式,13,思考: 1)证明单摆小幅度摆动时的运动是简谐振动 并求出振动的频率 2）若令一单摆的频率与本例中的复摆的频率 相等 单摆的摆长l应为多少？ （此摆长l叫复摆的等值单摆长）,14,例2 电磁震荡电路,振动的物理量是电量,电流也是谐振物理量,对比,15,1）谐振动表达式,从对象的运动规律出发 （电学规律 力学规律等）,S.H.V.的标准形式,2）动力学方程,S. H. V. 的判据,16,二、 简谐振动的描述,1.解析描述,17,均是作谐振动的物理量,频率相同,振幅的关系,相位差,超前 落后,18,2.曲线描述,
4、19,3.旋转矢量描述,用匀速圆周运动 几何地描述 S H V,规定,端点在x轴上的投影式,逆时针转,以角速度,20,1） 直观地表达振动状态,当振动系统确定了振幅以后 表述振动的关键就是相位 即 表达式中的余弦函数的综量,而旋转矢量图 可直观地显示该综量,分析解析式,可知,用图代替了文字的叙述,21,如 文字叙述说 t 时刻弹簧振子质点 在正的端点,旋矢与轴夹角为零,质点经二分之一振幅处向负方向运动,意味,意味,22,质点过平衡位置向负方向运动,同样,注意到：,23,向正方向运动,或,或,24,由图看出：速度超前位移,加速度超前速度,称两振动同相,2） 方便地比较振动步调,位移与加速度,称两
5、振动反相,若,25,3）方便计算 用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算 例：质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧 组成的弹簧谐振子 t = 0时 质点过平衡位置且向正方向运动 求：物体运动到负的二分之一振幅处时 所用的最短时间,26,解：设 t 时刻到达末态 由已知画出t = 0 时刻的旋矢图,再画出末态的旋矢图,由题意选蓝实线所示的位矢 设始末态位矢夹角为 因为,得,繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的一个运动关系求得,27,2 简谐振动的能量 如 弹簧谐振子,系统机械能守恒 以弹簧原长为势能零点,28,1) 普适,2) 时间平均值,3) 由简谐振动能量求振动,29,例 劲度系数为k的轻弹簧挂在
6、质量为m 半径为R的匀质圆柱体的对称轴上 使之作无滑动的滚动,证明：圆柱体的质心作谐振动 并求出谐振动的角频率,有时由谐振动能量求谐振动的特征量会更方便,30,弹簧原长处为坐标原点 设原点处为势能零点 质心在xc时系统的机械能为,解：分析振动系统机械能守恒 建坐标如图,（注意上式中的是刚体转动的角速度）,31,两边对t求导数 得,将,代入上式,得,32,与动力学方程比较知 物理量xc的 运动形式是谐振动,方便,圆频率,周期,33,3 阻尼振动与阻尼受迫振动 一、 阻尼振动 二、受迫振动 三、共振,34,一、 阻尼振动 1.阻尼振动 系统在振动过程中 受到粘性阻力作用后 能量将随时间逐渐衰减 系
7、统受的粘性阻力与速率成正比 比例系数 叫阻力系数 关系式为:,35,令,称阻尼因子,系统固有频率,2.阻尼振动的动力学方程,由牛顿第二定律有,整理得,式中,36,如果无阻尼,是谐振动的形式,存在阻尼,仍振动但能量会衰减,如果能振动起来（欠阻尼情况） 上述方程的解是什么形式呢？ 从物理上考虑：,阻尼振动方程为,3.振动表达式,37,所以 解的形式必定是 在谐振动的基础上乘上一衰减因子 即形式为：,可以证明：,38,39,二 、受迫振动 1.受迫振动 振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动 2.受迫振动的动力学方程 设驱动力按余弦规律变化 即,由牛顿第二定律有,40,整理得,其中,固有频率,阻尼
8、因子,41,3.稳定状态的振动表达式 受迫振动系统达到稳定时 应做与驱动力频率相同的谐振动 其表达式为：,用旋矢法可求出上式的A和,42,43,画任意时刻旋矢图,由旋矢图可知：,得,位移与驱动力的相位差,44,在弱阻尼即 0的情况下,系统的振动速度和振幅都达到最大值 共振,当 = 0时,三、共振,共振现象 普遍 有利有弊,160年前 拿破仑入侵西班牙 桥塌 几十年后 圣彼德堡卡坦卡河 1940年 美国 桥 大风 流速,45,小号发出的波足以把玻璃杯振碎,46,1940年华盛顿的塔科曼大桥建成,同年7月的一场大风引起桥的共振 桥被摧毁,47,4 简谐振动的合成 一、两个振动方向相同 S.H.V.
9、的合成 二、N个振动方向相同 S.H.V.的合成 三、 拍 四、 两个垂直方向谐振动的合成 五、谐振分析,48,当一个物体同时参与几个谐振动时 就需考虑振动的合成问题 本节只讨论满足线性叠加的情况 本节所讨论的同频率的谐振动合成结果 是波的干涉和偏振光干涉的重要基础 本节所讨论的不同频率的谐振动合成结果 可以给出重要的实际应用,49,一、振动方向相同 振动频率相同的 两个SHV的合成,结果： 仍是谐振动 振动频率仍是,振动的振幅,（双光束干涉的理论基础）,50,若,反相 合振动减弱,同相 合振动加强,特殊结果：,若,若,两振动同相 两振动反相,可能的最强振动 “振动加振动”不振动,51,二、
10、振动方向相同 振动频率相同 振幅相同 相邻相位差相同 的N个SHV的合成,52,线性相加,用旋矢法求解,由图得,53,一般情况,特例 1）,主极大,2）,的倍数的整数,极小,54,3）,次极大,（多光束干涉的理论基础）,55,例：三个同频率 同振幅A0 同方向的SHV 相邻相位差为 /2 求：合振幅A,解：画旋矢图,/3,由图很容易得到 A = 2A0,或将已知条件代入公式,得出结果（请自解）,56,三、 振动方向相同 频率略有差别的 振幅相等的 两个SHV的合成 拍 分振动：,线性相加：,结论： 合成已不再是谐振动 但考虑到 1 2 可以用 谐振动表达式等效 加深认识,57,分析：,则,较,
11、随时间变化缓慢,将合成式写成谐振动形式,58,合振动可看做是振幅缓变的谐振动 合成振动如图示,表达式为,59,拍 合振动的周期性的强弱变化叫做拍 拍频 单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频,测未知频率的一种方法,由式,得,60,四、两个垂直方向谐振动的合成 1. 同频率的谐振动合成,线性相加：,轨迹方程是椭圆,即 合成的一般结果是椭圆,61,不同 椭圆形状、旋向也不同,62,例1 用旋矢法作图,右旋,63,a),SHV,b),振动方向旋转,c),正椭圆 若,（偏振光干涉的理论基础）,例2 特殊结果,圆,64,2.频率比是简单的正整数,合成轨迹为稳定的闭合曲线李萨如图,例如左图：,应用：测定未知频率,65,五、谐振分析,利用付里叶分解 可将任意振动分解成若干SHV的叠加(合成的逆运算）,对周期性振动：,T 周期,k = 1 基频（）,k = 2 二次谐频（2）,k = 3 三次谐频（3）,决定音调,决定音色,高次谐频,66,x2n = 0 , n = 1 , 2 , 3 , ,方波：,思考：有时赞誉一歌唱家：声音洪亮 音域宽广音色甜美 这各指什么物理因素?,67,我国古代对“共振”的认识：,蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，,公元五世纪天中记：,问张华。,张华曰：此盘与宫中钟相谐，,故声相应，,可改变其薄厚。,第1章结束,
