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1、第六章 截面的几何性质,静矩和形心 惯性矩和惯性积 惯性矩和惯性积的 平行移轴和转轴公式 主惯性轴和主惯性矩 组合截面惯性矩的计算 小结,第一节,第二节,第三节,第四节,返回,第五节,第六章 截面的几何性质,第一节 静矩和形心,一、静矩(面积矩）定义： 微面积dA对z轴和y轴的静矩分别为 和,截面（面积A)对z轴和y轴的静矩分别为：,静矩为代数值。静矩单位：,不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同一截面对不同坐标轴的静矩也不同。,若截面形心坐标为zc、yc，将面积视为平行力（即看作等厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得：,当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的静矩为零时
2、，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，则截面对该轴的静矩为零。,返回,下一张,上一张,小结,二、形心公式：,三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：,四、组合截面形心公式：,例5-1 求图示T形截面形心位置。,解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。,分解图形为、两个矩形，则,若分解为、三个矩形，则,返回,下一张,上一张,小结,第二节 惯性矩和惯性积,一、极惯性矩：,定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐标原点的距离平方的乘积2dA,称为该面积dA对于坐标原点o的极惯性矩。,截面对坐标原点o的极惯性矩为：,简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。,实心圆截面：,空心圆截
3、面：,二、惯性矩：,定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为：y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为：,返回,下一张,上一张,小结,定义:平面图形内，微面积dA与其两个坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为该图形对z、y轴的惯性积。,特点：惯性积是截面对某两个正交 坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积 均不同。惯性积是代数值。,单位：,若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。,惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。,惯性矩单位：m4或mm4； 惯性矩恒为正值。,简单
4、图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。,返回,下一张,上一张,小结,三、惯性积：,例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。,解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则：,取微面积dA=hdz,则：,例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。,解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：,取微面积dA=dzdy，则：,返回,下一张,上一张,小结,第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式,一、平行移轴公式：,注意：y、z轴必须是形心轴。,二、转轴公式：,返回,下一张,上一张,小结,第四节 主惯性轴和主惯性矩：,主惯性轴（主轴）使截面对zo、yo轴的惯性积 的这对正交坐标轴；,特点：两个形心
5、主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值； 有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴； 有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； 无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零的 角，即 形心主惯性轴。,主惯性矩（主惯矩）截面对主惯性轴的惯性矩；,形心主惯性轴（形心主轴）通过形心的主惯性轴；,形心主惯性矩（形心主惯矩）截面对形心主轴的惯性矩。,第五节 组合截面惯性矩的计算,工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。,返回,下一张,上一张,小结,例54:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。 解:(1)确定形心坐标y
6、c.,(2)计算形心主惯性矩： (z、y轴即形心主轴）,返回,下一张,上一张,小结,小 结,一、静矩：,性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；,二、极惯性矩：,实心圆截面： 空心圆截面：,三、惯性矩：,四、惯性积：,矩形截面： 圆形截面：,几何关系：,五、平行移轴公式：,返回,下一张,上一张,小结,六、主惯性轴和主惯性矩：,形心主惯性轴（形心主轴）通过形心的主惯性轴；,形心主惯性矩（形心主惯矩）截面对形心主轴的惯性矩。,主惯性轴（主轴）使 的这对正交坐标轴；,主惯性矩（主惯矩）截面对主惯性轴的惯性矩；,七、平面图形几何性质的几何意义：,1. 静矩：图形的形心相对于指定坐标轴之间距离的远近程度；,2. 极惯性矩：图形的面积相对于指定坐标原点之间分布的集中或分散程度；,3. 惯性矩：图形的面积相对于指定坐标轴之间分布的集中或分散程度；,4. 惯性积：图形面积相对于指定的一对正交坐标轴之间分布的集中或分散程度。,返回,下一张,上一张,小结,
