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1、建结方力 , 则在ABD及I天C中知 , IC=月刀 , jRCK一A3 , 乙力月刀一乙 B C力。 乙Cl刀 , : . CJ刀望DAB _ 夕,a 艺AD B一艺ICR . 但艺月几B一乙ACB 。 匕IC 尸二艺AC B . 但由作图知 , BCI为一直 线 , ACR必为一直 线 . 这就是说 , 分力击对A点的力矩一开 . A H , 分 力。露对,点 的力矩一介 . A 。(丫 之Ac D , 9 0 0 ) 又 : RC的延长 线通过A点 , . , . 又 由于 两个分力矩转动的方 向相反 , 合力CR对A点 的力矩= CR 0一0 . : . !c I 月H一C K A引二
2、0: . 但Cl的大小与刀刀相等 , cK的大小与AB相等 , 且D AH 一AB AC二。, 即 诫刀 通H= AB AC . 即过c A丑=滋刀 滋H . 于是得到 了证 明 . 关于三角函数 的一些不等式 何宇 联结三 角函数 与三 角函数 , 三角函数 与有理数函数的一些不等式 , 形式优 美 , 证法典 型 , 结果非常有用 , 本文略述如 次 。 若 ”( 丈今 则s i nx x t g x 这个不等式是大家所熟知的 , 再进一步协最简单的不等式也许要数下列I 。心“不 等式 . . 一 一 一 万 , ._ 、 2 有 u 、等、子 则 s协x 户了 x 其证法之一是基于对函数
3、甲(x ) “ 兰 华 王(0 0与 功 (x)- f 孰 篡 牙 一 6等价 我们有 , ., 、_ 。_ 、子 , 1 , _ 。 _ 、一手, 。: . ,、: 。 W 气汤/ 一 kuJ丹/ 下下 气U。卉/、。二“曲J 一 l - J 功 扩(二) 一 粤( J eo 、x ) 一 含 s;nx + 告 “ o , 一 丈 S , n x )+ 号 snx (c o s x ) 一告- 一告(c o sx ( 5 in x)昌 。 当。 , 从而由功 “(o ) 0 可知功 ( x ) 。 , 又由叭(o ) “ 。可知 功(x ) 0 。 因此中 , (x乡 0 , 切(x)在(0
4、 三 2 单调增加 。 命题得证 。 从命题 2 的证 明我们想 到 , 既然中(x ) 二 5I nX X 在 (。 , 粤 单调下降 , , (+ 。)二1 乙 并且它是一个偶函数 , 首 先 , 命题 1就表示 这 些性质都是co s x 所具备的 , 那末拿它 与co s x 比较是很有兴趣的 。 c 罕引 进一步 , 5InX XX sn 丁 c os 丁 X X 2 一 , X 、 。0 5丁, ” 0 , 则使不等式 。竺梦1 + p co s二 丫旦)梦 . 一 X 护 X 在( 。 , 要成立 , 最大的 。和最 小的: 是 刁 .人 ,+ 万 一 Zp 2 ! 夕 、l !
5、 、 一一 P+1 一1 石 . 夕诀 ; , ;扩 弓 乙 了 二 . Z _ 2 右 P户万 。 砂 若,( 晋 一, 若” 号 一, . 2 / l 1 | 、 e e | s e 、 一一 q 、r, 1 , , 2 二 曰百 久 F 气下明 , 最大的 q 值较 为复杂 , 对 此以及本命题的证明请参见(2 。 还可以拿( 罕 ) 与 cosx 比较 , 我们有 在( 0 , 使不 等式 co s二夕 罕 ) 普 , 成立 , 最大的 “ 是 “ - 合 ,都成立 . 另一方 面 , 不存在常数石使不等式 (半) 3 , 则一黔典了 0使* , (x ) 0 L “ 一 1夕 - (
6、D ”即 c o s ( 罕 ) (0 0 使c o sx 3时 , 无 论裤式 。 ( 罕 ) 都不可能在整个 区间 (0 , 粤) 成立 . 研究函数 甲(t ) - 命题证毕 . 2 一 5 in t 2一C O St 的极值 , 可以证明 . 对任意实数 : , 韶 4 一、 二 、令 笼黔号 ( 4+ 万 , . 于是还可导 出 . 对 所有实数 / 和 , 告 ( 卜万 ) 彩摆黔转号 (4 十 万 ) . 为了证此 不等式 , 不妨设 si n t 午 。o s t 。 设 , 共李奥续斗 X “ 十X CO S 不十 i 即 (百一1)x Z + (夕 c o s玄一sin 右
7、)工+ (, 一z )= 0 . 从而 万的取值范围为(, eost 一sint ) . z 一4 (夕 一1) 2 ) 0 . 此不等式的左端 , 当才固定时是一个 夕的二次 式, 二 次项系数为负 , 所以设 其零点为夕 , 和, 2 , 夕, 卒 : 时 , 此不等 式的解为y : ( , 夕 2 。 容易算出 , 方程(g eo st 一 sin t ) “一 4(, 一1 ) 2 一O的根为 2 一 5 in t Z + sin t _2一 sin ( t + 兀 ) . 2 一 。 ost 2+ eo st 一2 一e os(t + 汀 ) 于是 根据命题 7 证得本命题 . 转而
8、考 察正切函数 . 为了刻 划t g 要 x , 石 调奇函数 中。) . 奇函数这个性质 很重要 , 应该用满足 中(o )一0 , 甲(1一O)二+ c o的单 请比较命题9和命题1 0 的 结果 。 。 。 一 _ , J , , Z x 一 _ _ 兀 _. 一 万 幼。 牙万 , U 溉 ; 弄 叹 . 1 , 卿二了 代厂一一一二丁诀之19二二弄决尧二不 弃l 一 泥石 X 1一 x 常数令和晋是最 好可能的 事实上 , 记 中(x ) X 1 一 劣 兀 tg 只户 x 乙 。,_ , _ _ 、 1 纵L生甲 气不少一 甲厂气万一一 . 刃 又飞 犷 、l一满少 - 才矛(x
9、) t ( x )一 万 2 万 一 X 多 军 2 . , 万 , “n 一丁 以 , x 户 4导 利用命题 1和命题2 可得粤切 , (x), , (x)( 要 , (x) ( 、o x ( z ) . 于是 由中(o)= tg(o)二 。得出备, ( x )、 (x,、号, (二) . 这就是所 要证的不等式 . 常数备和香为什么最好, 因为我们有 1im Z 冲i一 t (x) 切(x ) _ 叁 , 1im t (x) 甲(x ) 万 2 利用幂级数展 开比较系数的方 法 , 还可证 明 (参见 (3) ) , 。 , n 一 ., / 。,r 4 x 一 、_ 万 _ ,U .
10、推万U诀; 弄、l , 火l J下二二了一一甲-歹诀之t匕下不弄 儿 1 . 一X 一 乙 ( 普 丁专 显然 , 当。“ 0 所以 X , . 贵 、 cos 万一 c os叹“ + 言) x X “O s 一丁十 1 2 , n 号 ( _ . 万 z”In 万 1 X 二二州 二 州Cl芡 二. 匕 一 4 - 义 , . 1 、 _ X 竺泣兰 勺 翌二土 宜竺 一 翌 互二 一二 。_ _ 不 。 _ _X 乙盔n 丁 乙万n 丁 = 一 喜 :g 尊 . 乙4 类似地 , 可证 十 王 一 2 卯 12 . 若 x 为任意 实数 , 但不是2汀的整数倍 , 交 。S 副引一丛一 !
11、 I乙“,“丁l 关于 息 少 习(一 1)正 一1 sin k义 k恳 sin (2无+ 1) 劣 这一类三 角多项式的估计常 引起 人们的兴趣 . 1 3 . 设函数 p (x ) 定 义于 区 间(D , 万), 汀 , ” 一1 , 2 , 一 Zk+1 最近协 T o d 口成4 证 明了下 列较一般的命题 : 并且满 足条件 O 0 ; 若 p (x)发表一文 以 下 称 原文” ) , 作者 从分析一个美国中学数学竞赛试题 : 证 明 : 三个不 同 素 数 的 平方 根 , 不能 是等差数列中的三 项 (不必连续的 ) 。 ” 的证明出发 , 提 出 了原 文 中 的 例1一例
12、 3 , 并进 而把它们 推 广成 下面的 性质1假设 “, b , 。 是三个不同的正整 数 , 其 中至少有两个素 数 , 那 末 , 群万 , 粼瓦粼万不 能是一个等 差数列中的 三项 ( 不必 连续 ) . 其中 ” 是大于 1的 正整数 . 性质 2 设 “ , b , : 是三个不 同的正有理数 , 且子百/ 了了是无理数 , 则扩五 , 岁下 , 刀万不能是等差数列中的 三项(不必连续) , 其 中p , q , 丸 是正整数 . 作者借用Ga l o i s理论基本定理的一个结果(请见原 文p . 5 )简洁地证明了上述二个性 质 。 他并在原 文 中表示 : 由于例 3 及 性质1的初等证法 , 似乎困难较 大 , 这方面有待读者去 探讨 。 本文的目的就是给 出性质 1 , 2的不 用Ga l 。行理论的 “初 等 ” 证法 . 我们 要利用原文的二个引理 : 引理1设 a , 日 , 了都是非 零实数, 。 , 。 2 , 。 : 是三个单位根 , 且 a+ 日+ 了“ ;a +。 2 吞+ ” 3 了= o , 贝 IJ“; = 。 2 二。 3, 即三个单位根 必须都 相等 . 引理2设 , , 是 二个不同 的 素数 , 则吞玉/ 粼于是无理数 , 其 中 ” 是大于 1 ; 的 正 整 数 , (引理1 , 2的证明请见原文p , 4 , )
