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1、7/4/2019,1,第六章 线性离散系统与z变换,二、采样过程与采样定理,三、Z变换与Z反变换,四、脉冲传递函数,五、离散系统的稳定性分析,六、数字控制器与离散PID控制,一、概述,七、小结,7/4/2019,2,第六章 线性离散系统与z变换,一、概述,连续系统与离散系统,连续控制系统 系统中各部分传递的信号为随时间连续变化的信号。连续控制系统通常采用微分方程描述。,离散控制系统 系统中某一处或多处的信号为脉冲序列或数字量传递的系统。离散控制系统通常采用差分方程描述。,7/4/2019,3,第六章 线性离散系统与z变换,离散控制系统的分类,采样控制系统,间断地对系统中某些变量进行测量和控制。
2、,sa 受某一信号控制，使其短暂接通后立即断开。采样开关接通的时间间隔可以相等，亦可不等，相等时称为均匀采样。,7/4/2019,4,第六章 线性离散系统与z变换,连续信号 (t)经采样开关后成为离散信号*p(t)。该过程称为采样，相应离散控制系统称为采样控制系统。,采样控制系统的特点：采样开关闭合时，系统处于闭环工作状态，断开时处于开环状态。,7/4/2019,5,第六章 线性离散系统与z变换,采样控制最早出现于某些大惯性或具有较大滞后特性的对象控制中。,例如，工业炉温度控制系统。工业炉可以视为具有延迟时间 的惯性环节，其延迟时间可长达数秒甚至数十秒，惯性时间常数也相当大，采用常规控制无法解
3、决控制精度与动态性能之间的矛盾，而采用采样控制将取得良好的控制效果：可以取较大的开环增益保证稳态精度，又可抑制系统调节过头产生大幅振荡。,7/4/2019,6,第六章 线性离散系统与z变换,数字控制系统,系统中含有数字计算机或数字编码元件。,图中，A/D：模拟信号至数字信号转换器； D/A：数字信号至模拟信号转换器。,7/4/2019,7,第六章 线性离散系统与z变换,A/D转换,7/4/2019,8,第六章 线性离散系统与z变换,D/A转换,7/4/2019,9,第六章 线性离散系统与z变换,图中，sa 与sb同步开关。 保持器：实现信号复现。将离散信号恢 复为模拟信号。,7/4/2019,
4、10,第六章 线性离散系统与z变换,7/4/2019,11,第六章 线性离散系统与z变换,离散控制系统的特点,采样信号特别是数字信号可以有效抑制噪声， 从而提高系统抗干扰能力；,由计算机构成的数字控制器，控制规律由软 件实现，易于改变，控制灵活，且效果优于 连续式控制。,允许采用高灵敏度控制元件，提高控制精度。,可实现分时控制若干系统，提高设备利用率。,对大延迟系统可以引入采样方式稳定。,可以实现各种先进控制方式。,7/4/2019,12,第六章 线性离散系统与z变换,离散控制系统的研究方法,差分方程,z变换,经过 z 变换处理后的离散系统，可以将连续系统的分析方法经过适当改变应用于离散系统的
5、分析和设计。,状态空间,虽然采样控制系统和数字控制系统的构成及部件存在基本区别，但其分析和设计方法相同。,7/4/2019,13,第六章 线性离散系统与z变换,二、采样过程与采样定理,采样过程,设 sa 每隔时间T接通一次，接通时间为 ，并满足T 。 T 称为采样周期。其倒数称为采样频率。,由于T ，故可近似认为在 时间间隔内，输出维持不变。,7/4/2019,14,第六章 线性离散系统与z变换,从而：,当 T，且远远小于离散系统连续部分的时间常数时，可近似认为 0。从而有：,7/4/2019,15,第六章 线性离散系统与z变换,注意到：,从而：,7/4/2019,16,第六章 线性离散系统与
6、z变换,令：,可见，采样过程可理解为脉冲调制过程，即连续输入信号 x(t) 对周期的理想脉冲载波信号进行调制，调制后在nT 时刻的脉冲强度为x(nT)。,注意到：,因此，采样开关结构图可表示为：,7/4/2019,17,第六章 线性离散系统与z变换,显然由 X*(s)可以直接看出x*(t)的时间响应。,但须注意，由于 x*(t) 只描述了 x(t) 在采样瞬时的数值，故 X* (s)不能给出 x(t)在采样间隔之间的信息。此外也不能认为x*(t) 在采样间隔内数值为0。,上述分析过程中，假设了：x(t)=0，t 0，该条件对实际控制系统通常都是满足的。,对x*(t) = x(t)T(t)进行拉
7、氏变换：,7/4/2019,18,第六章 线性离散系统与z变换,采样定理,x*(t)只给出了x(t)在时域的部分信息，为了能从x*(t)不失真地恢复出原始的连续信号x(t)，采样间隔（采样频率）需要满足一定的条件。,7/4/2019,19,第六章 线性离散系统与z变换,由上述时域采样图形分析可见： 对单个连续正弦信号进行采样，采样频率不 能低于信号频率的两倍；,对多个正弦信号叠加组成的信号进行采样， 采样频率不能低于信号中最高频率的两倍。,7/4/2019,20,第六章 线性离散系统与z变换,工程中的连续信号 x(t) 都可以通过傅立叶级数或傅立叶变换展开为多个或无穷个正弦信号分量的叠加，即信
8、号的频域描述(频谱)。,如对周期为T0的信号x(t)，其傅立叶级数展开,7/4/2019,21,第六章 线性离散系统与z变换,如非周期信号x(t)，其傅立叶变换对为,7/4/2019,22,第六章 线性离散系统与z变换,根据前述时域采样的分析，若连续信号 x(t) 不包含任何大于 max 的频率分量(带限信号)，则为了能从采样信号x*(t)无失真地恢复出原始的连续信号x(t) ，采样频率s必须满足： s 2max（或：fs 2fmax） 此即为香农采样定理。,实际采样时，fs常取为信号最高频率的34倍。,7/4/2019,23,第六章 线性离散系统与z变换,信号恢复,7/4/2019,24,第
9、六章 线性离散系统与z变换,由图可见，采样信号x*(t)的频谱X*()是以采样角频率 s 为周期的无穷多个原连续信号x(t) 的频谱 X() 幅值变化了1/T 倍，并沿频率轴平移了ns后的和。n = 0处的频谱称为采样信号频谱的主分量， ns (n 0) 处的频谱为采样引起的高频辅助分量。,易见，若采样信号x*(t) 满足采样定理，则通过截止频率为s/2的理想低通滤波器可准确地恢复出原始信号x(t) 的频谱 X()，即恢复出x(t)。,7/4/2019,25,第六章 线性离散系统与z变换,实际滤波器不可能具有理想的频率截止特性，即理想滤波器是不存在的。工程中通常通过保持器（低通滤波器）来恢复连
10、续信号x(t)。,保持器数学描述,从采样过程可知，在采样时刻上，脉冲序列的脉冲强度等于连续信号的幅值，但在两个相邻的采样时刻之间，连续信号的幅值未知，只能根据采样时刻的脉冲强度进行插值或外推。,7/4/2019,26,第六章 线性离散系统与z变换,保持器就是实现外推功能的一种装置。能够物理实现的保持器只能根据现在时刻和过去时刻的采样值完成外推，而不能根据将来时刻的采样值完成外推。,保持器的外推规律通常用多项式关系描述：,其中，0tT。系数 a0am 由过去m+1个采样值x*(n-m)T x*(nT)确定。 m称为保持器的阶次。,7/4/2019,27,第六章 线性离散系统与z变换,零阶保持器,
11、零阶保持器的外推公式为：,即零阶保持器按常值外推，将前一采样时刻nT 的采样值 x*(nT)一直保持到下一采样时刻(n+1)T 到来之前，从而使离散采样信号 x*(t)变成阶梯连续信号xh(t)。,7/4/2019,28,第六章 线性离散系统与z变换,若将上述阶梯信号xh(t)的中点连接起来，即可得到与连续信号 x(t)形状一致但滞后半个采样周期的响应x(t -T/2)。,注意到：,7/4/2019,29,第六章 线性离散系统与z变换,若考虑保持器串接于采样器之后，并考虑保持器的输入为x*(t)，即将采样器中的考虑到 保持器中去：,7/4/2019,30,第六章 线性离散系统与z变换,从而由：
12、,可得结合后零阶保持器的传递函数：,因此，分析采样控制系统时，若保持器的传递函数表示为上述形式，则采样信号将直接表示为x*(t)，而不必考虑 的影响。,7/4/2019,31,第六章 线性离散系统与z变换,零阶保持器的频率特性：,7/4/2019,32,第六章 线性离散系统与z变换,零阶保持器的特点：,非理想的低通滤波器。允许部分高频分量 通过，导致恢复出的连续信号存在纹波。,时间延迟特性。延迟时间为 T/2 ，使系统 相角滞后加大，对稳定性不利。,相位滞后是各阶保持器的共性，与一阶及高阶保持器相比，零阶保持器具有最小的相位滞后，且结构简单，易于实现，因此，实际系统普遍采用零阶保持器。,7/4
13、/2019,33,第六章 线性离散系统与z变换,Z变换,三、Z变换与Z反变换,考虑连续信号x(t) (x(t)=0，t0)，其采样后的离散信号：,显然，离散信号x*(t)的拉氏变换为s的超越函数。,令： 或,7/4/2019,34,第六章 线性离散系统与z变换,显然，z是复变量，通常称为z变换算子。,采样信号x*(t)的z变换定义为：,记作：,注意：上式中，Z x(t) 只是为了书写方便，并不是指连续信号x(t)的z变换。z变换又称为采样拉氏变换。,7/4/2019,35,第六章 线性离散系统与z变换,z变换的方法,根据定义求解 级数求和法,例1 求单位阶跃函数1(t)的z变换。,解：,注意到
14、：,7/4/2019,36,第六章 线性离散系统与z变换,例2 求理想脉冲序列T (t)的z变换。,由例1、例2 可见相同的z 变换对应于相同的采样信号x*(t) ，但不一定对应于相同的原始连续信号x(t) 。,7/4/2019,37,第六章 线性离散系统与z变换,例3 求指数函数x(t)=e-at(a0)的z变换。,解：,根据定义求得的z变换为无穷级数形式，对于常用函数z变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。,7/4/2019,38,第六章 线性离散系统与z变换,z变换的无穷级数形式具有明显的物理意义：z-n (n = 0, 1, 2, )的系数直接表示连续时间函数在各采样时刻上的采样值，而
15、指数n表示 从t = 0开始，以采样周期T为间隔的各个采样时刻nT。,因此，z变换含有时间的概念，可由连续函数z变换的无穷级数形式清楚地看出其在各采样时刻上的采样序列的分布情况。,7/4/2019,39,第六章 线性离散系统与z变换,部分分式法,步骤： 求已知连续时间函数x(t)的拉氏变换X(s)；,将X(s) 展开为部分分式形式，使每一部分 分式对应简单的时间函数，求得其相应的 z 变换；,将各部分的z 变换相加获得x(t)的z变换。,7/4/2019,40,第六章 线性离散系统与z变换,例4 已知连续函数的拉氏变换： 求相应的z变换。,7/4/2019,41,第六章 线性离散系统与z变换,
16、例5 求 x(t) = sint 的z变换。,解：,7/4/2019,42,第六章 线性离散系统与z变换,留数计算法,若已知：,则：,7/4/2019,43,第六章 线性离散系统与z变换,例6 求单位速度函数x(t) = t (t 0)的z变换。,7/4/2019,44,第六章 线性离散系统与z变换,其它方法,例7 求 x(t) = cost 的z变换。,解：,7/4/2019,45,第六章 线性离散系统与z变换,例8 求单位阶跃函数的z变换。,解：由于,7/4/2019,46,第六章 线性离散系统与z变换,z变换的性质,线性性 Zax1(t)+bx2(t) = aZx1(t)+bZx2(t) 其中a、b为常数。,时域位移定理,其中k为正整数。,滞后定理,超前定理,7/4/2019,47,第六章 线性离散系统与z变换,证明：,当m0时，x(mT)=0,7/4/2019,48,第六章 线性离散系统与z变换,7/4/2019,
