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1、2.1 逻辑代数,2.2 逻辑函数的简化,第二章 逻辑函数及其简化,2.1 逻辑代数,2.1.1 基本逻辑,2.1.2 基本逻辑运算,2.1.3 真值表与逻辑函数,2.1.4 逻辑代数的基本定律,2.1.5 三个规则,2.1.6 常用公式,2.1.7 逻辑函数的标准形式,2.1.1 基本逻辑,与、或、非三种基本逻辑关系,(1) 与逻辑关系,只有当决定某一事件的条件全部具备时，这一事件才会发生。这种因果关系称为与逻辑关系。,(2) 或逻辑关系,只要在决定某一事件的各种条件中，有一个或几个条件具备时，这一事件就会发生。这种因果关系称为或逻辑关系。,(3) 非逻辑关系,事件发生的条件具备时，事件不会
2、发生；事件发生的条件不具备时，事件发生。这种因果关系称为非逻辑关系。,基本逻辑关系在逻辑代数中的描述,(1) 真值表描述法,在逻辑代数中用字母表示逻辑变量，逻辑变量在二值逻辑中只有0和1两种取值，以代表两种不同的逻辑状态。 用状态变量和取值可以列出表示三种基本逻辑关系的图表，称为逻辑真值表，或简称真值表。,(2) 数学表达式描述法,与逻辑： P = A 又称为与运算或逻辑乘。,或逻辑： P = A + 又称为或运算或逻辑加。,(3) 逻辑符号描述法,现行国家标准,过去适用的符号,国外常用的符号,能实现基本逻辑关系的基本单元电路称为逻辑门电路。如与门、或门、非门（反相器）等。,2.1.2 基本逻
3、辑运算,逻辑加（或运算）,P = A +,逻辑非（非运算）,复合逻辑运算,(2) 或非逻辑,P = A+B,(3) 与或非逻辑,(4) 同或逻辑,若两个输入变量的值相同，输出为1，否则为0。,(5) 异或逻辑,若两个输入变量的值相异，输出为1，否则为0。,同或与异或逻辑的关系：,算术运算:当两个二进制数码表示数量大小时,它们可以进 行数值运算,称这种运算为算术运算.,逻辑运算:对两个或一个逻辑数(不带符号的二进制数)进行 “逻辑非”,”逻辑加”,”逻辑乘”,”逻辑异或”等运算.,X=01001011,X=,10110100,10100001 10011011 ,10111011,1011100
4、1 11110011 ,10110001,10101011 11001100 ,10101011 11001100 ,01100111,10011000,算术运算与逻辑运算,2.1.3 真值表与逻辑函数,求解给定逻辑命题的逻辑函数表达式。,第一步：消化逻辑命题并列写真值表。,第二步：由真值表写逻辑函数表达式。,方法一：把每个输出为1的一组输入变量组合状态以逻辑乘形式表示（当输入变量的取值为1时，用原变量表示，当输入变量的取值为0时，用反变量表示），再将所有的这些逻辑乘进行逻辑加。这种表达式称为与或表达式，或称为“积之和”式。,方法二：把每个输出为0的一组输入变量组合状态以逻辑加形式表示（当输入
5、变量的取值为0时，用原变量表示，当输入变量的取值为1时，用反变量表示），再将所有的这些逻辑加进行逻辑乘。这种表达式称为或与表达式，或称为“和之积”式。,楼道灯控制电路逻辑函数的建立,例2-1 列出下列问题的真值表，并写出描述该问题的逻辑函数表达式。 有A、B、C个输入信号，当个输入信号中有两个或两个以上为高电平时，输出高电平，其余情况下，均输出低电平。,解 根据题意可得到如表2-1-13所示的真值表：,“积之和”式：,“和之积”式：,2.1.4 逻辑代数的基本定律,假设F和G都是变量A1、A2、An的逻辑函数，如果对应于A1、A2、An的任一组状态组合，F和G的值都相同，则F和G是相等的，记作
6、FG。,若FG，则它们具有相同的真值表；反之，若F和G的真值表相同，则FG 。,例2-2 设F(A,B,C)=A(B+C)，G(A,B,C)=AB+AC，请证明：F = G。,解 列写函数F和G的真值表，如果二者的真值表完全一致，则说明FG。,逻辑函数相等,由真值表可见，对于任何一组变量的取值， F和G的值完全相同，所以FG。,(1) 关于变量和常量关系的公式,逻辑代数的基本定律,(2) 交换律、结合律、分配律,A ( B C ) = AB AC,分配律：,A ( B + C ) = AB + AC,+,A + BC = ( A + B )( A + C ),A + ( BC ) = (A +
7、 B ) (A + C ),+,(3) 特殊规律,2.1.5 三个规则,代入规则,任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现变量A的地方都代之以一个逻辑函数F，则等式仍然成立。,例2-3 已知等式A(B+E)=AB+AE，试证明将所有出现E的地方代之以(C+D) ，等式仍成立。,解 原式左边AB+ (C+D) AB+A(C+D) AB+AC +AD 原式右边 AB+A(C+D) AB+AC +AD 所以等式仍然成立。,反演规则,解 由反演规则，可得,若用反演律求解，则,解 由反演规则，可得,注意:(1)保持原来的运算优先顺序， (2)对于反变量以外的非号应保留不变。,对偶规则,设F是一个逻辑函数
8、表达式，如果将F中所有的与运算和或运算互换；常量0和常量1互换，则可得到一个新函数式F。F称为F的对偶式。,推论：等式的对偶式也是等式，即：,写出下列各函数的反函数表达式及对偶函数表达式 F=(AB+C)D+EB (2)F=AB(C+D)BCD+B(C+D) (3)F=C+ABAB+C,2.1.6 常用公式,2.1.7 逻辑函数的标准形式,最小项表达式,(1) 最小项,设有n个变量的逻辑函数，在由此n个变量组成的乘积项（与项）中，若每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，而且仅出现一次，则这样的乘积项称为n变量逻辑函数的最小项。 最小项可用符号mi 表示，下标 i 的确定方法是：对于最小项中
9、的各变量，用1代替其中的原变量，用0代替其中的反变量，得到一个二进制数，下标 i 就是与此二进制数等值的十进制数。例如三变量逻辑函数的最小项：,最小项的性质： 对于任意一个最小项，只有一组变量的取值可以使其值为1，其余均为0； 任意两个最小项mi 和mj 之积为0（ij）； n个变量的所有最小项（2n个）之和为1。,最小项表达式的书写形式：,(2) 最小项表达式 全部由最小项相加而构成的与或表达式称为最小项表达式，又称为标准与或式，或标准积之和式。,(3) 逻辑函数展开成最小项表达式 方法：先变换成与或表达式，然后将各与项中所缺的变量逐步补齐。任何逻辑函数都有惟一的最小项表达式。,最大项表达式
10、,(1) 最大项,设有n个变量的逻辑函数，在由此n个变量组成的和项（或项）中，若每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，而且仅出现一次，则这样的和项称为n变量逻辑函数的最大项。 最大项可用符号Mi 表示，下标 i 的确定方法是：对于最大项中的各变量，用0代替其中的原变量，用1代替其中的反变量，得到一个二进制数，下标 i 就是与此二进制数等值的十进制数。例如三变量逻辑函数的最大项：,最大项的性质： 对于任意一个最大项，只有一组变量的取值可以使其值为0，其余均为1； 任意两个最大项Mi 和Mj 之和为1（ij）； n个变量的所有最大项（2n个）之积为0。,最大项表达式的书写形式：,(2) 最大项
11、表达式 全部由最大项相与而构成的或与表达式称为最大项表达式，又称为标准或与式，或标准和之积式。,(3) 逻辑函数展开成最大项表达式 方法：反复利用分配律A+BC=(A+B)(A+C)进行变换。任何逻辑函数都有惟一的最大项表达式。,最小项与最大项之间的关系,可以看出：编号相同的最小项和最大项具有互补的特性。如：,两种标准形之间的相互转换,(1) 最小项表达式最大项表达式,(2) 最大项表达式最小项表达式,2.2 逻辑函数的简化,2.2.2 公式化简法（代数法）,2.2.3 图解法（卡诺图法）,2.2.4 逻辑函数的系统简化法,2.2.1 简化的意义和目标,2.2.1 简化的意义和目标,意义：用化
12、简后的表达式构成逻辑电路，可节省器件，降低成本，提高工作的可靠性。,目标：化简为最简的与或表达式。 乘积项的个数最少； 每个乘积项中包含的变量数最少。,化简的主要方法： 公式法（代数法）； 图解法（卡诺图法）； 系统简化法（列表法）(不要求)。,与非与非式,最简与或式,逻辑函数不同表达形式及其电路实现,给定真值表，可以有不同的表达式：,标准与或式,标准或与式,最简或与式,或非或非式,与或非式,对应电路实现,各电路复杂程度不一： 门的种类 门的个数 每个门所需输入端数,与非与非式,与或式,标准与或式,标准或与式,或与式,或非或非式,与或非式,逻辑函数简化方法,运用逻辑代数的定理和规则对逻辑函数进
13、行恒等变换,代数法化简原理,两个基本工具,2. 化简逻辑函数的工具和简化标准,代数,卡诺图,化简的标准,门的种类 门的个数 每门所需输入端数,最终公式形式,最简与或式、最简或与式 最简与非与非式、最简或非或非式 最简与或非式,最简的 “与或”表达式： 相与项（即乘积项）的个数最少门的个数少 每个相与项中，所含的变量个数最少门的输入端少,2.2.2 公式化简法（代数法）,公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式和常用公式化简逻辑函数。,合并项法： 利用公式 将两项合并为一项。,吸收法：,利用公式 消去多余项。,消去法：利用公式 ，消去多余因子。,配项法： 利用公式 ，将某一乘积项展开为两项，或添加某
14、乘积项，再与其他乘积项进行合并化简。,解,方法一：利用各公式的对偶式进行化简：,方法二：将或与表达式转换成它的对偶与或式，先对与或对偶式进行化简，再求化简后的与或式的对偶式。,归纳：利用公式法化简逻辑函数，要求熟练掌握对公式的运用，技巧性较强。判断化简后的结果是否最简有一定的难度。,化简:,D,C,BC,A,BC,D,C,BC,),C,B,(,A,BC,D,C,D,B,AB,D,C,A,BC,B,A,A,D,B,A,C,A,F,5,+,+,=,+,+,+,=,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,=,ABC,),CD,CD,B,(,C,B,A,),C,D,A,)(,B,A,)(,B,A,)(
15、,B,A,(,F,6,=,+,+,+,+,+,+,+,+,+,=,卡诺图就是将逻辑变量分成两组，每一组变量取值组合按循环码的规则排列所构成的方格图，图中的每一个方格对应着逻辑变量的一个最小项。 所谓循环码，是指相邻两组编码之间只有一个变量值不同的编码。,2.2.3 图解法（卡诺图法）,什么是卡诺图,用卡诺图表示逻辑函数的方法,依据：由于任意一个n变量的逻辑函数都可以变换成最小项表达式，而n变量的卡诺图包含n个变量的所有最小项，所以n变量的卡诺图可以表示n变量的任意一个逻辑函数。,方法：逻辑函数包含有哪几个最小项，就在卡诺图相对应的方格内填1，其余各方格填0。具体方法主要有(1)利用真值表直接填图;将逻辑函数化为最小项表达式填图;观察法填图,例如：逻辑函数 ，可在变量卡诺图对应的m3，m5，m6，m7方格内填1，其余方格填0。,填1的方格表示当函数的变量取值与方格所对应的变量取值相同时，逻辑函数的值为1。,(1) 将逻辑函数变换成最小项表达式的形式。,(2) 观察法：对于某乘积项，找出所有使得该乘积项为1的变量取值情况，则在这些变量取值所对应的方格内都填1，就是该乘积项的卡诺图表示。,对于乘积项 ，只有当变量取值为0100和01
