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1、数字电路与逻辑设计,第2章：逻辑代数,2-1 概述 2-2 逻辑代数基本概念 2-3 逻辑代数定理及规则 2-4 逻辑表达式的形式与变换 2-5 逻辑函数化简,吉林大学仪器科学与电气工程学院：数字电路与逻辑设计,2-1-1 逻辑,所有客观规律都是不以人的意志为转移的，牛顿力学定律是客观规律，所以牛顿力学定律是不以人的意志为转移的。 有的学生是共青团员有的共青团员是学生。 三角形内角和为180度；半径为R的圆的面积是PixR2。 事物内部都存在矛盾运动，其发展方式是以“否定之否定”规律螺旋式上升的。,2-1-2 逻辑代数,用数学的方法去研究“形式逻辑”问题 逻辑代数。,2-2-0 逻辑代数引,“
2、灯与开关的问题”,三种基本逻辑运算,逻辑乘(“与”运算) 决定某件事的多个条件必须同时满足，事件才发生。 逻辑加(“或”运算) 决定某件事的多个条件中，只要满足其中一个条件，事件便发生。 逻辑非(“非”运算) 决定某件事发生的条件不满足，事件才发生。,2-2-0 逻辑代数引,“灯与开关的问题” 特征总结 逻辑值只有“1”和“0”，没有数值大小的意义，只表示两种对立的状态； 三种基本运算：逻辑乘、逻辑加、逻辑非；不是数值大小的运算。,2-2-1 逻辑代数基本概念,数字电路与逻辑设计：第2章 逻辑代数,逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集K，常量0和1以及“与”、“或”、“非”三种基
3、本运算所构成，记为 L=K,“0”,“1”,“+”,“”,“-”。,基本逻辑门,逻辑乘(“与”运算) 在数字电路中，实现“与”逻辑关系的逻辑电路称为“与”门。 逻辑加(“或”运算) 在数字电路中，实现“或”逻辑关系的逻辑电路称为“或”门。 逻辑非(“非”运算) 在数字电路中，实现“非”逻辑关系的逻辑电路称为“非”门。,II.复合逻辑运算,1.与非逻辑,与非门,2.或非逻辑,或非门,3. 与或非逻辑,与或非门,4.异或逻辑,A B,F,0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0,A B,F,0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1,5.同或逻辑 F=A B =,异或门,同或门,2-2-
4、2 逻辑函数及其表示,1逻辑函数和逻辑变量一样，取值只有0和1两种可能 ； 2函数和变量之间的关系是由“与”、 “或”、 “非”3种基本运算决定的。,如果对应于输入逻辑变量A、B、C、的每一组确定值，输出逻辑变量 Y 就有唯一确定的值，则称Y是A、B、C、的逻辑函数。,逻辑函数的表示方法,1.逻辑表达式 运算优先法则:(由高到低) 括号，非，与，或 “与”运算符一般可省略 进行“非”运算可不加括号 ,2.真值表 将逻辑函数的所有输入变量取值组合和 对应函数值做成一个表格，即真值表。 3.逻辑图 用基本逻辑图形符号相互连接构成的图，表示输出变量和输入变量的逻辑运算关系。(与实际数字逻辑电路相对应
5、) 4.HDL 硬件描述语言，特殊的计算机语言。 5.其他表示方法 波形图，卡诺图。,思考题,1、n个逻辑变量进行异或运算，若其中取值为1的变量个数为奇数，运算结果为？若其中取值为1的变量个数为偶数，运算结果为？ 2、依据问题1，若n个变量进行同或运算，运算结果与什么因素有关？,有几个输入输出？输出与输入之间有什么关系？,3. 某电路逻辑图如下：,第2章：逻辑代数,2-1 概述 2-2 逻辑代数基本概念 2-3 逻辑代数定理及规则 2-4 逻辑表达式的形式与变换 2-5 逻辑函数化简,吉林大学仪器科学与电气工程学院：数字电路与逻辑设计,2-3 逻辑代数定理及规则,数字电路与逻辑设计：第2章 逻
6、辑代数,2-3-1 基本定理及公式,定理及公式内容：课本P24-25（自学） 要求熟记！,证明方法： 1. 利用真值表（穷举） 2. 利用基本定律和公式,0-1 律,重叠律,互补律,还原律,分配律,结合律,交换律,自等 律,反演律,1. 代入规则 在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。,2-3-2 重要规则及定理,例： A+BC = (A+B)(A+C) 令(D+E)，代入上式得： A+B(D+E) = (A+B)(A+D+E),2、反演规则,例：,CD,C,B,A,Y,+,+,=,),(,(!保持原来的运算顺序),原变量=反变量 反变量=原变量,函
7、数Y的反演式,？,一个函数Y的反演式，等于该函数的非函数Y。,反演规则示例,3、对偶规则,例：,CD,C,B,A,Y,+,+,=,),(,（!保持原来的运算顺序）,函数Y的对偶式,若两个逻辑函数表达式F和G相等，则其对偶式F和G也相等。,对偶规则示例,4、展开定理,若： 则：,应用：化简逻辑表达式,5、摩根定理,延伸：基本定理和规则可以用于代数化简法,常用公式：,定理和规则的分类,逻辑运算相关的定理 （基本定理和三大规则）。 逻辑函数相关的定理。, 挑出函数值为1的项, 每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项, 这些乘积项作逻辑加,2-3-3 逻辑函数标准形式定理A,F,断“0”,合“
8、1”,亮“1”,灭“0”,0,0,0,0,1,1,0,1,逻辑函数标准形式定理A, 挑出函数值为0的项, 每个函数值为0的输入变量取值组合写成一个和项, 这些和项作逻辑乘,2-3-3 逻辑函数标准形式定理B,F,断“0”,合“1”,亮“1”,灭“0”,0,0,0,0,1,1,0,1,逻辑函数标准形式定理B,第2章：逻辑代数,2-1 概述 2-2 逻辑代数基本概念 2-3 逻辑代数定理及规则 2-4 逻辑表达式的形式与变换 2-5 逻辑函数化简,吉林大学仪器科学与电气工程学院：数字电路与逻辑设计,2-4-1 逻辑函数表达式的常用形式 （一）基本形式： “与-或”式： 由若干“与项”进行“或”运算
9、构成。 F = A + BC + BDEF “或-与”式: 由若干“或项”进行“与”运算构成。 F = A（B+D）（C+D+E）,2-4 逻辑函数表达式的常用形式与标准形式,（二）与非与非式,（三）或非或非式,（四）与或非式,2-4-2 逻辑函数表达式的标准形式,标准与或式：逻辑函数标准形式定理A（最小项之和）； 标准或与式：逻辑函数标准形式定理B（最大项之积）；,最小项定义： 最小项是一种特殊的乘积项（与项）； n变量逻辑空间存在的最小项个数有2n个； n变量逻辑空间的最小项，包含n个变量； n个变量均以原变量或反变量的形式在最小项中出现且仅出现一次；,两变量逻辑空间的最小项,2-4-2（
10、a） 最小项的定义与特点,最小项举例：,三变量逻辑空间存在的全部最小项,最小项的编号：,最小项，乘积项，原变量对应1，反变量对应0,最小项的性质,在输入变量任一组取值下，有且仅有一个最小项的值为1。 全体最小项之和为1 。 任何两个最小项之积为0 。 “逻辑相邻”：仅有一个因子不同的两个最小项。 两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。,最大项是相加项； n变量逻辑代数空间的最大项个数有2n个； n变量逻辑代数空间的最大项，包含n个因子。 n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次。 如：两变量函数F(A,B)的最大项,最大项定义：,2-4-2（b） 最大项的定义与特点
11、,最大项的编号：,最大项，和项，原变量对应0，反变量对应1,最大项的性质,在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0； 全体最大项之积为0； 任何两个最大项之和为1； 逻辑相邻：只有一个因子不同的两个最大项，其乘积可以消去一个因子。,2-4-2（c）最小项与最大项的关系,编号相同的最小项与最大项互为非函数，如m1与M1, m2与M2,相互转换,2-4-2(d)逻辑函数的标准与或式和标准或与式的相互转换,将一个任意逻辑函数表达式转换成标准表达式有两种常用方法，一种是代数转换法，另一种是真值表转换法。,2-4-3 逻辑函数表达式的转换,代数转换法,2.真值表转换法,逻辑表达式 电路结构 (逻
12、辑表达式越简单，电路越简单。) 逻辑函数化简：降低系统成本、减小复杂度、提高可靠性。,2-5 逻辑函数化简,数字电路与逻辑设计：第2章 逻辑代数,化简方法 代数化简法（公式法） 卡诺图法（利用相邻项原理） 列表化简法 适合用于计算机化简,2-5-1 代数化简法,技巧性强，不易确定是否为最简。 常用方法：并项法 吸收法 消去法 配项法,思考题,利用公式法化简以下函数,第二章课后题,具有无关项的逻辑函数,带有无关项的逻辑函数的最小项表达式为： F = m（ ）+ d（ ）,在有些逻辑函数中，输入变量的某些取值组合不会（不允许）出现，或者一旦出现，逻辑值可以是任意的。这样的取值组合所对应的最小项称为
13、无关项、任意项或约束项。,例：在十字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定红灯亮停，绿灯亮行，黄灯亮等侯，试分析车行与三色信号灯之间逻辑关系。,本例函数可写成 L=m（2）+d（0,3,5,6,7）,真值表,无关项的特点,无关项是一种特殊的最小项。 无关项对应的变量取值下，函数值可以是任意的，可以是0也可以是1。在真值表中记作X。,第1章数制与编码,第2章逻辑代数,常识,逻辑变量 逻辑函数,第3章逻辑门触发器,第4章可编程逻辑器件,传 统 电 路,可 编 程,课程章节结构和关系,第1章数制与编码,第2章逻辑代数,实际智能处理、运算、控制、问题(第7章),常识,逻辑变量 逻辑函数,第3章逻辑门触发器,
14、第4章可编程逻辑器件,传 统 电 路,可 编 程,完成实际电路系统设计，实现智能处理、运算。,第5章组合逻辑,第6章时序逻辑,逻辑代数是一种用于描述客观事物逻辑关系的数学方法，又称布尔代数 (Boole Algebra)。 逻辑指事物因果关系的规律。,2-1 概述,逻辑代数是逻辑设计的理论基础和重要数学工具。 虽然和普通代数一样也用字母表示变量，但变量的值只有“1”和“0”两种，所谓逻辑“1”和逻辑“0”，代表两种相反的逻辑状态。在逻辑代数中只有逻辑乘（“与”运算），逻辑加（“或“运算）和求反（ “非运算”）三种基本运算。,数字电路与逻辑设计：第2章 逻辑代数,0,0,0,0,1,1,1,1,
15、0,0,A,B,0,0,0,1,0,1,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,波形图注意事项：,1、输入波形要穷举所有可能的输入组合(n个输入变量由2n种可能),2、输出波形与输入变化对应,基本逻辑运算的波形图（时序图）,F,0,0,0,0,1,1,0, 挑出函数值为1的项,1, 每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项, 这些乘积项作逻辑加,F,断“0”,合“1”,亮“1”,灭“0”,0,0,0,0,1,1,0, 挑出函数值为1的项,1, 每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项, 这些乘积项作逻辑加,2-4-2 逻辑函数表达式的标准形式,注意： 与、或、与非、或非、与或非为多输入变量逻辑运算； 异或、同或为两输入变量逻辑运算；,课程章节结构和关系,第1章数制与编码,第2章逻辑代数,实际智能处理、运算、控制、问题(第7章),常识,逻辑变量 逻辑函数,第3章逻辑门触发器,第4章可编程逻辑器件,传 统 电 路,可 编 程,完成实际电路系统设计，实现智能处理、运算。,第5章组合逻辑,第6章时序逻辑,
