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1、三相似三角形的判定及性质 1相似三角形的判定 对应学生用书 P7 1相似三角形 (1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应 边的比值叫做相似比或(相似系数) (2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的 三角形与原三角形相似 2相似三角形的判定定理 (1)判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两 个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似 (2)判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边 对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形
2、相似，简述为：两边对应成比例且夹角相 等，两三角形相似 引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么 这条直线平行于三角形的第三边 (3)判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三 条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似 说明 1.在这些判定方法中，应用最多的是判定定理 1，即两角对应相等，两三角形 相似因为它的条件最容易寻求在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角判 定定理 2 则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多 2引理是平行线分线段成比例定理的推论的逆定理，可
3、以判定两直线平行 3直角三角形相似的判定定理 (1)定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似； 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例那么它们相似 (2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角 边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 说明 对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直 角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似 在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用 对应学生用书 P8 相似三角形的判定 例 1 如图，已知在ABC 中，ABAC，A36，BD 是角平分 线，证明：ABCBCD
4、. 思路点拨 已知 ABAC，A36，所以ABCC72，而 BD 是角平分线，因此，可以考虑使用判定定理 1. 证明 A36，ABAC， ABCC72. 又BD 平分ABC， ABDCBD36， ACBD. 又CC，ABCBCD. 判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平行截线，用预备定理；(2)有一对等角 时，找另一对等角，找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应边成比例时，找夹 角相等，找第三边对应成比例，找一对直角 1如图，BCFGED，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似 的三角形的组数是( ) A1 B2 C3 D4 解析：AED 与AFG 相似，AED 与A
5、BC 相似，AFG 与ABC 相似 答案：C 2如图，O 是ABC 内任一点，D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点，求证： DEFABC. 证明：D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点， DE AB，EF BC，FD CA. 1 2 1 2 1 2 . DE AB EF BC FD CA 1 2 DEFABC. 3如图，D 在 AB 上，且 DEBC 交 AC 于 E，F 在 AD 上，且 AD2AFAB，求证： AEFACD. 证明：DEBC，. AC AE AB AD AD2AFAB，. AD AF AB AD 由两式得， AC AE AD AF 又A 为公共角，AEFACD
6、. 直角三角形相似的判定 例 2 如图，已知在正方形 ABCD 中，P 是 BC 上的点，且 BP3PC，Q 是 CD 的中 点，求证：ADQQCP. 思路点拨 由于这两个三角形都是直角三角形，且已知条件是线段间的关系，故考 虑证明对应边成比例，即只需证明即可 AD QC DQ CP 证明 在正方形 ABCD 中， Q 是 CD 的中点，2. AD QC 3，4. BP PC BC PC 又 BC2DQ，2. DQ CP 在ADQ 和QCP 中， 2，CD90， AD QC DQ CP ADQQCP. 直角三角形相似的判定方法： (1)相似三角形的判定定理 1,2,3 都适用于直角三角形相似的
7、判定 (2)两个直角三角形，已经具备直角对应相等，只要再证明有一对锐角相等，或夹直角 的两边对应成比例，就可以证明这两个直角三角形相似 4如图，C90，D 是 AC 上的一点，DEAB 于 E，求证：ADEABC. 证明：DEAB， DEA90， C90， DEAC. AA. ADEABC 5如图，BD，CE 是ABC 的高，BD，CE 交于 F，写出图中所有与ACE 相似的三 角形 解：ACE 为公共角，由直角三角形判定定理 1，知 RtFDCRtACE. 又A 为公共角，RtABDRtACE. 又AACE90，AABD90， ACEABD.RtFBERtACE. 故共有三个直角三角形，即
8、RtABD，RtFBE， RtFCD 与 RtACE 相似. 相似三角形的应用 例 3 如图，D 为ABC 的边 AB 上一点，过 D 点作 DEBC，DFAC，AF 交 DE 于 G，BE 交 DF 于 H，连接 GH. 求证：GHAB. 思路点拨 根据此图形的特点可先证比例式成立，再证 GE DE EH EB EGHEDB，由相似三角形的定义得EHGEBD 即可 证明 DEBC， ，即. GE FC AG AF DG FB GE DG CF FB 又DFAC，. EH HB CF FB . GE DG EH HB GE ED EH EB 又GEHDEB， EGHEDB. EHGEBD. G
9、HAB. 不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系有 时用它来证明角与角之间的数量关系，线段之间的数量关系 6如图，ABC 的三边长是 2、6、7，DEF 的三边长是 4、12、14，且ABC 与DEF 相似，则 A_，B_，C_. _. AB EF AC 解析：AD，BE，CF. . AB DE BC EF AC DF 1 2 答案：D E F DE BC DF 1 2 7.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 F 在 BA 的延长线上，连接 CF 交 AD 于点 E. (1)求证：CDEFAE； (2)当 E 是 AD 的中点，且 BC2CD 时， 求证：
10、FBCF. 证明：(1)四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD. 又点 F 在 BA 的延长线上， DCFF，DFAE. CDEFAE. (2)E 是 AD 的中点，AEDE. 由CDEFAE，得. CD FA DE AE CDFA. ABCDAF.BF2CD. 又BC2CD，BCBF.FBCF. 8.如图，在 RtABC 中，BAC90，ADBC 于 D，点 E 是 AC 的中点，ED 的延 长线交 AB 的延长线于 F. 求证：. AB AC DF AF 证明：E 是 RtADC 斜边 AC 上的中点， AEECED. EDCCBDF. 又ADBC 且BAC90， BADC. BADB
11、DF. 又FF，DBFADF， . DB AD DF AF 又在 RtABD 与 RtCBA 中， AB AC DB AD . AB AC DF AF 对应学生用书 P10 一、选择题 1如图所示，ADEFBC，GHAB，则图中与BOC 相似的三角形共有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解析：根据相似三角形的判定定理可得： OEFOBC(EFBC)； CHGCBO(HGOB)； OADOBC(ADBC) 故与BOC 相似的三角形共有 3 个 答案：C 2下列判断中，不正确的是( ) A两直角边分别是 3.5,2 和 2.8,1.6 的两个直角三角形相似 B斜边和一直角边长分别是
12、2，4 和，2 的两个直角三角形相似 55 C两条边长分别是 7,4 和 14,8 的两个直角三角形相似 D两个等腰直角三角形相似 解析：由直角三角形相似判定定理知 A、B、D 正确 答案：C 3如图，要使ACDBCA，下列各式中必须成立的是( ) A. AC AB AD BC B. AD CD AC BC CAC2CDCB DCD2ACAB 解析：CC，只有，即 AC2CDCB 时，才能使ACDBCA. AC CD CB AC 答案：C 4.如图，在等边三角形 ABC 中，E 为 AB 中点，点 D 在 AC 上，使 得 ，则有( ) AD AC 1 3 AAEDBED BAEDCBD CA
13、EDABD DBADBCD 解析：因为AC，2， BC AE CD AD 所以AEDCBD. 答案：B 二、填空题 5如图，ABC 中，DEBC，GFAB，DE，GF 交于点 O，则图中与ABC 相似 的三角形共有_个，它们分别是_ 解析：与ABC 相似的有GFC，OGE，ADE. 答案：3 GFC，OGE，ADE 6如图所示，ACB90，CDAB 于点 D，BC3，AC4，则 AD_，BD_. 解析：由题设可求得 AB5， RtABCRtACD， .AD. AB AC AC AD AC2 AB 16 5 又RtABCRtCBD， .BD . AB CB BC BD BC2 AB 9 5 答案
14、： 16 5 9 5 7已知：在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，AD 的垂直平 分线 EF 与 AD 交于点 E，与 BC 的延长线交于点 F，若 CF4，BC5，则 DF_. 解析：连接 AF. EFAD，AEED， AFDF， FADFDA. 又FADDACCAF， FDABADB， 且DACBAD， CAFB.而CFAAFB， AFCBFA. . AF CF BF AF AF2CFBF4(45)36. AF6，即 DF6. 答案：6 三、解答题 8如图，已知ABC 中，ABAC，D 是 AB 的中点，E 在 AB 的延长线上，且 BEAB，求证：ADCACE. 证明：D 是 AB 的中点， . AD AB 1 2 ABAC， . AD AC 1 2 BEAB， . AB AE 1 2 又 ABAC， . AC AE 1 2 . AD AC AC A
