《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4学案：第一讲 二 极坐标系 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4学案：第一讲 二 极坐标系 （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二极_坐_标_系 对应学生用书P4 1极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O，叫做极点，自极点 O 引一条 射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正 方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系 (2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点 M，用 表示线 段 OM 长度，用 表示射线 Ox 到 OM 的角度， 叫做点 M 的极径， 叫做点 M 的极角，有序数对(，)就叫做点 M 的极坐标，记作 M(，) (3)极坐标与直角坐标的区别与联系 直角坐标极坐标 区别 点与直角坐标是“一对一” 的关系 由于终边相同的角有无数个，
2、即点的极角不 惟一因此点与极坐标是“一对多”的关系 联系 直角坐标与极坐标都是用来刻画平面内任意一点的位置的，它们都是一 对有序的实数 2极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件：极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； 极轴与 x 轴的正半轴重合；两种坐标系取相同的长度单位 (2)互化公式Error!Error!，Error!Error!. 对应学生用书P4 点的极坐标 例 1 已知点 Q(，)，分别按下列条件求出点 P 的极坐标 (1)点 P 是点 Q 关于极点 O 的对称点； (2)点 P 是点 Q 关于直线 的对称点 2 思路点拨 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，
3、为此 应明确它们的含义 解 (1)由于 P，Q 关于极点对称，得极径|OP|OQ|，极角相差(2k1) (kZ)所以，点 P 的极坐标为(，(2k1)或(，2k)(kZ) (2)由 P、Q 关于直线 对称， 2 得它们的极径|OP|OQ|， 点 P 的极角 满足 2k(kZ)， 所以点 P 的坐标为 (，(2k1)或(，2k)(kZ) 设点 M 的极坐标是(，)，则 M 点关于极点的对称点的极坐标是(，) 或(，)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(，)；M 点关于过极点且 垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(，)或(，) 另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的 1在极坐标系中，
4、画出点 A，B，C. (1， 4) (2， 3 2) (3， 4) 解：如图所示 2在极坐标系中，点 A 的极坐标是，求点 A 关于直线 的对称点 (3， 6) 2 的极坐标(规定 0，0,2) 解：作出图形，可知 A(3， )关于直线 的对称点是. 6 2 (3， 5 6) 点的极坐标与直角坐标的互化 例 2 (1)把点 A 的极坐标化成直角坐标； (2， 7 6) (2)把点 P 的直角坐标(1，)化成极坐标(0，02) 3 思路点拨 依据极坐标与直角坐标互化的公式解题 解 (1)x2cos， 7 63 y2sin1， 7 6 故点 A 的直角坐标为(，1) 3 (2)2，tan . 12
5、 32 3 13 又因为点 P 在第四象限且 02，得 . 5 3 因此点 P 的极坐标是. (2， 5 3) (1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与 x 轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可 (2)熟记互化公式，必要时可画图来分析 3点 P 的直角坐标为(，)，那么它的极坐标可表示为( ) 22 A. B. (2， 4) (2， 3 4) C. D. (2， 5 4) (2， 7 4) 解析：点 P(，)在第二象限，与原点的距离为 2，且与极轴夹角为. 22 3 4 答案：B 4若以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 (1)已知点 A 的极坐标
6、(4，)，求它的直角坐标； 5 3 (2)已知点 B 和点 C 的直角坐标为(2，2)和(0，15)，求它们的极坐 标(0,02) 解：(1)xcos 4cos2. 5 3 ysin 4sin2. 5 33 A 点的直角坐标为(2，2) 3 (2)2， x2y222222 tan 1.且点 B 位于第四象限内， 2 2 ，点 B 的极坐标为(2，) 7 42 7 4 又x0，y0，15， . 3 2 点 C 的极坐标为. (15， 3 2) 对应学生用书P5 一、选择题 1在极坐标平面内，点 M，NError!Error!，G，H ( 3，200) ( 3，200) 中互相重合的两个点是( )
7、 (2 3，200) AM 和 N BM 和 G CM 和 H DN 和 H 解析：由极坐标的定义知，M、N 表示同一个点 答案：A 2将点 M 的极坐标化成直角坐标是( ) (10， 3) A(5,5) B(5，5) 33 C(5,5) D(5，5) 解析：xcos 10cos 5，ysin 10sin 5. 3 33 答案：A 3在极坐标系中，12且 12是两点 M(1，1)和 N(2，2)重合的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为 1与 2可相差 2 的整数倍 答案：A 4已知 A，B 两点
8、的极坐标分别为和，则线段 AB 中点的直角 (6， 3) (8， 4 3) 坐标为( ) A. B. ( 1 2， 3 2) ( 1 2， 3 2) C. D. ( 3 2 ，1 2) ( 3 2 ，1 2) 解析：AB 中点的极坐标为，根据互化公式 xcos cos (1， 4 3) ，ysin sin ，因此，所求直角坐标为. 4 3 1 2 4 3 3 2 ( 1 2， 3 2) 答案：B 二、填空题 5点关于极点的对称点为_ (2， 6) 解析：如图，易知对称点为. (2， 7 6) 答案：( 2，7 6) 6在极坐标系中，已知 A，B两点，则|AB|_. (1， 3 4) (2， 4
9、) 解析：|AB|. 12222 1 2cos(3 4 4)5 答案： 5 7直线 l 过点 A，B，则直线 l 与极轴夹角等于_ (3， 3) (3， 6) 解析：如图所示，先在图形中找到直线 l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)， 然后根据点 A，B 的位置分析夹角大小 因为|AO|BO|3， AOB ， 3 6 6 所以OAB， 6 2 5 12 所以ACO . 3 5 12 4 答案： 4 三、解答题 8在极轴上求与点 A的距离为 5 的点 M 的坐标 (4 2， 4) 解：设 M(r,0)， 因为 A， (4 2， 4) 所以 5， 4 22r28 2rcos 4 即 r28r70.
10、解得 r1 或 r7. 所以 M 点的坐标为(1,0)或(7,0) 9(1)已知点的极坐标分别为 A，B， (3， 4) (2， 2 3) C，D，求它们的直角坐标 ( 3 2 ，) (4， 2) (2)已知点的直角坐标分别为 A(3，)，B， 3 (0， 5 3) C，求它们的极坐标(0,02) (2，2 3) 解：(1)根据 xcos ，ysin 得 A， ( 3 2 2 ，3 2 2 ) B(1，)，C，D(0，4) 3 ( 3 2 ，0) (2)根据 2x2y2，tan 得 A， y x (2 3， 6) B，C. ( 5 3 ，3 2) (4， 4 3) 10已知定点 P. (4，
11、3) (1)将极点移至 O处极轴方向不变，求 P 点的新坐标； (2 3， 6) (2)极点不变，将极轴顺时针转动 角，求 P 点的新坐标 6 解：(1)设 P 点新坐标为(，)，如图所示，由题意可知 |OO|2，|OP|4，POx ，OOx ， 3 3 6 POO . 6 在POO中，242(2)2242cos 1612244，2. 33 6 又， sinOPO 2 3 sinPOO 2 sinOPO2，OPO . sin 6 23 3 2 3 OPP ， 3 3 3 PPx.POx. 2 3 2 3 P 点的新坐标为. (2， 2 3) (2)如图，设 P 点新坐标为(，)， 则 4， . 3 6 2 P 点的新坐标为. (4， 2)
