《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1学案创新应用：第一讲 二 平行线分线段成比例定理 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1学案创新应用：第一讲 二 平行线分线段成比例定理 （10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二平行线分线段成比例定理 对应学生用书 P4 1平行线分线段成比例定理 (1)文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 (2)图形语言： 如图 l1l2l3， 则有：， AB BC DE EF ， AB AC DE DF . BC AC EF DF 变式有：，. AB DE BC EF AB DE AC DF BC EF AC DF 说明 “对应线段”是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线被这两条 平行线截得的线段成对应线段如图中 AB 和 DE；而“对应线段成比例”是指同一条直线 上的两条线段的比等于与它们对应的另一条直线上的两条线段的比 2平行线分线段成比例定理的推论
2、(1)文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段 成比例 (2)图形语言：如图 l1l2l3， 则有：，. AD AB AE AC AD DB AE EC DB AB CE AC 3平行线分线段成比例定理的作用 平行线分线段成比例定理及推论是研究下一节相似三角形的理论基础，它可以判定线 段成比例另外，当不能直接证明要证的比例成立时，常用该定理借助“中间比”转化成 另两条线段的比，来得出正确结论合理添加平行线，运用定理及推论列比例式，再经过 线段间的转换可以求线段的比值或证明线段间倍数关系 对应学生用书 P5 平行线分线段成比例定理 例 1 已知：如图，ADBEC
3、F，EGFH. 求证：. AB AC EG FH 思路点拨 由题目中的两组平行线，利用平行线分线段成比例 定理，寻求与， 均相等的公共比例式 AB AC EG FH 证明 ADBECF，. AB AC DE DF 又EGFH，. EG FH DE DF . AB AC EG FH 平行线分线段成比例定理的解题思路 (1)观察图形和已知条件，找出图中的三条平行线和被平行线所截的两条直线； (2)分析截线上的对应线段，写出相应的比例关系； (3)灵活运用比例性质或“中间比”进行线段比的转化，达到求线段比或证明线段成比 例的目的； (4)注意定理基本图形的几种变式情形，在复杂图形中识别能够应用定理的
4、图形 1如图，ADEFBC， ，DF4 cm，则 FC_cm. AE BE 2 3 解析：ADEFBC，. AE BE DF FC 又 ，DF4 cm， AE BE 2 3 FC6 cm. 答案：6 2已知：如图所示，l1l2l3， . AB BC m n 求证：. DE DF m mn 证明：l1l2l3， . AB BC DE EF m n ，则， EF DE n m EFDE DE nm m 即. DF DE mn m DE DF m mn 平行线分线段成比例定理的推论 例 2 已知：如图，点 E 是ABCD 边 CD 延长线上的一点，连接 BE 交 AC 于点 O， 交 AD 于点 F
5、.求证：OB2OEOF. 思路点拨 利用 ABCE，AFBC 得出所要比例关系 证明 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 ABCD，ADBC. 由 ABCE，得. OB OE OA OC 由 AFBC，得. OA OC OF OB 所以(等量代换) OF OB OB OE 即 OB2OEOF. 运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或求线段的长度时，应分清相关三 角形中的平行线段及所截边，在解答过程中要灵活应用比例性质 3已知：如图，D 为 BC 的中点，AGBC，求证：. EG ED AF FC 证明：因为 AGBC， 所以， EG ED AG BD AF FC AG DC 又
6、 BDDC，所以. EG ED AF FC 4.如图，已知 AECFDG，ABBCCD123，CF12 cm，求 AE，DG 的长 解：AECF， . AE CF AB BC AECF. AB BC ABBC12，CF12 cm， AE126 (cm) 91 2 CFDG，. BC BD CF DG ， . BC CD 2 3 BC BD 2 5 DGCF 1230(cm). BD BC 5 2 通过添加平行线构造基本图形寻找公共比 例 3 如图，在ABC 中，CDAB 于 D，E 为 BC 中点，延长 AC、DE 相交于点 F，求证：. AC BC AF DF 思路点拨 由已知条件，结合图形
7、特点，可添加平行线，构造出能够 运用平行线分线段成比例定理或推论的基本图形，再结合直角三角形的性质，找出公共比， 得证 证明 作 EHAB 交 AC 于点 H， 则，. AC AH BC BE AC BC AH BE 同理：，. AF AH DF DE AF DF AH DE BDC 为直角三角形， 且 E 为 BC 边中点， BECEDE. . AH BE AH DE AC BC AF DF 证明比例式成立，往往会将比例式中各线段放到一组平行线中进行研究有时图形中 没有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，创造可以形成比例式的条件，达到证明的目 的 5如图，梯形 ABCD 中，ADBC，点 E
8、，F 分别在 AB，CD 上，且 EFBC，若 ，AD8 cm，BC18 cm，求 EF 长 AE EB 2 3 解：作 AGDC 分别交 BC，EF 于 G，H， ADHFGC8 cm. BG18810(cm) ， . AE EB 2 3 AE AB 2 5 . EH BG AE AB 2 5 EH BG 104(cm) 2 5 2 5 EFEHHF4812(cm) 6如图所示，已知ABC 中， AEEB13，BDDC21，AD 与 CE 相交于 F，求的 EF FC AF FD 值 解：过点 D 作 DGAB 交 EC 于 G， 则 ，而 ， DG BE CD BC CG EC 1 3 A
9、E BE 1 3 即，所以 AEDG. AE BE DG BE 从而有 AFDF，EFFGCG， 故 EF FC AF FD EF 2EF AF AF 1 . 1 2 3 2 对应学生用书 P6 一、选择题 1如图，在ACE 中，B、D 分别在 AC、AE 上，下列推理不正确 的是( ) ABDCE AB AC BD CE BBDCE AD AE BD CE CBDCE AB BC AD DE DBDCE AB BC BD CE 解析：由平行线分线段成比例定理的推论不难得出 A、B、C 都是正确的，D 是错误 的 答案：D 2如图，ABEFCD，已知 AB20，DC80，那么 EF 的值是(
10、) A10 B12 C16 D18 解析：ABEFCD， ， AE EC AB DC 20 80 1 4 ， EF AB EC AC 4 5 EF AB 2016. 4 5 4 5 答案：C 3如图，平行四边形 ABCD 中，N 是 AB 延长线上一点，则的值为( ) BC BM AB BN A. B. 1 2 2 3 C1 D. 3 2 解析：DCBN，. BC BM ND MN 又 BMAD，. AB BN DM MN 1. BC BM AB BN ND MN DM MN NDDM MN MN MN 答案：C 4如图，将一块边长为 12 的正方形纸 ABCD 的顶点 A，折叠至 DC 边上
11、的点 E，使 DE5，折痕为 PQ，则线段 PM 和 MQ 的比是( ) A512 B513 C519 D521 解析：如图，作 MNAD 交 DC 于 N， . DN NE AM ME 又AMME， DNNE DE . 1 2 5 2 NCNEEC 7. 5 2 19 2 PDMNQC， . PM MQ DN NC 5 2 19 2 5 19 答案：C 二、填空题 5如图所示，已知 DEBC，BFEF32，则 ACAE_. 解析：DEBC， . AE AC DE BC EF BF BFEF32， ACAE32. 答案：32 6如图，在ABC 中，MNDEBC，若 AEEC73，则 DBAB
12、的值为_ 解析：由 AEEC73， 得 ECAC310. 根据 MNDEBC， 可得 DBABECAC310. 答案：310 7如图，在ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 E 是 BD 的中点，AE 的延长线交 BC 于点 F，则_. BF FC 解析：过点 D 作 DMAF 交 BC 于点 M. 点 E 是 BD 的中点， 在BDM 中，BFFM， 点 D 是 AC 的中点， 在CAF 中，CMMF. . BF FC BF FMMC 1 2 答案： 1 2 8如图所示，DEBC，EFDC，求证：AD2AFAB. 证明：因为 DEBC， 所以(平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线
13、段成比例) AD AB AE AC 因为 EFDC， 所以. AF AD AE AC 所以，即 AD2AFAB. AF AD AD AB 三、解答题 9如图，AD 平分BAC，DEAC，EFBC，AB15 cm，AF4 cm，求 BE 和 DE 的长 解：DEAC，32. 又 AD 平分BAC， 12. 13，即 AEED. DEAC，EFBC， 四边形 EDCF 是平行四边形 EDFC，即 AEEDFC. 设 AEDEFCx. 由 EFBC 得，即 ， AE BE AF FC x 15x 4 x 解之得 x16，x210(舍去) DE6 cm，BE1569 cm. 10.如图所示，在梯形 A
14、BCD 中，ADBC，EF 经过梯形对角线 的交点 O，且 EFAD. (1)求证：EOOF； (2)求的值； EO AD EO BC (3)求证：. 1 AD 1 BC 2 EF 解：(1)证明：EFAD，ADBC， EFADBC. EFBC，. EO BC AE AB OF BC DF DC EFADBC，. AE AB DF DC .EOOF. EO BC OF BC (2)EOAD. EO AD BE BA 由(1)知， EO BC AE AB 1. EO AD EO BC BE BA AE AB BEAE AB (3)证明：由(2)知1， EO AD EO BC 2，又 EF2EO， 2EO AD 2EO BC 2. EF AD EF BC . 1 AD 1 BC 2 EF
