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1、四弦切角的性质 对应学生用书 P28 弦切角定理 (1)文字语言叙述： 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 (2)图形语言叙述： 如图，AB 与O 切于 A 点，则BACD. 说明 弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度 数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数 对应学生用书 P29 弦切角定理 例 1 (2010新课标全国卷)如图，已知圆上的弧，过 A A AC A A BD C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明： (1)ACEBCD； (2)BC2BECD. 思路点拨 利用弦切角定理 证明 (1)因为， A A AC A A BD 所以BCDABC
2、. 又因为 EC 与圆相切于点 C， 故ACEABC， 所以ACEBCD. (2)因为ECBCDB，EBCBCD， 所以BDCECB. 故， BC BE CD BC 即 BC2BECD. 利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆 的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦 切角 1如图，AB 为O 的直径，直线 EF 切O 于 C，若BAC56，则 ECA_. 解析：连接 BC， AB 为O 的直径，ACB90. B90BAC905634. 又EF 与O 相切于点 C，由弦切角定理，有ECAB34. 答案：34 2.如图，A
3、B 是O 的弦，CD 是经过O 上的点 M 的切线，求证： (1)如果 ABCD，那么 AMMB； (2)如果 AMBM，那么 ABCD. 证明：(1)CD 切O 于 M 点， DMBA，CMAB. ABCD，CMAA. AB，故 AMMB. (2)AMBM，AB. CD 切O 于 M 点，CMAB， CMAA.ABCD. 3如图，已知 AB 是O 的直径，直线 CD 与O 相切于点 C，AC 平分DAB. (1)求证：ADCD； (2)若 AD2，AC，求 AB 的长 5 解：(1)证明：如图，连接 BC. 直线 CD 与O 相切于点 C， DCAB. AC 平分DAB， DACCAB. A
4、DCACB. AB 为O 的直径，ACB90. ADC90，即 ADCD. (2)DCAB，DACCAB， ADCACB. ， AD AC AC AB AC2ADAB. AD2，AC，AB . 5 5 2 运用弦切角定理证明比例式或乘积式 例 2 如图，PA，PB 是O 的切线，点 C 在上， A A AB CDAB，CEPA，CFPB，垂足分别为 D，E，F. 求证：CD2CECF. 思路点拨 连接CA、CB，CAPCBA、 CBPCAB Rt CAE Rt CBD Rt CBF Rt CAD CE CD CD CF结论 证明 连接 CA、CB. PA、PB 是O 的切线， CAPCBA，
5、CBPCAB. 又 CDAB，CEPA，CFPB， RtCAERtCBD， RtCBFRtCAD， ， CA CB CE CD CB CA CF CD ，即 CD2CECF. CE CD CD CF 证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角 形相似的条件，有时需要添加辅助线创造条件 4如图，已知 MN 是O 的切线，A 为切点，MN 平行于弦 CD， 弦 AB 交 CD 于 E.求证：AC2AEAB. 证明：连接 BC. Error!Error! Error!Error!ACEABC AC2ABAE. AC AB AE AC 5如图，AD 是ABC 的角平分线
6、，经过点 A、D 的O 和 BC 切于 D，且 AB、AC 与O 相交于点 E、F，连接 DF，EF. (1)求证：EFBC； (2)求证：DF2AFBE. 证明：(1)O 切 BC 于 D， CADCDF. AD 是ABC 的角平分线， BADCAD. 又BADEFD， EFDCDF. EFBC. (2)连接 DE， O 切 BC 于 D， BADBDE. 由(1)可得BDEFAD， 又O 内接四边形 AEDF， BEDDFA. BEDDFA. . DE AF BE DF 又BADCAD， DEDF.DF2AFBE. 对应学生用书 P30 一、选择题 1P 在O 外，PM 切O 于 C，PA
7、B 交O 于 A、B，则( ) AMCBB BPACP CPCAB DPACBCA 解析：由弦切角定理知PCAB. 答案：C 2如图，ABC 内接于O，EC 切O 于点 C.若BOC76，则BCE 等于( ) A14 B38 C52 D76 解析：EC 为O 的切线， BCEBAC BOC38. 1 2 答案：B 3如图，AB 是O 的直径，EF 切O 于 C，ADEF 于 D，AD2，AB6，则 AC 的长为( ) A2 B3 C2 D4 3 解析：连接 BC，则ACB90， 又 ADEF， ADC90， 即ADCACB， 又ACDABC， ABCACD， AC2ADAB12， 即 AC2.
8、 3 答案：C 4如图，AB 是O 直径，P 在 AB 的延长线上，PD 切O 于 C 点，连接 AC，若 ACPC，PB1，则O 的半径为( ) A1 B2 C3 D4 解析：连接 BC. ACPC，AP. BCPA，BCPP. BCBP1. 由BCPCAP 得 PC2PBPA， 即 AC2PBPA. 而 AC2AB2BC2， 设O 半径为 r， 则 4r2121(12r)，解得 r1. 答案：A 二、填空题 5.如图，已知 AB 与O 相切于点 M，且，且， A A MC A A MD A A MC 为 圆周长，则 A A MD 1 4 AMC_，BMC_，MDC_，MOC_. 解析：弦切
9、角等于所夹弧所对的圆周角，等于所夹弦所对圆心角度数的一半 答案：45 135 45 90 6如图，AB 是O 的直径，PB，PE 分别切O 于 B，C，若 ACE40，则P_. 解析：连接 BC， AB 是O 的直径， ACB90. 又ACE40， PCBPBC50.P80. 答案：80 7.如图，点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上，且 PBOB2，PC 切圆 O 于 C 点，CDAB 于 D 点，则 CD_. 解析：连接 OC， PC 切O 于 C 点， OCPC. PBOB2，OC2. PC2. 3 OCPCOPCD， CD. 2 2 3 43 答案： 3 三、解答题 8.如图所示，
10、O1与O2交于 A、B 两点，过O1上一点 P 作 直线 PA、PB 分别交O2于点 C 和点 D，EF 切O1于点 P. 求证：EFCD. 证明：如图，连接 AB， EF 是O 切线， FPAPBA. 又在O2中，ABCD 为O 内接四边形， CABP.FPAC. EFCD. 9.如图所示，ABC 内接于O，ABAC，直线 XY 切O 于点 C，弦 BDXY，AC、BD 相交于 E. (1)求证：ABEACD； (2)若 AB6 cm，BC4 cm， 求 AE 的长 解：(1)证明：因为 XY 是O 的切线， 所以12. 因为 BDXY，所以13，所以23. 因为34，所以24. 因为ABD
11、ACD，又因为 ABAC， 所以ABEACD. (2)因为32，ABCACB， 所以BCEACB， BC AC CE CB ACCEBC2. 因为 ABAC6 cm，BC4 cm， 所以 6(6AE)16. 所以 AE cm. 10 3 10.如图，ABC 内接于圆 O，AD 平分BAC 交圆 O 于点 D， 过点 B 作圆 O 的切线交直线 AD 于点 E. (1)求证：EBDCBD； (2)求证：ABBEAEDC. 证明：(1)BE 为圆 O 的切线， EBDBAD， 又AD 平分BAC，BADCAD， EBDCAD， 又CBDCAD， EBDCBD. (2)在EBD 和EAB 中， EE，EBDEAB， EBDEAB， ， BE AE BD AB ABBEAEBD， 又AD 平分BAC, BDDC， 故 ABBEAEDC.
