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1、 在散点图中样本点大致分布在一条直线附近，则利用线性回归模型进行研究，可 近似地利用回归直线方程 x 来预报，利用公式求出回归系数 ，即可写出回归直线 y b a a b 方程，并用回归直线方程进行预测说明 典例 1 以下是某地收集到的新房屋的销售价格 y 和房屋的面积 x 的数据： 房屋面积 x/m211511080135105 销售价格 y/万元24.821.618.429.222 (1)画出数据对应的散点图； (2)若线性相关，求线性回归方程； (3)根据(2)的结果估计当房屋面积为 150 m2时的销售价格 解：(1)数据对应的散点图如图所示 (2)由散点图知 y 与 x 具有线性相关
2、关系 由表中数据知 i109， x 1 5 5 i1 x i23.2， 60 975， iyi12 952. y 1 5 5 i1 y 5 i1 x 2 i 5 i1 x 设所求回归直线方程为 x ， y b a 则 0.196 2， 1.814 2， b 5 i1 xiyi5 x y 5 i1 x2 i5x2 a y b x 故所求回归直线方程为 0.196 2x1.814 2. y (3)根据(2)，当 x150 时，销售价格的估计值为 0.19621501.814 231.244 2(万 y 元) 对点训练 1随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存 款(年
3、底余额)如下表： 年份20102011201220132014 时间代号 t12345 储蓄存款 y(千亿元)567810 (1)求 y 关于 t 的回归方程 t ； y b a (2)用所求回归方程预测该地区 2015 年(t6)的人民币储蓄存款 附：回归方程 t 中， ， . y b a b n i1 tiyin t y n i1 t2 in t 2 a y b t 解：(1)列表计算如下： itiyit2 itiyi 11515 226412 337921 4481632 55102550 153655120 这里 n5， i 3， i 7.2， t 1 n n i1 t 15 5y 1
4、 n n i1 y 36 5 又 lttn 25553210， n i1 t 2 i t lty iyin 120537.212， n i1 t t y 从而 1.2， 7.21.233.6， b lty ltt 12 10 a y b t 故所求回归方程为 1.2t3.6. y (2)将 t6 代入回归方程可预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款为 1.263.610.8(千亿元). y 对于建立的回归模型，我们必须对模型的拟合效果进行分析，也就是对利用回归模型 解决实际问题的效果进行评价一方面可以对比残差或残差平方和的大小，同时观察残差 图，进行残差分析；另一方面也可以研究数据的 R2(
5、相关系数 r)对模型拟合效果的分析能 够帮助我们利用最优化的模型来解决实际问题 典例 2 在研究弹簧伸长长度 y(cm)与拉力 x(N)的关系时，对不同拉力的 6 根弹簧进 行测量，测得如下表中的数据： x/N51015202530 y/cm7.258.128.959.9010.911.8 若依据散点图及最小二乘法求出的回归直线方程为 0.18x6.34，求 R2，并结合残 y 差说明拟合效果 解：列表求值如下： xi51015202530 yi7.258.128.959.9010.911.8 xiyi36.2581.2134.25198272.5354 x2 i251002254006259
6、00 yi i y 0.010.020.090.040.060.06 yiy2.241.370.540.411.412.31 17.5， 9.49， iyi1 076.2， 2 275，(yi i)20.017 4， (yi ) xy 6 i1 x 6 i1 x 2 i 6 i1 y 6 i1y 214.678 4. R210.998 81，回归模型拟合效果较好由表中数据可以看出残差比较 0.017 4 14.678 4 均匀地落在宽度不超过 0.15 的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较 高 对点训练 2从某大学中随机选取 5 名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 编号
7、12345 身高 x/cm165165157170175 体重 y/kg4857505464 甲、乙两位同学在计算根据女大学生的身高预报体重的回归方程时，分别得到以下回 归模型：甲： 0.75x70；乙： 0.76x71.试依据 R2判定哪一个模型的拟合效果较好？ y y 解：对甲模型，yi i与 yi 的值如下表： y y yi i y 5.753.252.253.52.75 yiy6.62.44.60.69.4 所以(yi i)2(5.75)23.2522.252(3.5)22.75268.5， 5 i1 y (yi )2(6.6)22.42(4.6)2(0.6)29.42159.2.此时
8、 R210.57. 5 i1y 68.5 159.2 对乙模型，yi i与 yi 的值如下表： y y yi i y 6.42.61.684.22 yiy6.62.44.60.69.4 所以(yi i)2(6.4)22.621.682(4.2)22272.2， 5 i1 y (yi )2(6.6)22.42(4.6)2(0.6)29.42159.2.此时 R210.55. 5 i1y 72.2 159.2 因为 0.570.55， 所以甲模型的拟合效果较好. 独立性检验就是根据采集的样本数据，利用公式求出随机变量 K2的观测值 k，通过比 较 k 与临界值 k0的大小来确定两个分类变量是否有关
9、系的方法 典例 3 户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与 性别有关，决定从本单位全体 650 人中采用分层抽样的办法抽取 50 人进行问卷调查，得到 了如下列联表： 喜欢户外运动不喜欢户外运动总计 男性 5 女性10 总计 50 已知在这 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动的员工的概率是 . 3 5 (1)请将上面的列联表补充完整； (2)求该公司男、女员工各多少人； (3)在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明 你的理由 下面的临界值表仅供参考： P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.00
10、50.001 k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 参考公式：K2，其中 nabcd nadbc2 abcdacbd 解：(1)因为在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动的员工的概率是 ，所以喜 3 5 欢户外运动的男女员工共 30 人，其中男员工 20 人，列联表补充如下： 喜欢户外运动不喜欢户外运动总计 男性20525 女性101525 总计302050 (2)该公司男员工人数为 2550650325(人)，则女员工有 325 人 (3)K2的观测值 k8.3337.879，所以在犯错误的概率 50 20 1510 52 30 20 25
11、 25 不超过 0.005 的前提下认为喜欢户外运动与性别有关 对点训练 3吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响 学生的健康成长下表是性别与吃零食的列联表： 男女总计 喜欢吃零食51217 不喜欢吃零食402868 总计454085 请问喜欢吃零食与性别是否有关？ 解：k， nadbc2 abcdacbd 把相关数据代入公式，得 k 85 5 2840 122 17 68 45 40 4.7223.841. 因此，在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关” （时间：120 分钟，满分：150 分） 一、选择题(本大题共 12
12、个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1有下列关系：人的年龄与他拥有的财富之间的关系； 曲线上的点与该点的坐标之间的关系；苹果的产量与气候之间的关系；森林中 的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是( ) A B C D 解析：选 D 曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系函数关系，故不正 确其余均为相关关系 2对于回归分析，下列说法中错误的是( ) A在回归分析中，若变量间的关系是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确 定 B相关系数可以是正的也可以是负的 C回归分析中，如果 R21，说明变量 x 与 y 之间是完
13、全线性相关 D样本相关系数 r(，) 解析：选 D 在回归分析中，样本相关系数 r 的范围是|r|1，故选 D. 3在一次调查后，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则( ) A两个分类变量关系较弱 B两个分类变量无关系 C两个分类变量关系较强 D无法判断 解析：选 C 从条形图中可以看出，在 x1中 y1比重明显大于 x2中 y1的比重，所以两 个分类变量的关系较强 4设两个变量 x 和 y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是 r，y 关于 x 的回归 直线的斜率是 b，纵轴上的截距是 a，那么必有( ) Ab 与 r 的符号相同 Ba 与 r 的符号相同 Cb 与 r 的符号相反
14、Da 与 r 的符号相反 解析：选 A 因为 b0 时，两变量正相关，此时 r0；b7.879，在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下， 认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有 99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩 优秀有关 12两个分类变量 X 和 Y，值域分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数分别是 a10，b21，cd35.若 X 与 Y 有关系的可信程度不小于 97.5%，则 c 等于( ) A3 B4 C5 D6 附： P(K2k0)0.050.025 k03.8415.024 解析：选 A 列 22 列联表如下： x1x2总计 y1102131 y2cd35 总计10c21d66 故 K2的观测值 k5.024. 66 1035c21c2 31 35 10c56c 把选项 A，B，C，D 代入验证可知选 A. 二、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上) 13下面是一个 22 列联表： y1y2总计 x1a2173 x282533 总计b46 则表中 ba_. 解析：ba8. 答案：8 14已知样本容量为 11，计算得 i510，i214，回归方程为 0.3x ，则 11 i1 x 11 i1 y y a _
