《2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2教学案： 第三章 3.2数代数形式的四则运算 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2教学案： 第三章 3.2数代数形式的四则运算 （21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 课时 复数代数形式的加减运算及其几何意义 核心必知 1预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P56P57的内容，回答下列问题 (1)设 z1abi，z2cdi 是任意两个复数，则 z1z2为何值？ 提示：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i. (2)对于复数 z1，z2，z3，关系式 z1z2z2z1和(z1z2)z3z1(z2z3)成立吗？ 提示：成立 (3)设(a，b)，(c，d)分别与复数 z1abi，z2cdi 对应，如图所 示则，z1z2各为何值？它们之间有什么对应关系？与 z1z2之 间又有什么关系？ 提示：(ac，bd)，z1z2(ac)(bd)i，故是复
2、数 z1z2所对应的平面向量是复数 z1z2所对应的平面向量 2归纳总结，核心必记 (1)复数的加、减法运算法则 设 z1abi，z2cdi 是任意两个复数，那么， z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i， z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i. (2)复数加法的运算律 对任意 z1，z2，z3C，有 交换律：z1z2z2z1； 结合律：(z1z2)z3z1(z2z3) (3)复数加、减法的几何意义 如图，设在复平面内复数 z1，z2对应的向量分别为，以 OZ1，OZ2为邻边 作平行四边形，则与 z1z2对应的向量是，与 z1z2对应的向量是. 问题思考 (1)在实数范围内
3、ab0ab 恒成立，在复数范围内是否有 z1z20z1z2恒成立呢？ 提示：若 z1，z2R，则 z1z20z1z2成立否则 z1z20z1z2. 如 z11i，z2i，虽然 z1z210，但不能说 1i 大于 i. (2)复数|z1z2|的几何意义是什么？ 提示：表示复数 z1，z2对应的两点 Z1与 Z2间的距离 课前反思 (1)复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？ ； (2)复数的加、减法的几何意义是什么？ . 思考 若 z1abi，z2cdi，则 z1z2，z1z2为何值？ 名师指津：z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i. 讲一讲 1计算：(1)(23i)(5
4、i)； (2)(1i)(1i)； 22 (3)(abi)(2a3bi)3i(a，bR) 尝试解答 (1)(23i)(5i) (25)(31)i32i. (2)(1i)(1i) 22 (11)()i 22 2i. 2 (3)(abi)(2a3bi)3i (a2a)(b3b3)i a(4b3)i. (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之 后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部 (2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若 无括号，可以从左到右依次进行计算 练一练 1计算： (1)(12i)(34i)(
5、56i)； (2)(2i). ( 1 3 1 2i) ( 4 3 3 2i) 解：(1)(12i)(34i)(56i) (135)(246)i18i. (2)(2i) ( 1 3 1 2i) ( 4 3 3 2i) i1i. ( 1 32 4 3) ( 1 21 3 2) 讲一讲 2已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O，A，C 对应的复数分别为 0,32i，24i. (1)求表示的复数； (2)求表示的复数； (3)求 B 点对应的复数 尝试解答 (1)， 表示的复数为(32i)， 即32i. (2)， 表示的复数为(32i)(24i)52i. (3)， 表示的复数为(32i)(24i)1
6、6i. 即 B 点对应的复数为 16i. 运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依 据利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量 及其对应的复数注意向量 AB对应的复数是 zBzA(终点对应的复数减去起点对应的复 数) 练一练 2复平面内三点 A、B、C，A 点对应的复数为 2i，向量对应的复数为 12i， 向量对应的复数为 3i，求点 C 对应的复数 解：对应的复数为 12i，对应的复数为 3i， 对应的复数为(3i)(12i)23i. 又， C 点对应的复数为(2i)(23i)42i
7、. 思考 在复平面内，z1，z2对应的点分别为 A，B，z1z2对应的点为 C，O 为坐标原 点，则 (1)四边形 OACB 是什么四边形？ 提示：平行四边形 (2)若|z1z2|z1z2|，则该四边形 OACB 的形状是什么？ 提示：矩形 (3)若|z1|z2|，则四边形 OACB 的形状是什么？ 提示：菱形 (4)若|z1|z2|，且|z1z2|z1z2|，则四边形 OACB 又是什么形状？ 提示：正方形 讲一讲 3已知 zC，且|z34i|1，求|z|的最大值与最小值 尝试解答 由于|z34i|z(34i)|1，所以在复平面上，复数 z 对应的点 Z 与复数34i 对应的点 C 之间的距
8、离等于 1，故复数 z 对应的点 Z 的轨迹是以 C(3,4)为 圆心，半径等于 1 的圆 而|z|表示复数 z 对应的点 Z 到原点 O 的距离， 又|OC|5， 所以点 Z 到原点 O 的最大距离为 516，最小距离为 514. 即|z|max6，|z|min4. (1)|zz0|表示复数 z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数 差的形式 (2)|zz0|r 表示以 z0对应的点为圆心，r 为半径的圆 (3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式 入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解 练一练 3设 z1，z2C，已知|z1|z
9、2|1，|z1z2|，求|z1z2|. 2 解：法一：设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)， 由题设知 a2b21，c2d21，(ac)2(bd)22， 又(ac)2(bd)2a22acc2b22bdd2， 可得 2ac2bd0. |z1z2|2(ac)2(bd)2 a2c2b2d2(2ac2bd)2， |z1z2|. 2 法二：作出 z1、z2对应的向量 OZ1、OZ2，使 OZ1OZ2OZ. |z1|z2|1，又 OZ1、OZ2不共线(若 OZ1、OZ2共线，则|z1z2|2 或 0，与|z1z2|矛盾) 2 平行四边形 OZ1ZZ2为菱形 又|z1z2|， 2 Z1OZ290，
10、 即四边形 OZ1ZZ2为正方形， 故|z1z2|. 2 课堂归纳感悟提升 1本节课的重点是复数的加法和减法运算，难点是复数加、减法运算的几何意义及其 应用 2本节课要重点掌握的规律方法 (1)复数的加法、减法运算，见讲 1； (2)复数加法、减法运算的几何意义，见讲 2； (3)复数加法、减法运算几何意义的应用，见讲 3. 3对复数的加法、减法运算应注意以下几点： (1)一种规定：复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算； 特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致 (2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立实数的移项法则在复数中 仍然成立 (3)运算
11、结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数 课下能力提升(九) 学业水平达标练 题组 1 复数的加、减运算 1复数(1i)(2i)3i 等于( ) A1i B1i Ci Di 解析：选 A (1i)(2i)3i (12)(113)i1i. 2若 z12i，z23ai(aR)，复数 z1z2所对应的点在实轴上，则 a( ) A2 B2 C1 D1 解析：选 C z12i，z23ai， z1z2(23)(1a)i5(1a)i. 又z1z2所对应的点在实轴上， 故 1a0，即 a1. 3设 z1x2i，z23yi(x，yR)，且 z1z256i，则 z1z2_. 解析：z1z256i， (x2i)(3
12、yi)56i， Error!Error! 即Error!Error! z122i，z238i， z1z2(22i)(38i)110i. 答案：110i 4计算：(1)(12i)(2i)(2i)(12i)； (2)(i2i)|i|(1i) 解：(1)原式(13i)(2i)(12i) (32i)(12i)2. (2)原式(1i)(1i) 012 1i11i12i. 题组 2 复数加、减运算的几何意义 5已知 z13i，z215i，则复数 zz2z1对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析：选 B zz2z115i(3i) (13)(51)i24i. 6在复平面内，O
13、 是原点，对应的复数分别为2i，32i,15i， 那么对应的复数为_ 解析：()， 对应的复数为2i(32i)(15i) (231)(125)i (44i)44i. 答案：44i 7在复平面内，复数 1i 与 13i 分别对应向量和，其中 O 为坐标原点， 则| |_. 解析：由题意， 对应的复数为(13i)(1i)2i， | |2. 答案：2 8复数 z112i，z22i，z312i，它们在复平面内的对应点是一个正方形 的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数 解：复数 z1，z2，z3所对应的点分别为 A，B，C，设正方形的第四个顶点 D 对应的复 数为 xyi(x，yR)
14、 因为， 所以对应的复数为(xyi)(12i)(x1)(y2)i，因为， 所以对应的复数为(12i)(2i)13i.因为，所以它们对应的复 数相等， 即Error!Error!解得Error!Error! 故点 D 对应的复数为 2i. 题组 3 复数加、减运算几何意义的应用 9若|z1|z1|，则复数 z 对应的点 Z( ) A在实轴上 B在虚轴上 C在第一象限 D在第二象限 解析：选 B 设 zxyi(x，yR)，由|z1|z1|得(x1)2y2(x1)2y2，化简 得：x0. 10A，B 分别是复数 z1，z2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z1z2|z1z2|，则 三角形 AOB 一定是( ) A等腰三角形 B
