《2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第三单元 3.2.3 导数的四则运算法则 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第三单元 3.2.3 导数的四则运算法则 （10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2.3 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合 运用导数公式和导数运算法则求函数的导数 知识点一 和、差的导数 已知 f(x)x，g(x) . 1 x 思考 1 f(x)，g(x)的导数分别是什么？ 思考 2 试求 Q(x)x ，H(x)x 的导数 1 x 1 x 思考 3 Q(x)，H(x)的导数与 f(x)，g(x)的导数有何关系？ 梳理 和、差的导数 (f(x)g(x)f(x)g(x) 知识点二 积、商的导数 已知 f(x)x2，g(x)sin x，(x)3. 思考 1 试求 f(x)，g(x)，(
2、x) 思考 2 求 H(x)x2sin x，M(x)，Q(x)3sin x 的导数 sin x x2 梳理 (1)积的导数 f(x)g(x)_. Cf(x)_. (2)商的导数 _(g(x)0) fx gx (3)注意f(x)g(x)f(x)g(x)，. fx gx fx gx 类型一 导数运算法则的应用 例 1 求下列函数的导数： (1)f(x) ax3bx2c；(2)f(x)xln x2x； 1 3 (3)f(x)；(4)f(x)x2ex. x1 x1 反思与感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分 (2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，
3、当不易直接应 用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导这样可以减少运算量，优化解 题过程 (3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、 商的求导法则求导 跟踪训练 1 求下列函数的导数： (1)f(x)xtan x； (2)f(x)22sin2； x 2 (3)f(x)(x1)(x3)(x5)； (4)f(x). sin x 1sin x 类型二 导数运算法则的综合应用 命题角度 1 利用导数求函数解析式 例 2 (1)已知函数 f(x)2xf(1)，求 f(x)； ln x x (2)设 f(x)(axb)sin x(cxd)cos x
4、，试确定常数 a，b，c，d，使得 f(x)xcos x. 反思与感悟 (1)中确定函数 f(x)的解析式，需要求出 f(1)，注意 f(1)是常数(2)中利用待 定系数法可确定 a，b，c，d 的值完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则 跟踪训练 2 已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)2exf(1)3ln x，则 f(1)等于( ) A3 B2e C. D. 2 12e 3 12e 命题角度 2 与切线有关的问题 例 3 已知函数 f(x)ax2bx3(a0)，其导函数 f(x)2x8. (1)求 a，b 的值； (2)设函数 g(x)exsin xf(x)，
5、求曲线 g(x)在 x0 处的切线方程 反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素其他的条 件可以进行恒等变换，从而转化为这三个要素间的关系 (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准 确 (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点 跟踪训练 3 (1)设曲线 y在点( ，2)处的切线与直线 xay10 垂直，则 2cos x sin x 2 a_. (2)设函数 f(x)g(x)x2，曲线 yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为 y2x1，则曲线 yf(x)在 点(1，f(1)处切线
6、的斜率为_ 1下列结论不正确的是( ) A若 y3，则 y0 B若 f(x)3x1，则 f(1)3 C若 yx，则 y1 x 1 2 x D若 ysin xcos x，则 ycos xsin x 2设 y2exsin x，则 y等于( ) A2excos x B2exsin x C2exsin x D2ex(sin xcos x) 3对于函数 f(x)ln x，若 f(1)1，则 k 等于( ) ex x2 2k x A. B. e 2 e 3 C D e 2 e 3 4曲线 y 在点 M处的切线的斜率为( ) sin x sin xcos x 1 2 ( 4，0) A B. 1 2 1 2
7、C D. 2 2 2 2 5设函数 f(x) x3 x2bxc，其中 a0，曲线 yf(x)在点 P(0，f(0)处的切线方程为 1 3 a 2 y1，确定 b、c 的值 求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数在 求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导 数公式对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式， 再求导数，进而解决一些与切线斜率、瞬时速度等有关的问题 答案精析答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 f(x)1，g(x). 1 x2 思考 2 y(xx)(x ) 1 xx 1 x
8、 x， x xxx 1. y x 1 xxx Q(x) 11. lim x0 y x lim x0 1 xxx 1 x2 同理，H(x)1. 1 x2 思考 3 Q(x)的导数等于 f(x)，g(x)的导数的和H(x)的导数等于 f(x)，g(x)的导数的差 知识点二 思考 1 f(x)2x，g(x)cos x， (x)0. 思考 2 H(x)2xsin xx2cos x. M(x) sin xx2sin xx2 x22 . x2cos x2xsin x x4 xcos x2sin x x3 Q(x)3cos x. 梳理 (1)f(x)g(x)f(x)g(x) Cf(x) (2) fxgxfx
9、gx g2x 题型探究 例 1 解 (1)f(x)( ax3bx2c) 1 3 ( ax3)(bx2)cax22bx. 1 3 (2)f(x)(xln x2x) (xln x)(2x) xln xx(ln x)2xln 2 ln x12xln 2. (3)方法一 f(x)() x1 x1 x1x1x1x1 x12 . x1x1 x12 2 x12 方法二 f(x) x1 x1 x12 x1 1， 2 x1 f(x)(1)() 2 x1 2 x1 . 02x1 x12 2 x12 (4)f(x)(x2ex)(x2)exx2(ex) 2xexx2exex(2xx2) 跟踪训练 1 解 (1)f(x
10、)(xtan x) ( xsin x cos x) xsin xcos xxsin xcos x cos2x sin xxcos xcos xxsin2x cos2x . sin xcos xx cos2x (2)f(x)22sin21cos x， x 2 f(x)sin x. (3)方法一 f(x)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x5) (x1)(x3)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(2x4)(x5)(x1)(x3) 3x218x23. 方法二 f(x)(x1)(x3)(x5) (x24x3)(x5) x39x223x15， f(x)(x39x223x15) 3x218x
11、23. (4)f(x)， sin x 1sin x f(x) cos x1sin xsin xcos x 1sin x2 . cos x 1sin x2 例 2 解 (1)由题意得 f(x)2f(1)， 1ln x x2 令 x1，得 f(1)2f(1)， 1ln 1 1 即 f(1)1. 所以 f(x)2x. ln x x (2)由已知得 f(x)(axb)sin x(cxd)cos x (axb)sin x(cxd)cos x (axb)sin x(axb)(sin x)(cxd)cos x(cxd)(cos x) asin x(axb)cos xccos x(cxd)sin x (acx
12、d)sin x(axbc)cos x. 又因为 f(x)xcos x， Error!Error!即Error!Error! 解得 ad1，bc0. 跟踪训练 2 D f(x)2exf(1) ， 3 x 令 x1，得 f(1)2ef(1)3， f(1). 3 12e 例 3 解 (1)因为 f(x)ax2bx3(a0)， 所以 f(x)2axb. 又 f(x)2x8，所以 a1，b8. (2)由(1)可知，g(x)exsin xx28x3， 所以 g(x)exsin xexcos x2x8， 所以 g(0)e0sin 0e0cos 02087. 又 g(0)3， 所以 g(x)在 x0 处的切线
13、方程为 y37(x0)， 即 7xy30. 跟踪训练 3 (1)1 (2)4 解析 (1)因为 y， sin2x2cos xcos x sin2x 12cos x sin2x 所以当 x 时，y1. 2 12cos 2 sin2 2 又直线 xay10 的斜率是 ， 1 a 所以由题意得 1，解得 a1. 1 a (2)因为曲线 yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为 y2x1，由导数的几何意义知，g(1) 2.又因为 f(x)g(x)x2，所以 f(x)g(x)2xf(1)g(1)24，所以 yf(x)在点 (1，f(1)处切线的斜率为 4. 当堂训练 1D D 项，ysin xcos x， y(sin x)(cos x) cos xsin x 2D y2(exsin xexcos x) 2ex(sin xcos x) 3A f(x) ， exx2 x3 1 x 2k x2 f(1)e12k1，解得 k ， e 2 故选 A. 4B y cos xsin xcos xsin xcos xsin x sin xcos x2 ， 1 sin xcos x2 y|x ， 4 1 2 曲线在点 M处的切线的斜率为 . ( 4，0) 1 2 5解 由题意，得 f(0)c，f
