《2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用教学案：第二章 章末小结与测评 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用教学案：第二章 章末小结与测评 （16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 归纳推理的四个特点 (1)前提：几个已知的特征现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越 了前提所包括的范围 (2)结论：具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归 纳推理不能作为数学证明的工具 (3)步骤：先搜集一定的事实资料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能 进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行 (4)作用：具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发 现的重要手段 典例 1 (1)观察下列不等式 11，a，b，则正确的结论是( ) c1ccc1 Aab Ba1， 所以 a0，b0， 故只需比较 与 的大
2、小即可， 1 a 1 b 而 ， 1 a 1 c1 cc1c ， 1 b 1 c c1cc1 显然 ，从而必有 a2，则 x，y 中至少有一个大于 1，在用反证法证明时，假 设应为_ 解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有” ，即“x，y 均不大于 1” ，亦即“x1 且 y1” 答案：x，y 均不大于 1(或者 x1 且 y1) 14已知圆的方程是 x2y2r2，则经过圆上一点 M(x0，y0)的切线方程为 x0xy0yr2. 类比上述性质，可以得到椭圆1 类似的性质为_ x2 a2 y2 b2 解析：圆的性质中，经过圆上一点 M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个 x 与 y
3、分别用 M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换故可得椭圆1 类似的性质为：过椭圆 x2 a2 y2 b2 1 上一点 P(x0，y0)的切线方程为1. x2 a2 y2 b2 x0x a2 y0y b2 答案：经过椭圆1 上一点 P(x0，y0)的切线方程为1 x2 a2 y2 b2 x0x a2 y0y b2 15若定义在区间 D 上的函数 f(x)对于 D 上的 n 个值 x1，x2，xn，总满足 f(x1) 1 n f(x2)f(xn)f，称函数 f(x)为 D 上的凸函数；现已知 f(x)sin x 在 ( x1x2xn n ) (0，)上是凸函数，则ABC 中，sin Asin Bsi
4、n C 的最大值是_ 解析：因为 f(x)sin x 在(0，)上是凸函数(小前提)， 所以 (sin Asin Bsin C)sin(结论)， 1 3 ABC 3 即 sin Asin Bsin C3sin . 3 3 3 2 因此，sin Asin Bsin C 的最大值是. 3 3 2 答案： 3 3 2 16如图，第 n 个图形是由正 n2 边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第 n2(n2) 个图形中共有_个顶点 解析：设第 n 个图形中有 an个顶点， 则 a1333，a2444， an(n2)(n2)(n2)，an2n2n. 答案：n2n 三、解答题(本大题共 6 小题，共 7
5、0 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 17(本小题 10 分)已知 abc，且 abc0，求证：. b2ac a3 证明：因为 abc，且 abc0，所以 a0，c0. 要证明原不等式成立，只需证明a， b2ac3 即证 b2ac3a2，从而只需证明(ac)2ac3a2， 即(ac)(2ac)0， 因为 ac0,2acacaab0， 所以(ac)(2ac)0 成立， 故原不等式成立 18(本小题 12 分)已知实数 x，且有 ax2 ，b2x，cx2x1，求证： 1 2 a，b，c 中至少有一个不小于 1. 证明：假设 a，b，c 都小于 1， 即 a1，b1，c1， 则
6、 abc3. abc(2x)(x2x1)2x22x 2 23，且 x 为实数， (x2 1 2) 7 2 (x 1 2) 2 233， (x 1 2) 即 abc3，这与 abc3 矛盾 假设不成立，原命题成立 a，b，c 中至少有一个不小于 1. 19(本小题 12 分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个 常数： sin213cos217sin 13cos 17； sin215cos215sin 15cos 15； sin218cos212sin 18cos 12； sin2(18)cos248sin(18)cos 48； sin2(25)cos255sin(25)c
7、os 55. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论 解：(1)选择(2)式，计算如下： sin215cos215sin 15cos 15 1 sin 301 . 1 2 1 4 3 4 (2)法一：三角恒等式为 sin2cos2(30)sin cos(30) . 3 4 证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30) sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin ) sin2 cos2sin cos sin2sin cos sin2 sin
8、2 cos2 . 3 4 3 2 1 4 3 2 1 2 3 4 3 4 3 4 法二：三角恒等式为 sin2cos2(30)sin cos(30) . 3 4 证明如下： sin2cos2(30)sin cos(30) sin (cos 30cos sin 30sin ) 1cos 2 2 1cos602 2 cos 2 (cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 cos 2 cos 2sin 2sin 2 (1cos 2) 1 2 1 2 1 2 1 4 3 4 3 4 1 4 1 cos 2 cos 2 . 1
9、 4 1 4 1 4 3 4 20(本小题 12 分)已知ABC 的三边长分别为 a，b，c，且其中任意两边长均不相等， 若 ， 成等差数列 1 a 1 b 1 c (1)比较与的大小，并证明你的结论； b a c b (2)求证：角 B 不可能是钝角 解：(1). b a c b 证明如下： 要证，只需证 . b a c b b a c b a，b，c0， 只需证 b2ac. ， 成等差数列， 1 a 1 b 1 c 2， 2 b 1 a 1 c 1 ac b2ac. 又 a，b，c 均不相等， b2ac.故所得大小关系正确 (2)证明：法一：假设角 B 是钝角，则 cos B0. 由余弦定
10、理得， cos B0， a2c2b2 2ac 2acb2 2ac acb2 2ac 这与 cos B0 矛盾， 故假设不成立 所以角 B 不可能是钝角 法二：假设角 B 是钝角，则角 B 的对边 b 是最大边， 即 ba，bc， 所以 0， 0， 1 a 1 b 1 c 1 b 则 ，这与 矛盾， 1 a 1 c 1 b 1 b 2 b 1 a 1 c 2 b 故假设不成立 所以角 B 不可能是钝角 21已知数列an中，Sn是它的前 n 项和，并且 Sn14an2(n1,2，)，a11. (1)设 bnan12an(n1,2，)，求证：数列bn是等比数列； (2)设 cn(n1,2，)，求证：
11、数列cn是等差数列 an 2n 证明：(1)因为 Sn14an2， 所以 Sn24an12， 两式相减得 Sn2Sn14an14an(n1,2，)， 即 an24an14an， 变形得 an22an12(an12an)， 因为 bnan12an(n1,2，)， 所以 bn12bn， 由此可知，数列bn是公比为 2 的等比数列 (2)由 S2a1a24a12，a11， 得 a25，b1a22a13. 故 bn32n1. 因为 cn(n1,2，)， an 2n 所以 cn1cn an1 2n1 an 2n ， an12an 2n1 bn 2n1 将 bn32n1代入得 cn1cn (n1,2，) 3 4 由此可知，数列cn是公差 d 的等差数列 3 4 22通过计算可得下列等式： 2212211； 3222221； 4232231； (n1)2n22n1. 将以上各式两边分别相加，得(n1)212(123n)n，即 123n. nn1 2 类比上述方法，请你求出 122232n2的值 解：2313312311， 3323322321， 4333332331， (n1)3n33n23n1， 将以上各式两边分别相加，得 (n1)3133(122232n2)3(123n)n， 所以 122232n2 1 3n131n3 nn1 2 . nn12n1 6
