《2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第三单元 3.3.2 利用导数研究函数的极值（二） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第三单元 3.3.2 利用导数研究函数的极值（二） （10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、33.2 利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值(二二) 学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数 的最值 知识点 函数的最值 如图为 yf(x)，xa，b的图象 思考 1 观察a，b上函数 yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值 思考 2 结合图象判断，函数 yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分 别为多少？ 思考 3 怎样确定函数 f(x)在a，b上的最小值和最大值？ 梳理 (1)函数的最大(小)值的存在性 假设函数 yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条_的曲线，该函数在a，b一 定能够取得最大值与最小值 (2)
2、求可导函数 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤如下： 求 f(x)在开区间(a，b)内所有_； 计算函数 f(x)在_和_处的函数值，其中最大的一个为_， 最小的一个为_ 类型一 求函数的最值 命题角度 1 不含参数的函数最值问题 例 1 求下列函数的最值： (1)f(x)2x312x，x2,3； (2)f(x) xsin x，x0,2 1 2 反思与感悟 求解函数在闭区间上的最值，需注意以下几点： (1)对函数进行准确求导，并检验 f(x)0 的根是否在给定区间内 (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值 (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值 跟踪训练 1 求函数 f(x
3、)ex(3x2)，x2,5的最值 命题角度 2 含参数的函数最值问题 例 2 已知函数 f(x)exax2bx1，其中 a，bR，e2.718 28为自然对数的底数 设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0,1上的最小值 反思与感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于 0，等于 0，小于 0 三种情况若 导函数恒不等于 0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等 于 0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值 跟踪训练 2 已知 a 是实数，函数 f(x)x2(xa) (1)若 f(1)3，求 a 的值及曲线 yf(x)在点(1，f(1
4、)处的切线方程； (2)求 f(x)在区间0,2上的最大值 类型二 由函数的最值求参数 例 3 已知函数 f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为 3，最小值为29，求 a，b 的 值 反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般 先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解 决问题其中注意分类讨论思想的应用 跟踪训练 3 设 f(x) x3 x22ax.当 00 成立 1 a 反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 跟踪训练 4 已知函数 f(x)(x1)ln xx1. 若 xf(x)x2ax1 恒成
5、立，求 a 的取值范围 1函数 f(x)x33x(|x|0)，若当 x(0，)时，f(x)2 恒成立，则实数 a 的取值范 a x2 围是_ 1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间 内只有一个极值，则这个极值就是最值 2已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论 3 “恒成立”问题可转化为函数最值问题 答案精析答案精析 问题导学 知识点 思考 1 极大值为 f(x1)，f(x3)，极小值为 f(x2)，f(x4) 思考 2 存在，f(x)minf(a)， f(x)maxf(x3) 思考 3 比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值
6、，最小的是最小值 梳理 (1)连续不断 (2)极值点 极值点 端点 最大值 最小值 题型探究 例 1 解 (1)f(x)2x312x， 所以 f(x)6x212 6(x)(x)， 22 令 f(x)0，解得 x或 x. 22 因为 f(2)8，f(3)18， f()8， 22 f()8， 22 所以当 x时， 2 f(x)取得最小值8； 2 当 x3 时，f(x)取得最大值 18. (2)f(x) cos x，x0,2， 1 2 令 f(x)0， 解得 x或 x. 2 3 4 3 因为 f(0)0，f(2)，f() 2 3 ， 3 3 2 f()， 4 3 2 3 3 2 所以当 x0 时，f
7、(x)有最小值 f(0)0； 当 x2 时，f(x)有最大值 f(2). 跟踪训练 1 解 f(x)3exexx2， f(x)3ex(exx22exx) ex(x22x3) ex(x3)(x1) 在区间2,5上， f(x)ex(x3)(x1)0， 即 0 时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x1(1,0)0(0,2)2 f(x) 0 f(x)7abb 16ab 由表可知，当 x0 时，f(x)取得极大值 b，也是函数 f(x)在1,2上的最大值，f(0)b3. 又 f(1)7a3， f(2)16a3f(1)， f(2)16a293，解得 a2. 综上可得，a2，b3 或 a2，b29.
8、跟踪训练 3 解 f(x)x2x2a， 令 f(x)0，得两根 x1， 1 18a 2 x2. 1 18a 2 当 x(，x1)，(x2，)时， f(x)0， 所以 f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增 当 00， 故(1，)是 g(x)的单调递增区间 因此 x1 是 g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值 为 g(1)1. (2)因为 g(a)g(x)0 成立， 1 a 即 ln a0 成立 由(1)知，g(x)的最小值为 1， 所以 ln a0， 2， 则函数 y 在区间上为增函数， 2， 所以 y 的最大值为 ymaxsin ， 故选 C. 34 解析 f(x)3ax2，f(1)3a6，a2. 当 x1,2时，f(x)6x20， 即 f(x)在1,2上是增函数， f(x)在1,2上的最大值为 f(2)223c20， c4. 4B f(x)3x23a，令 f(x)0，可得 ax2，a0， 又函数在(0,1)上有最小值， 00； 1 2 当 xe 时，g(x)0， 1 2 当 xe 时，g(x)取得最大值为 g(e )e，ae. 1 2 1 2
