《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第二讲 二 圆内接四边形的性质及判定定理 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第二讲 二 圆内接四边形的性质及判定定理 （10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二圆内接四边形的性质及判定定理 对应学生用书 P21 1圆内接四边形的性质 (1)圆的内接四边形对角互补 如图：四边形 ABCD 内接于O，则有：AC180， BD180. (2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 如图：CBE 是圆内接四边形 ABCD 的一外角，则有： CBED. 2圆内接四边形的判定 (1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆 (2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共 圆 对应学生用书 P21 圆内接四边形的性质 例 1 如图，AB 是O 的直径，弦 BD，CA 的延长线相交于点 E，EF 垂直 BA 的
2、延长线于点 F. 求证：DEADFA. 思路点拨 本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用解题时， 只需证 A，D，E，F 四点共圆后可得结论 证明 连接 AD.因为 AB 为圆的直径，所以ADB90.又 EFAB，EFA90，所以 A，D，E，F 四点共圆 所以DEADFA. 圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相 似的条件，从而证明一些比例式的成立或证明某些等量关系 1圆内接四边形 ABCD 中，已知A，B，C 的度数比为 435，求四边形各角 的度数 解：设A，B，C 的度数分别为 4x,3x,5x， 则由AC180， 可得 4x5x180.x20.
3、A42080，B32060， C520100，D180B120. 2已知：如图，四边形 ABCD 内接于圆，延长 AD，BC 相交于 点 E，点 F 是 BD 的延长线上的点，且 DE 平分CDF. (1)求证：ABAC； (2)若 AC3 cm，AD2 cm，求 DE 的长 解：(1)证明： ABC2， 213，43， ABC4. ABAC. (2)34ABC， DABBAE， ABDAEB. . AB AE AD AB ABAC3，AD2， AE . AB2 AD 9 2 DE 2 (cm). 9 2 5 2 圆内接四边形的判定 例 2 如图，在ABC 中，E，D，F 分别为 AB，BC，
4、AC 的 中点，且 APBC 于 P. 求证：E，D，P，F 四点共圆 思路点拨 可先连接 PF，构造四边形 EDPF 的外角FPC， 证明FPCC，再证明FPCFED 即可 证明 如图，连接 PF， APBC，F 为 AC 的中点， PF AC. 1 2 FC AC， 1 2 PFFC. FPCC. E、F、D 分别为 AB，AC，BC 的中点 EFCD，EDFC. 四边形 EDCF 为平行四边形， FEDC. FPCFED. E，D，P，F 四点共圆 证明四点共圆的方法常有：如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；如果四 边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；如果四边形的一个外
5、角等于它 的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；如果两个三角形有公共边，公共边所对的 角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆 3判断下列各命题是否正确 (1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个； (2)矩形有唯一的外接圆； (3)菱形有外接圆； (4)正多边形有外接圆 解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点 的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心 到各顶点的距离相等 4已知：在ABC 中，ADDB，DFAB 交 AC 于点 F，AEEC，EGAC 交 AB 于点 G.求证： (1
6、)D、E、F、G 四点共圆； (2)G、B、C、F 四点共圆 证明：(1)如图， 连接 GF， 由 DFAB，EGAC， 知GDFGEF90， GF 中点到 D、E、F、G 四点距离相等，D、E、F、G 四点共圆 (2)连接 DE.由 ADDB，AEEC，知 DEBC， ADEB.又由(1)中 D、E、F、G 四点共圆， ADEGFE.GFEB. G、B、C、F 四点共圆. 圆内接四边形的综合应用 例 3 如图，已知O1与O2相交于 A、B 两点，P 是O1上一点，PA、PB 的延长 线分别交O2于点 D、C，O1的直径 PE 的延长线交 CD 于点 M. 求证：PMCD. 思路点拨 O1与O
7、2相交，考虑连接两交点 A、B 得公共弦 AB；PE 是O1的直 径，考虑连接 AE 或 BE 得 90的圆周角；要证 PMCD，再考虑证角相等 证明 如图， 分别连接 AB，AE， A、B、C、D 四点共圆， ABPD. A、E、B、P 四点共圆， ABPAEP. AEPD. A、E、M、D 四点共圆 PMCDAE. PE 是O1的直径， EAPA. PMCDAE90. PMCD. 此类问题综合性强，知识点丰富，解决的办法大多是先判断四点共圆，然后利用圆内 接四边形的性质证明或求得某些结论成立 5.如图，P 点是等边ABC 外接圆的上一点，CP 的延长线和 A A BC AB 的延长线交于点
8、 D，连接 BP. 求证：(1)DCBP； (2)AC2CPCD. 证明：(1)ABC 为等边三角形， ABCA60. DBC120. 又四边形 ABPC 是圆内接四边形， BPC180A120. BPCDBC. 又DCBBCP， BCPDCB. DCBP. (2)由(1)知BCPDCB， . BC DC CP CB CB2CPCD. 又 CBAC，AC2CPCD. 6如图，在正三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 BD BC，CE CA，AD，BE 相交于点 P. 1 3 1 3 求证：(1)四点 P，D，C，E 共圆； (2)APCP. 解：(1)证明：在ABC 中
9、， 由 BD BC，CE CA 知： 1 3 1 3 ABDBCE， 即ADBBEC，即ADCBEC180， 所以四点 P，D，C，E 共圆 (2)如图，连接 DE. 在CDE 中，CD2CE， ACD60， 由余弦定理知CED90. 由四点 P，D，C，E 共圆知， DPCDEC， 所以 APCP. 对应学生用书 P24 一、选择题 1设四边形 ABCD 为圆内接四边形，现给出四个关系式： sin Asin C，sin Asin C0，cos Bcos D0，cos Bcos D. 其中恒成立的关系式的个数是( ) A1 B2 C3 D4 解析：因为圆内接四边形的对角互补， 故A180C，且
10、A，C 均不为 0或 180， 故式恒成立，式不成立 同样由B180D 知，式恒成立 式只有当BD90时成立 答案：B 2圆内接四边形 ABCD 中，ABCD 可以是( ) A4231 B4312 C4132 D以上都不对 解析：由四边形 ABCD 内接于圆，得ACBD，从而只有 B 符合题意 答案：B 3如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，E 为 AB 的延长 线上一点，CBE40，则AOC 等于( ) A20 B40 C80 D100 解析：四边形 ABCD 是圆内接四边形，且CBE40，由圆内接四边形性质知 DCBE40， 又由圆周角定理知：AOC2D80. 答案：C 4已知四边
11、形 ABCD 是圆内接四边形，下列结论中正确的有( ) 如果AC，则A90； 如果AB，则四边形 ABCD 是等腰梯形； A 的外角与C 的外角互补； ABCD 可以是 1234 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解析：由“圆内接四边形的对角互补”可知：相等且互补的两角必为直角；两相 等邻角的对角也相等(亦可能有ABCD 的特例)；互补两内角的外角也互补； 两组对角之和的份额必须相等(这里 1324)因此得出正确，错误 答案：B 二、填空题 5(2014陕西高考)如图，ABC 中，BC6，以 BC 为直径的半圆分别交 AB，AC 于 点 E，F，若 AC2AE，则 EF_. 解析：B，C
12、，F，E 四点在同一个圆上，AEFACB，又AA， AEFACB， AE AC EF BC 即 ，EF3. 1 2 EF 6 答案：3 6如图，直径 AB10，弦 BC8，CD 平分ACB，则 AC_， BD_. 解析：ACB90，ADB90. 在 RtABC 中，AB10，BC8， AC6. AB2BC2 又CD 平分ACB. 即ACDBCD， ADBD. BD 5. AB2 22 答案：6 5 2 7如图，点 A，B，C，D 都在O 上，若C34，则 AOB_，ADB_. 解析：C 和AOB 分别是所对的圆周角与圆心角， A A AB AOB2C68. 周角是 360，劣弧 AB 的度数为
13、 68，优弧 AB 的度数为 292. ADB 292146. 1 2 答案：68 146 三、解答题 8.已知：如图，E、F、G、H 分别为菱形 ABCD 各边的中点，对 角线 AC 与 BD 相交于 O 点，求证：E，F，G，H 共圆 证明：法一：连接 EF、FG、GH、HE. E、F 分别为 AB、BC 的中点， EFAC.同理 EHBD. HEFAOB. ACBD，HEF90. 同理FGH90. HEFFGH180. E、F、G、H 共圆 法二： 连接 OE、OF、OG、OH. 四边形 ABCD 为菱形 ACBD， ABBCCDDA. E、F、G、H 分别为菱形 ABCD 各边的中点，
14、 OE AB，OF BC， 1 2 1 2 OG CD，OH DA. 1 2 1 2 OEOFOGOH. E，F，G，H 在以 O 点为圆心，以 OE 为半径的圆上 故 E，F，G，H 四点共圆 9.如图，A，B，C，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与 BC 的延 长线交于 E 点，且 ECED. (1)证明：CDAB； (2)延长 CD 到 F，延长 DC 到 G，使得 EFEG，证明： A，B，G，F 四点共圆 证明：(1)因为 ECED， 所以EDCECD. 因为 A，B，C，D 四点在同一圆上， 所以EDCEBA. 故 ECDEBA. 所以 CDAB. (2)由(1)知，AEBE. 因为 EFEG， 故EFDEGC，从而FEDGEC. 连接 AF，BG，则EFAEGB， 故FAEGBE. 又 CDAB，EDCECD， 所以FABGBA
