《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第二讲 三 圆的切线的性质及判定定理 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第二讲 三 圆的切线的性质及判定定理 （11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三圆的切线的性质及判定定理 对应学生用书 P25 1切线的性质 (1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 如图，已知 AB 切O 于 A 点，则 OAAB. (2)推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 (3)推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 (2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线 (3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线 其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定 的 说明 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论， “经
2、过半径的外端”和“垂直于这 条半径”这两个条件缺一不可，否则该直线就不是圆的切线 对应学生用书 P25 圆的切线的性质 例 1 如图，已知C90，点 O 在 AC 上，CD 为O 的直 径，O 切 AB 于 E，若 BC5，AC12.求O 的半径 思路点拨 O 切 AB 于点 E，由圆的切线的性质，易联想 到连接 OE 构造 RtOAE，再利用相似三角形的性质，求出O 的 半径 解 连接 OE， AB 与O 切于点 E， OEAB，即OEA90. C90，AA， RtACBRtAEO， . OE BC AO AB BC5，AC12，AB13， ， OE 5 12OE 13 OE. 10 3 即
3、O 的半径为. 10 3 利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切 点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利 用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等 1如图，AB 切O 于点 B，延长 AO 交O 于点 C，连接 BC.若A40，则C( ) A20 B25 C40 D50 解析：连接 OB，因为 AB 切O 于点 B，所以 OBAB，即 ABO90，所以AOB50. 又因为点 C 在 AO 的延长线上，且在O 上， 所以C AOB25. 1 2 答案：B 2.如图，已知 PAB 是O 的割线，AB 为O 的直径PC 为 O
4、 的切线，C 为切点，BDPC 于点 D，交O 于点 E，PAAOOB1. (1)求P 的度数； (2)求 DE 的长 解：(1)连接 OC. C 为切点，OCPC，POC 为直角三角形 OCOA1，POPAAO2， sin P .P30. OC PO 1 2 (2)BDPD，在 RtPBD 中， 由P30，PBPAAOOB3， 得 BD . 3 2 连接 AE.则AEB90，AEPD. EABP30，BEABsin 301， DEBDBE . 1 2 圆的切线的判定 例 2 已知 D 是ABC 的边 AC 上的一点，ADDC21，C45， ADB60，求证：AB 是BCD 的外接圆的切线 思
5、路点拨 连接OB，OC，ODBOD90 . OBCOCB30ABO90结论 证明 如图，连接 OB，OC，OD，OD 交 BC 于 E. DCB 是所对的圆周角， A A BD BOD 是所对的圆心角， A A BD BCD45， BOD90. ADB 是BCD 的一个外角， DBCADBACB 604515， DOC2DBC30， 从而BOC120， OBOC，OBCOCB30. 在OEC 中，因为EOCECO30， OEEC， 在BOE 中，因为BOE90，EBO30. BE2OE2EC， ， CE BE CD DA 1 2 ABOD，ABO90， 故 AB 是BCD 的外接圆的切线 要证
6、明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定理，除此以外，还有圆心到直线 的距离等于半径等判定方法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直线的垂 线是常用辅助线 3本例中，若将已知改为“ABDC” ，怎样证明：AB 是BCD 的外接圆的切 线 证明：作直径 BE，连接 DE， BE 是O 的直径， BDE90， EDBE90. CE，ABDC， ABDDBE90. 即ABE90. AB 是BCD 的外接圆的切线 4.如图，ABC 内接于O，点 D 在 OC 的延长线上，sin B ，D30. 1 2 (1)求证：AD 是O 的切线 (2)若 AC6，求 AD 的长 解：(1)证明：如图，
7、连接 OA， sin B ，B30， 1 2 AOC2B，AOC60， D30， OAD180DAOC90， AD 是O 的切线 (2)OAOC，AOC60， AOC 是等边三角形，OAAC6， OAD90，D30， ADAO6. 33 圆的切线的性质和判定的综合考查 例 3 如图，AB 为O 的直径，D 是的中点，DEAC 交 A A BC AC 的延长线于 E，O 的切线 BF 交 AD 的延长线于点 F. (1)求证：DE 是O 的切线； (2)若 DE3，O 的半径为 5，求 BF 的长 思路点拨 (1)连接 OD，证明 ODDE； (2)作 DGAB. 证明 (1)连接 OD， D
8、是中点， A A BC 12. OAOD， 23. 13. ODAE. DEAE，DEOD，即 DE 是O 的切线 (2)过 D 作 DGAB， 12，DGDE3. 在 RtODG 中，OG4， 5232 AG459. DGAB，FBAB，DGFB. ADGAFB. . DG BF AG AB .BF. 3 BF 9 10 10 3 对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是 圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果 5.如图，已知两个同心圆 O，大圆的直径 AB 交小圆于 C、D，大圆 的弦 EF 切小圆于 C，ED 交小圆于 G，若小圆的半径为 2，EF4，
9、试 3 求 EG 的长 解：连接 GC，则 GCED. EF 和小圆切于 C， EFCD，EC EF2. 1 23 又 CD4，在 RtECD 中， 有 ED EC2CD2 2. 2 32427 由射影定理可知 EC2EGED， EG. EC2 ED 2 32 2 7 6 7 7 6如图，以 RtABC 直角边 AC 上一点 O 为圆心，OC 为半径的 O 与 AC 的另一个交点为 E，D 为斜边 AB 上一点且在O 上， AD2AEAC. (1)证明：AB 是O 的切线； (2)若 DEOB8，求O 的半径 解：(1)证明：连接 OD，CD， AD2AEAC， .又DAEDAC， AD AE
10、 AC AD DAECAD，ADEACD. ODOC，ACDODC， 又CE 是O 的直径， ODECDO90，ODA90， AB 是O 的切线 (2)AB，BC 是O 的切线， OBDC，DEOB，CEDCOB， EDCOCB，CDEBCO， ，DEOB2R28， DE CO CE BO O 的半径为 2. 对应学生用书 P27 一、选择题 1下列说法：与圆有公共点的直线是圆的切线；垂直于圆的半径的直线是圆的切 线；与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；过直径的端点，垂直于此直径的直线 是圆的切线其中正确的有( ) A B C D 答案：C 2如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，A
11、C 交O 于 D.AB6，BC8，则 BD 等于( ) A4 B4.8 C5.2 D6 解析：AB 是O 的直径，BDAC. BC 是O 的切线，ABBC. AB6，BC8，AC10. BD4.8. ABBC AC 答案：B 3.如图，CD 切O 于 B，CO 的延长线交O 于 A，若C36，则 ABD 的度数是( ) A72 B63 C54 D36 解析：连接 OB. CD 为O 的切线，OBC90. C36，BOC54. 又BOC2A，A27， ABDAC273663. 答案：B 4如图，在O 中，AB 为直径，AD 为弦，过 B 点的切线与 AD 的延长线交于 C，若 ADDC，则 si
12、n ACO 等于( ) A. B. 10 10 2 10 C. D. 5 5 2 4 解析：连接 BD，则 BDAC. ADDC，BABC， BCA45. BC 是O 的切线，切点为 B， OBC90. sin BCO， OB OC OB 5OB 5 5 cos BCO. BC OC 2OB 5OB 2 5 5 sin ACOsin(45BCO) sin 45cos BCOcos 45sin BCO . 2 2 2 5 5 2 2 5 5 10 10 答案：A 二、填空题 5如图，已知AOB30，M 为 OB 边上一点，以 M 为圆心、2 为半径作M.若点 M 在 OB 边上运动，则当 OM_
13、时，M 与 OA 相切 解析：若M 与 OA 相切，则圆心 M 到直线 OA 的距离等于圆的 半径 2. 过 M 作 MNOA 于点 N， 则 MN2. 在 RtMON 中，MON30， OM2MN224. 答案：4 6已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A，PA2，AC 是圆 O 的直径，PC 与圆 O 交于 B 点，PB1.则圆 O 的半径 R_. 解析：AB. AP2PB23 由 AB2PBBC， BC3，RtABC 中， AC2. AB2BC23 R. 3 答案： 3 7圆 O 的直径 AB6，C 为圆周上一点，BC3，过 C 作圆的切线 l，过 A 作 l 的垂 线 AD，AD 分别与直线 l、圆交于点 D、E，则DAC_，DC_. 解析：连接 OC， OCOB，OCBOBC. 又DCAACO90， ACOOCB90， DCAOCB， OC3，BC3， OCB 是正三角形 OBC60，即DCA60. DAC30. 在 RtACB 中，AC3， AB2BC23 DCACsin 30. 3 2 3 答案：30 3 3 2 三、解答题 8.如图所示，D 是O 的直径 AB 的延长线上一点，PD 是O 的 切线，P 是切点，D30 . 求证：PAPD. 证明：如图，连接 OP， PD 是O 的切线，P 为切点 POPD. D30，POD60
