《2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2教学案： 第三章 3.1数系的扩充和复数的概念 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2教学案： 第三章 3.1数系的扩充和复数的概念 （19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 课时 数系的扩充和复数的概念 核心必知 1预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P50P51的内容，回答下列问题 (1)方程 x210 在实数范围内有解吗？ 提示：没有 (2)为了解决 x210 这样的方程在实数系中无解的问题，教材中引入了一个什么样的 新数？ 提示：引入了新数 i，使 ii1. (3)把实数 a 与引入的新数 i 相加，把实数 b 与 i 相乘，各得到什么结果？ 提示：分别得到 ai，bi. (4)把实数 a 与实数 b 和 i 相乘的结果相加，得到什么结果？ 提示：得到 abi. 2归纳总结，核心必记 (1)复数的概念及代数表示 定义：形如 abi(a，bR)
2、的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i21.全体 复数所成的集合 C 叫做复数集 表示：复数通常用字母 z 表示，即 zabi(a，bR)，这一表示形式叫做复数的代 数形式，a 与 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部 (2)复数相等的充要条件 在复数集 Cabi|a，bR中任取两个数 abi，cdi(a，b，c，dR)，规定 abi 与 cdi 相等的充要条件是 ac 且 bd. (3)复数的分类 复数 abi(a，bR)Error!Error! 集合表示： 问题思考 (1)复数 mni 的实部、虚部一定是 m、n 吗？ 提示：不一定只有当 mR，nR 时，m， n 才是该复数的实部、
3、虚部 (2)对于复数 zabi(a，bR)，它的虚部是 b 还是 bi? 提示：虚部为 b. (3)复数 zabi 在什么情况下表示实数？ 提示：b0. (4)复数集 C 与实数集 R 之间有什么关系？ 提示：RC. (5)我们知道 0 是实数，也是复数，那么它的实部和虚部分别是什么？ 提示：它的实部和虚部都是 0. (6)a0 是 zabi 为纯虚数的充要条件吗？ 提示：不是因为当 a0 且 b0 时，zabi 才是纯虚数，所以 a0 是复数 zabi 为纯虚数的必要不充分条件 (7)z132i，z2 i，z30.5i，则 z1，z2，z3的实部和虚部各是什么？能否说 1 23 z1z2?
4、提示：z1的实部为 3，虚部为 2；z2的实部为 ，虚部为；z3的实部为 0，虚部为 1 23 0.5.因为两个虚数不能比较大小，所以不能说 z1z2. (8)若(a2)bi0，则 a，b 应满足什么条件？ 提示：要使(a2)bi0 成立，则(a2)bi 应为实数，且 a20，即Error!Error!故Error!Error! 课前反思 通过以上预习，必须掌握的几个知识点 (1)复数的定义是什么？ ； (2)复数的代数形式是什么？什么是复数的实部和虚部？ ； (3)复数相等的充要条件是什么？ ； (4)复数的分类是什么？复数 zabi(a，bR)是实数、虚数、纯虚数的条件是什么？ . 讲一讲
5、 1给出下列三个命题：(1)若 zC，则 z20；(2)2i1 的虚部是 2i；(3)2i 的实部是 0. 其中真命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 尝试解答 对(1)，当 zR 时，z20 成立，否则不成立，如 zi，z21z2，则 a 的值为( ) A0 B1 C D. 3 2 1 6 解析：选 A 由 z1z2， 得Error!Error!即Error!Error! 解得 a0. 5若 log2(m23m3)ilog2(m2)为纯虚数，则实数 m_. 解析：因为 log2(m23m3)ilog2(m2)为纯虚数，所以Error!Error!所以 m4. 答案：4 6若 log2(
6、x23x2)ilog2(x22x1)1，则实数 x 的值(或取值范围)是_ 解析：由题意知Error!Error! 解得 x2. 答案：2 7已知关于 x，y 的方程组Error!Error!有实数解，求实数 a，b 的值 解：设(x0，y0)是方程组的实数解，则由已知及复数相等的充要条件得Error!Error! 由得Error!Error!代入得Error!Error! 8已知 M1，(m22m)(m2m2)i，P1,1,4i，若 MPP，求实数 m 的值 解：MPP，MP， 即(m22m)(m2m2)i1 或(m22m)(m2m2)i4i.由(m22m) (m2m2)i1， 得Error
7、!Error!解得 m1； 由(m22m)(m2m2)i4i， 得Error!Error!解得 m2. 综上可知 m1 或 m2. 第 2 课时 复数的几何意义 核心必知 1预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P52P53的内容，回答下列问题 (1)根据复数相等的定义，复数 zabi(a，bR)与有序实数对(a，b)之间有什么对应 关系？ 提示：一一对应关系 (2)有序实数对(a，b)与平面直角坐标系内的点有怎样的对应关系？ 提示：一一对应关系 (3)通过以上 2 个问题，你认为复数集与平面直角坐标系中的点集之间有什么对应关系？ 提示：一一对应关系 2归纳总结，核心必记 (1)复平面的
8、定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的 点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义 复数 zabi(a，bR)一一对应复平面内的点 Z(a，b)； 复数 zabi(a，bR)一一对应平面向量. (3)复数的模 复数 zabi(a，bR)对应的向量为，则的模叫做复数 z 的模，记作|z|或 |abi|，且|z|. a2b2 问题思考 (1)复平面的虚轴的单位长度是 1，还是 i? 提示：复平面的虚轴的单位长度是 1，而不是 i. (2)原点是实轴与虚轴的公共点吗？ 提示：是 (3)若复数(a1)(a1)i(aR)
9、在复平面内对应的点 P 在第四象限，则 a 满足什么条 件？ 提示：a 满足Error!Error!即10，得 m5，此时 z 在复平面内对应的点位于 x 轴上 方 (2)由 m25m6m22m15，得 m3，此时 z 在复平面内对应的点位于直线 yx 上 思考 与复数 zabi(a，bR)对应的平面向量是什么？ 名师指津：与复数 zabi(a，bR)对应的平面向量(a， b) 讲一讲 2(1)已知平面直角坐标系中 O 是原点，向量，对应的复数分别为 23i，32i，那么向量对应的复数是( ) A55i B55i C55i D55i (2)在复平面内，A，B，C 三点对应的复数分别为 1,2i
10、，12i. 求向量，对应的复数； 若 ABCD 为平行四边形，求 D 对应的复数 尝试解答 (1)向量，对应的复数分别为 23i，32i，根据复数的几何意义， 可得向量(2，3)，(3,2) 由向量减法的坐标运算可得向量(23，32)(5，5)，根据复 数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是 55i. (2)设 O 为坐标原点，由复数的几何意义知： (1,0)，(2,1)，(1,2)， 所以(1,1)，(2,2)，(3,1)， 所以，对应的复数分别为 1i，22i，3i. 因为 ABCD 为平行四边形， 所以(3,1)， (1,0)(3,1)(2,1)所以 D 对应的复数为2i. 答案
11、 (1)B (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对 应的复数即为向量对应的复数反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向 线段，即为复数对应的向量 (2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工 具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化 练一练 2在复平面内，O 是原点，若向量对应的复数 z 的实部为 3，且|3，如果点 A 关于原点的对称点为点 B，求向量对应的复数 解：根据题意设复数 z3bi(bR)， 由复数与复平面内的点、向量的对应关系得(3，b)， 已知|3，即3， 32b2 解得 b0，故 z3，点
12、A 的坐标为(3,0) 因此，点 A 关于原点的对称点为 B(3,0)， 所以向量对应的复数为 z3. 思考 复数 zabi(a，bR)的模是什么？其模的几何意义是什么？ 名师指津：复数 zabi 的模|z|，其几何意义是点(a，b)到坐标原点的距 a2b2 离 讲一讲 3已知复数 z1i，z2 i. 3 1 2 3 2 (1)求|z1|及|z2|并比较大小； (2)设 zC，满足条件|z|z1|的复数 z 对应的点 Z 的轨迹是什么图形？ 尝试解答 (1)|z1|i|2，|z2|1，所以|z1|z2|. 3 3212 ( 1 2)2( 3 2)2 (2)法一：设 zxyi(x，yR)， 则点
13、 Z 的坐标为(x，y) 由|z|z1|2 得 2，即 x2y24. x2y2 所以点 Z 的轨迹是以原点为圆心，2 为半径的圆 法二：由|z|z1|2 知|OZ|2(O 为坐标原点)， 所以 Z 到原点的距离为 2. 所以 Z 的轨迹是以原点为圆心，2 为半径的圆 (1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小 (2)根据复数模的计算公式|abi|可把复数模的问题转化为实数问题解决 a2b2 (3)根据复数模的定义|z|OZ|，可把复数模的问题转化为向量模(即两点的距离)的 问题解决 练一练 3已知复数 z3ai，且|z|0，cos 23. 答案：(3，) 4设 zlog2(1m)ilo
14、g (3m)(mR) 1 2 (1)若 z 在复平面内对应的点位于第三象限，求 m 的取值范围； (2)若 z 在复平面内对应的点在直线 xy10 上，求 m 的值 解：(1)由已知，得Error!Error! 即Error!Error!解得10，且 3m0，m1. 222 题组 2 复数与平面向量的对应关系 5向量对应的复数为 z132i，对应的复数 z21i，则|为( ) A. B. C2 D. 5310 解析：选 A 因为向量对应的复数为 z132i，对应的复数为 z21i， 所以(3,2)，(1，1)， 则(2,1)， 所以|. 5 6向量(，1)按逆时针方向旋转 60所对应的复数为( ) 3 Ai B2i 3 C1i D1i 33 解析：选 B 向量(，1)，设其方向与 x 轴正方向夹角为 ，tan ，则 3 1 3 3 3 30，按逆时针旋转 60后与 x 轴正方向夹角为 90，又| |2，故旋转后对应的复数 为 2i，故选 B. 7在复平面内，O 是原点，已知复数 z112i，z21i，z332i，它们所对应 的点分别是 A，B，C，若xy (x，yR)，求 xy 的值 解：由已知，得(1,2)，(1，1)，(3，2)， 所以 xyx(1,2)y(1，1)(xy,2xy) 由xy， 可得Error!Error!
