《2018版高中数学人教B版选修1-2学案：第二单元 2.2.2 反证法 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版选修1-2学案：第二单元 2.2.2 反证法 （5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.2 反证法反证法 明目标、知重点 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用 反证法证明数学问题. 1.反证法的定义 一般地，由证明 pq 转向证明：綈 qrt，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾.从而 判定綈 q 为假，推出 q 为真的方法，叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理、 公式、定义或已被证明了的结论矛盾，或与公认的简单事实矛盾等. 3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下 结论词至少有一个至多有一个至少有 n 个至多有 n 个 反设词 一个也没有 (不存在)
2、至少有两个 至多有 (n1)个 至少有 (n1)个 结论词只有一个对所有 x 成立对任意 x 不成立 反设词 没有或至 少有两个 存在某个 x 不成立存在某个 x 成立 结论词都是一定是p 或 qp 且 q 反设词不都是不一定是 綈 p 且綈 q綈 p 或綈 q 情境导学 王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一 哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王 戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这 树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.” 这就是著名的“道旁苦李”的故事.王戎
3、的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法反 证法. 探究点一 反证法的概念 思考 1 结合情境导学描述反证法的一般模式是什么？ 答 (1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的 推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”) 矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法. 思考 2 反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾.反证法引出的矛盾有几种情况？ 答 (1)与假设矛盾； (2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾； (3)与公认的简单事实矛盾. 思考 3 反证法主要
4、适用于什么情形？ 答 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰； 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或 很少的几种情形. 探究点二 用反证法证明定理、性质等一些事实结论 例 1 已知直线 a，b 和平面 ，如果 a，b，且 ab，求证：a. 证明 因为 ab， 所以经过直线 a，b 确定一个平面 . 因为 a，而 a，所以 与 是两个不同的平面. 因为 b，且 b，所以 b. 下面用反证法证明直线 a 与平面 没有公共点. 假设直线 a 与平面 有公共点 P，如图所示， 则 Pb，即点 P 是直线 a 与 b 的公共点， 这与
5、 ab 矛盾.所以 a. 反思与感悟 数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法 极少，宜用反证法证明.正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接 证明时，可考虑用反证法. 跟踪训练 1 如图，已知 ab，a平面 A.求证：直线 b 与平面 必相交. 证明 假设 b 与平面 不相交，即 b 或 b. 若 b，因为 ba，a，所以 a， 这与 aA 相矛盾； 如图所示，如果 b， 则 a，b 确定平面 . 显然 与 相交， 设 c，因为 b， 所以 bc.又 ab， 从而 ac，且 a，c， 则 a，这与 aA 相矛盾. 由知，假设不成立，故直线 b
6、与平面 必相交. 探究点三 用反证法证明否定性命题 例 2 求证：不是有理数. 2 证明 假设是有理数.于是，存在互质的正整数 m，n， 2 使得 ，从而有 mn，因此 m22n2， 2 m n2 所以 m 为偶数.于是可设 m2k(k 是正整数)，从而有 4k22n2，即 n22k2， 所以 n 也为偶数.这与 m，n 互质矛盾. 由上述矛盾可知假设错误，从而不是有理数. 2 反思与感悟 当结论中含有“不” 、 “不是、 “不可能” 、 “不存在”等否定形式的命题时，由 于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法. 跟踪训练 2 已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列，求证：，
7、，不成等 abc 差数列. 证明 假设， ，成等差数列，则 abc 2，即 ac24b， acbac 而 b2ac，即 b，ac24， acacac ()20.即， acac 从而 abc，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故， ，不成等差数列. abc 探究点四 含至多、至少、唯一型命题的证明 例 3 若函数 f(x)在区间a，b上是增函数，那么方程 f(x)0 在区间a，b上至多有一个实根. 证明 假设方程 f(x)0 在区间a，b上至少有两个实根，设 、 为其中的两个实根.因为 ，不妨设 0，这与 abc0 矛盾， 故 a、b、c 中至少有一个大于 0. 1.用反证法证明“在ABC 中
8、至多有一个直角或钝角” ，第一步应假设( ) A.三角形中至少有一个直角或钝角 B.三角形中至少有两个直角或钝角 C.三角形中没有直角或钝角 D.三角形中三个角都是直角或钝角 答案 B 2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于 60” ，应先假设这个三角形中( ) A.有一个内角小于 60 B.每一个内角都小于 60 C.有一个内角大于 60 D.每一个内角都大于 60 答案 B 3.“ab C.ab D.ab 或 ab 答案 D 4.用反证法证明“在同一平面内，若 ac，bc，则 ab”时，应假设( ) A.a 不垂直于 c B.a，b 都不垂直于 c C.ab D.a 与 b 相交
9、答案 D 5.已知 a0，证明：关于 x 的方程 axb 有且只有一个根. 证明 由于 a0，因此方程至少有一个根 x . b a 如果方程不止一个根，不妨设 x1，x2是它的两个不同的根，即 ax1b， ax2b. ，得 a(x1x2)0. 因为 x1x2，所以 x1x20，所以应有 a0，这与已知矛盾，故假设错误. 所以，当 a0 时，方程 axb 有且只有一个根. 呈重点、现规律 1.反证法证明的基本步骤： (1)假设命题结论的反面是正确的；(反设) (2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事 实矛盾；(推谬) (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的.(结论) 2.反证法证题与“逆否命题法”的异同： 反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题.反 证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定 理、公式、事实矛盾.因此，反证法与证明逆否命题是不同的.
