《2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用教学案：第二章 2.1合情推理与演绎推理 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用教学案：第二章 2.1合情推理与演绎推理 （27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 课时 合情推理 核心必知 1预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P22P29的内容，回答下列问题 (1)哥德巴赫提出猜想的推理过程是什么？ 提示：通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没出 现反例于是提出猜想“任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和” (2)观察教材 P24P25的几个实例，这几个推理是归纳推理吗？它们有什么共同特点？ 提示：这几个推理不是归纳推理它们的共同特点是两类事物间的推理 2归纳总结，核心必记 (1)归纳推理 归纳推理的定义 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推 理，或者由个别事实概
2、括出一般结论的推理，称为归纳推理 归纳推理的特征 归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 (2)类比推理 类比推理的定义 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具 有这些特征的推理，称为类比推理 类比推理的特征 类比推理是由特殊到特殊的推理 (3)合情推理 含义： 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归 纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理 合情推理的过程： 从具体问题出发 观察、分析 比较、联想归纳、类比 提出 猜想 问题思考 (1)归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？ 提示：归纳推理的结论超出了前提
3、所界定的范围，其结论不一定正确类比推理是从 人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具 有猜测性，不一定可靠 (2) ， ， ， 2 3 21 31 2 3 22 32 2 3 23 33 由此猜想： (m 为正实数)上述推理是归纳推理还是类比推理？ 2 3 2m 3m 提示：归纳推理 (3)由平面内平行于同一直线的两直线平行，猜想：空间中平行于同一平面的两个平面 平行此推理是归纳推理还是类比推理？ 提示：类比推理 课前反思 (1)归纳推理的定义和特征各是什么？ (2)类比推理的定义和特征各是什么？ (3)归纳推理和类比推理有什么不同？ 角度一：数(式)中的
4、归纳推理 讲一讲 1(1)观察下列各式： 1312， 132332， 13233362， 13233343102， 照此规律，第 n 个等式可为_ (2)(链接教材 P23例 2)若数列an的通项公式 an(nN*)，记 f(n)(1a1) 1 n12 (1a2)(1an)，通过计算 f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出 f(n)的表达式 尝试解答 (1)左边各项幂的底数右边各项幂的底数 11， 1,23， 1,2,36， 1,2,3,410， 由左、右两边各项幂的底数之间的关系： 11， 123， 1236， 123410， 可得一般性结论： 132333n3(123n)2， 即 132
5、333n3 2. nn1 2 (2)an， 1 n12 a1 ，a2 ，a3. 1 4 1 9 1 16 f(1)1a1 ， 3 4 f(2) ， (1 1 4)(1 1 9) 4 6 f(3) . 3 4 8 9 15 16 5 8 推测 f(n). n2 2n2 答案 (1)132333n3 2 nn1 2 (1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的 分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号 n 的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论 (2)数列中的归纳推理的方法： 通过所给的条件求得数列中的前几项；
6、 观察数列的前几项，寻求项与项数之间的规律，猜测数列的通项公式并加以证明 练一练 1观察下列等式： 121， 12223， 1222326， 1222324210， 照此规律，第 n 个等式可为 _ 解析：观察规律可知，第 n 个式子为 12223242(1)n1n2(1)n1 . nn1 2 答案：12223242(1)n1n2(1)n1 nn1 2 角度二：图形中的归纳推理 讲一讲 2(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案 中有菱形纹的正六边形的个数是( ) A26 B31 C32 D36 (2)把 1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是
7、因为个数等于这些数目的点可以分 别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是_ 尝试解答 (1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表： 图案123 个数61116 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项，以 5 为公差的等 差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 65(61)31. 法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需 6 块有纹正六边形围绕(第一 个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加 5 块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹 正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的 个数为：65(61)31.故
8、选 B. (2)第七个三角形数为 123456728. 答案 (1)B (2)28 解决图形中归纳推理的方法 解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手： (1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系 (2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较， 数值发生了怎样的变化 练一练 2我们把 1,4,9,16,25，这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以 分别排成一个正方形(如图) 则第 n 个正方形数是( ) An(n1) Bn(n1) Cn2 D(n1)2 解析：选 C 观察前 5 个正方形数，恰好是序号的平方，所以第 n 个正方形数
9、应为 n2. 讲一讲 3三角形与四面体有下列共同的性质： (1)三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由平面三角形 所围成的最简单的封闭图形 (2)三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段上的各点连线所形成的图形； 四面体可以看做三角形外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表： 三角形四面体 三角形两边之和大于第三边 三角形的中位线等于第三边的一半并且平行于第三边 三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心 三角形的面积 S (abc)r(r 为三角形内切圆的半径) 1 2 尝试解答 三角
10、形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的 面，即平面的线类比空间的面；三角形的中位线对应四面体的中截面，三角形的内角对应 四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球具体见下表： 三角形四面体 三角形两边之和大于第三边 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面 的面积 三角形的中位线等于第三边的一半并且平行 于第三边 四面体的中截面的面积等于第四个面面积的 ，且平行于第四个面 1 4 三角形的三条内角平分线交于一点，且这个 点是三角形内切圆的圆心 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且 这个点是四面体的内切球的球心 三角形的面积为 S (abc)r(r 为三角形 1 2 内
11、切圆的半径) 四面体的体积为 V (S1S2S3S4) 1 3 r(S1、S2、S3、S4为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径) (1)类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)； 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题(猜想) (2)运用类比推理的关键是确定类比对象，常见的类比对象有： 平面几何与立体几何：能进行类比的基本元素有： 实数相等关系与不等关系；方程与不等式的性质 实数满足的运算律与向量满足的运算律 等差数列与等比数列的定义及性质 圆锥曲线的定义及性质 练一练 3如图所示， 在ABC 中，射影定理可表示为 abcos Cc
12、cos B，其中 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想 解：如图所示，在四面体 PABC 中，S1，S2，S3，S 分别为PAB，PBC， PAC，ABC 的面积， 分别为侧面 PAB，侧面 PBC，侧面 PAC 与底面 ABC 所成 二面角的大小，猜想：在四面体 PABC 中，SS1cos S2cos S3cos . 课堂归纳感悟提升 1本节课的重点是归纳推理和类比推理的应用难点是对归纳推理、类比推理结论的 真假判定 2本节课要重点掌握的规律方法 (1)数(式)中的归纳推理，见讲 1； (2)图形中的归纳推理，见讲 2； (3)类比推理的应用，见
13、讲 3. 课下能力提升(三) 学业水平达标练 题组 1 数(式)中的归纳推理 1已知数列 1，aa2，a2a3a4，a3a4a5a6，则数列的第 k 项是( ) Aakak1a2k Bak1aka2k1 Cak1aka2k Dak1aka2k2 解析：选 D 利用归纳推理可知，第 k 项中第一个数为 ak1，且第 k 项中有 k 项，且 次数连续，故第 k 项为 ak1aka2k2. 2如图所示，n 个连续自然数按规律排列如下： 根据规律，从 2 014 到 2 016 的箭头方向依次为( ) A B C D 解析：选 B 观察总结规律为：以 4 个数为一个周期，箭头方向重复出现因此，2 01
14、4 到 2 016 的箭头方向和 2 到 4 的箭头方向是一致的故选 B. 3根据给出的等式猜测 123 45697 等于( ) 19211 1293111 123941 111 1 2349511 111 12 34596111 111 A1 111 110 B1 111 111 C1 111 112 D1 111 113 解析：选 B 由题中给出的等式猜测，应是各位数都是 1 的七位数，即 1 111 111. 4设函数 f(x)(x0)，观察： x x2 f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)， x x2 x 3x4 f3(x)f(f2(x)， x 7x8 f4(x)f(f3(x)， x 15x16 根据以上事实，由归纳推理可得： 当 nN*且 n2 时，fn(x)f(fn1(x)_. 解析：根据题意知，分子都是 x，分母中的常数项依次是 2,4,8,16，可知 fn(x)的分 母中常数项为 2n，分母中 x 的系数为 2n1，故 fn(x). x 2n1x2n 答案： x 2n1x2n 题组 2 图形中的归纳推理 5如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第 36 颗珠子应是 什么颜色( ) A白色 B黑色 C白色可能性大 D黑色可能性大 解析：选 A 由图，知三白二黑周期性排列，36571，故第 36 颗珠子的颜色为 白色
