理论力学 矢量代数基础矢量代数基础 1.矢量的概念矢量的概念 • 标量：量度单位确定之后，仅用数的大 小就可以完全表示的量称为标量标量 • 矢量：具有大小和方向，并遵从一定运 算规则的量称为矢量矢量 • 矢量用粗斜体字母a表示，在图中表示为 一有向线段矢量的大小称为它的模模， 表示为︱a︱，或 a • 若一矢量的模等 于零，则称这个 矢量为零矢量零矢量， 表示为0在此 情况下，无所谓 它的方向 • 模等于1的矢量 称为单位矢量单位矢量 a F2 F1 F3 r VA A O 矢量在图中的表示矢量在图中的表示 自由矢量与约束矢量 • 上述定义的矢量有时也称为自由矢量自由矢量， 物理学中应用的某些矢量有时还具有一 些附加的特征，有的教材称这类矢量为 约束矢量约束矢量，包括定位矢量定位矢量和滑动矢量滑动矢量 • 定位矢量：定位矢量：矢量的作用点为一确定位置 • 滑动矢量：滑动矢量：矢量的作用点可以沿矢量的 作用线自由滑动 2. 矢量的加减法矢量的加减法 • 矢量相等矢量相等：指两个 矢量的大小和方向 完全相同记为 a = b • 矢量相加矢量相加： c = a + b 遵从平行四边形 法则或三角形法则。
◆ 矢量相加的多边形法则◆ 矢量相加的多边形法则AR=∑∑Ai AR =∑∑Ai An A1+ A2 A1 A2 矢量相减矢量相减归结为加法运算： c = a－b = a + (－b) • 矢量的加法满足交换律交换律和结合律结合律， 即 a + b = b + a a + (b + c) = (a + b) + c 矢量的数乘矢量的数乘 • 实数λ与矢量a的乘积仍为矢量 b = λa 其中 ︱b︱=︱λ︱︱a︱ λ0 b与a同向 λ0 b与a方向相反 矢量的数乘满足分配律 λ(a ± b) =λa±λb • 任意矢量可表示为其模与同方向同方向单位矢 量的乘积： A = A (A / A) = AeA 式中eA为A方向的单位矢量：eA= A / A . 3. 矢量的分解矢量的分解 • 平面矢量的分解平面矢量的分解 设A1和A2是平面内任意两个线性无关 （不共线）的矢量，则平面上任意矢量 可表示为： B =λ1A1+λ2A2 B O By Bx 正交分解正交分解B = Bx+ By 式中 Bx⊥By • 空间矢量的分解空间矢量的分解 设A1、A2、A3彼此线性无关（三矢量不 共面，且其中任意两个矢量均不共线）， 则任意矢量B可表示为 B =λ1A1+λ2A2+λ3A3 B Bx By Bz •正交分解正交分解 B = Bx+ By+ Bz 式中Bx、By、Bz 相互正交。
4.矢量的标积与矢量在轴上的投影矢量的标积与矢量在轴上的投影 • 矢量A与B的标积标积也称为A与B的点乘点乘，定 义为 A·B = ︱A︱︱B︱cos (A,B) 显然，矢量的标积标积是一个代数量代数量 关于点乘的下列运算规律 可由直接计算导出 ※※A·B = B·A ※※A·(B + C) = A·B + A·C ※※λ(A·B) =(λA)·B = A·(λB) 2 2 A=A ※※A·A= ※※A⊥BA·B= 0 矢量在某轴上的投影矢量在某轴上的投影 设轴N上的单位矢量为en，则矢量A在轴N 上的投影为 An= A·en=︱A︱cos (A,en) 注意矢量在轴上的投影An是一个代数量代数量， 正负号取决于A与en之间的夹角 AB= A ·eB A θ eB B 矢量矢量A在轴在轴 B上的投影上的投影: AB= A ·eB B A θ eA eB 任意两个矢量任意两个矢量A 与与B之间的夹角之间的夹角: cosθ= eA·eB 合矢量投影定理合矢量投影定理 设AR=∑Ai,用轴N上的单位矢量en点乘 上式两边得 en·AR= en·∑Ai= ∑en·Ai 因此 ARn=∑Ain 上式表明，合矢量在某轴上的投影等于 各分矢量在同一轴上的投影的代数合 合矢量在某轴上的投影等于 各分矢量在同一轴上的投影的代数合。
这一结论称为合矢量投影定理合矢量投影定理 5. 矢量的矢积矢量的矢积(叉乘叉乘) • 矢量A与B的矢积矢积为一矢量矢量，记作 C= A×B 其定义为 • 大小大小 ︱C︱=︱A︱︱B︱sin (A,B) • 方向方向C⊥A与B所决定的平面 • 指向指向 由右手螺旋决定，换句话说 A、B、C组成右手系 C = A×B 矢积的几何意义矢积的几何意义 B A θ |B| |A| sin θ • 关于叉乘的运算规律关于叉乘的运算规律 •A×A= 0 •A×(B+ C) =A×B+ A×C • λ(A×B) =(λA)×B=A×(λB) •A×B= －B×A •A与B共线A×B= 0⇔ A×B B×A = －A×B • 约束矢量对点的矩约束矢量对点的矩 • 作用于点P的定位矢量定位矢量A对空间任意固定 点O之矩矩定义为 MO (A) = r×A 式中r为矢量A的作用点P相对于定点O的 矢径 P Q r MO(A) = r×A • 注意到当矢量A沿其作用线PQ滑动时，并不 影响矩MO (A)的大小和方向，故上述定义对 滑动矢量同样是有效的 6. 矢量的混合积矢量的混合积 矢量A、B、C的混合积(A ×B ) ·C 为标量，其绝对值等于以A、B、C为 棱边的平行六面体的体积。
A B C A×B h • 轮换公式轮换公式 A · (B×C) = B · (C×A) = C · (A×B) • 此外，显然有 ⇔A、B、C共面A·(B×C) = 0 7. 基矢量基矢量 • 沿空间直角坐标系 Oxyz各坐标轴正向 的单位矢量ex、ey、 ez称为基矢量基矢量 • 有时也用i、j、k表 示基矢量 ey ex ez x y z • 基矢量的正交性基矢量的正交性 ex·ex=ey·ey=ez·ez= 1 ex·ey=ey·ez=ez·ex= 0 ex×ex=ey×ey=ez×ez= 0 ex×ey=ez ,ey×ez=ex ,ez×ex=ey 以上结果可由直接计算得出 ey ex ez 8. 矢量的解析表达式矢量的解析表达式 ◆ 任意矢量可表示成基矢量的线性组合◆ 任意矢量可表示成基矢量的线性组合 A=Axex+Ayey+Azez 式中Ax、Ay、Az分别为矢量A沿各坐轴的 投影: Ax= ex·A Ay=ey·A Az=ez·A A ex ey ez •问题: 分量Ax与投 影Ax的区别是什么? ◆ 矢量代数运算的投影表达式◆ 矢量代数运算的投影表达式 设A=Axex+Ayey+Azez B=Bxex+Byey+Bzez • 基本运算 A±B=(Ax±Bx)ex+(Ay ±By)ey+(Az±Bz)ez A·B=AxBx+AyBy+ AzBz A×B= xyz xyz xyz AAA BBB eee • 合矢量投影定理 若AR=∑Ai, 则 ARx=∑Aix,ARy=∑Aiy,ARz=∑Aiz • 混合积的投影表达式 A·(B×C) = xyz xyz xyz AAA BBB CCC 习题 1.1 求矢量A=2i－j＋k，B=i＋j＋2k，C=3i－2j＋4k 之和 的方向上的单位矢量。
1.2 若A=2i－3j＋5k，B=3i＋j－2k，计算 (A＋B)·(A－B) 1.3 若A=2i－3j＋5k，B=3i＋yj－2k，试求使A⊥B的y 1.4 若A=2i＋j＋k，B=i－2j＋2k，C=3i－4j＋2k，求 A＋C 在B 方向的投影 1.5 一个三角形的三个顶点在 A (2,3,1)，B (－1,1,2)，C (1,－2,3)，求从点B引向边AC的中线的长度，以及此中 线与边BC的夹角 1.6 若矢量A=2i－j＋k，B=i＋2j－3k，求 ︱(2A＋B)×(A－2B) ︳ 1.7 求与矢量A=3i－2j＋4k和B=i＋j－2k所在平面垂直的 单位矢量 1.8 求三个顶点在A (2, －3,1)，B (1,－1,2)，C (－1,2,3) 的三角形的面积 1.9 求点 (3,2,1) 到由点 (1, 1,0)， (3,－1,1)， (－1,0,2) 所 确定的平面的最短距离 1.10 若A=2i＋j－3k，B=i－2j＋k，C=－i＋j－4k，求 (a) A·(B×C)，(b) C·(A×B)，(c) A×(B×C)， (d) (A×B) ×C 答案答案 1.1 (6i－2j＋7k)／。
1.2 24 1.3 －4／3 1.4 17／3 1.5／2， cos－1( ／14) 1.6 25 1.7 ±(2j＋k)／ 1.8／2 !.92 1.10 (a) 20，(b) 20，(c) 8 i－19j－k， (d) 25 i－15j－10k. • 上述答案未经核算，仅供参考上述答案未经核算，仅供参考 89 26 91 5 33 。