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1、数学概念教学中的三个重要环节广州市花都区教育局教研室 陈颂伟2008年11月13日-15日，有幸参加了“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”初中第三次课题研讨会，通过对变量与函数研究课的思考，结合当前数学概念的教学，谈谈个人对数学概念教学的认识。.数学思维与数学概念紧密相连，数学的一切内容都以概念为基础内容之一。数学概念教学中的一切活动都将围绕“让学生感知概念、理解概念、运用概念”这一基本目的要求而运行。教师在教学中呈现的主体是数学家创造的概念，而给学生设计的一切则是自己创造的对数学概念的“理解”，能帮助学生理解的数学概念。变量与函数是本章的“起始课”、“章头课”，是中学
2、阶段进入函数学习的“入门课”，加之函数概念的极端抽象性和广泛实用性，函数概念及函数知识在初、高中数学当中占据核心的地位。，因此，对函数概念教学的把握将直接影响到学生在整个中学阶段的数学学习。函数概念教学必须抓好的是三个基本教学环节或基本教学过程。一、数学概念教学要求概念引入的直观性（引入原生态概念）数学概念的抽象性决定了数学概念教学中直观引入这个关键的第一步（仅以函数概念教学为例），它将有助于形成概念的基础。引入的设计、组织的好坏，将直接影响到教学活动的顺利与否，影响到学生在教师提供的感性材料中分析、比较、感知数学概念，影响到数学概念的形成。基于数学概念的抽象性，教学中应该寓数学概念于生活之中
3、，在教学中以生活实际例子引入，利用学生的生活实际经验、学生的生活熟悉事物，遵照“实例-感知-抽象-认知”的基本路线，完成对函数的基本感受和初步认识。问题情景是基本素材和基本手段，教师的点播和启发是基本方法，学生的思考是主要活动。通过学生的思考，初步感受生活中数学概念的原型。在引入这个环节，实例的直观性，相近性，体现的是返璞归真，自然过渡，突出的是“数学源于生活而高于生活”的本色。通过实例的展现，以问题情境做铺垫，针对数学家创造的函数概念，教师在教学中创造的是数学概念的雏形。学生感受的是数学概念的初步。在这里，问题情境的“量和度”致关重要，过多的引例将造成一种麻木，低劣的引例将造成低效甚至无效。
4、刻意地去营造情境，刻意地去追求情境的华丽“质量”，适得其反的结果可想而知。因此，教学设计中必须选用适当数量、适当强度的简约的情境、自然的情境、直观的情境，展示数学魅力的情境。引入实例应该生活化、直观化，让学生于生活中感受数学，于数学中领悟直观；引入实例应该适量化、适度化，使数学变得不那么高深莫测，不那么高不可攀；引入实例应该是暗藏着数学概念的原型，为后阶段推出概念做准确的铺垫。本次研讨会上，林俊伟老师设计的几个引入实例较好地体现了上述要求：例1：圆周长问题：如果用表示圆的半径，圆的周长用表示。 思考：（1）圆周长随 变化而变化，即随 的变化而变化；（2）当半径取定一个确定的值时，圆周长的取值是
5、否唯一确定？例2：温度变化问题：如图一，是北京春季某一天的气温随时间t变化的图象图一看图思考：（1）天气温度随 的变化而变化，即随 的变化而变化；（2）当时间取定一个确定的值时，温度的取值是否唯一确定？这里设计的问题贴近学生认知范围，学生对问题表述一看就明白。同时，思考问题正是函数概念的表述。抽象的函数概念初步呈现在课堂，呈现在学生的思维活动中。直观的材料需要认识、需要提炼抽象本质，为函数概念的推出做好了前期的准备，这个准备工作是原生态的直观，生活化的形象，准确到位的量和度。二、数学概念教学要求概念形成的时效性（形成抽象概念）以适量和适度的生活中原型为载体，犹如一种刺激模式，在教师的引导、启发
6、下，让学生进行充分的观察、分析、比较的初步感知活动，并能从中归纳总结出这些原型的共同属性，在不知不觉中经历、潜移默化中“看到”概念的形成过程。此时，呼之欲出的是数学概念的数学本质和抽象表述。低起点，缓坡度的要求在这里是必须的。因此，教学中需要的是稳定，需要的是不操之过急，需要的是将引入的问题情境做进一步的引申。让数学概念来得及时，来得有效。让函数概念的数学本质变得不那么抽象难懂，不那么枯燥乏味，变得比较直观，变得让学生能初步感受到，初步摸得着。数学概念应该在什么时机推出？数学概念应该在什么时机推出才是高效的？引申、分析、提炼、抽象出生活情境中的数学概念，是数学概念教学中的第二个重要环节。此时，
7、学生需要教师的帮助，教师需要做到教学设计的科学性。初中阶段对函数概念的形成过程、认识过程只是感受的过程。从学生认知能力范围来看，并不要求达到高中阶段学习函数概念的复杂程度。因此，在这个形成概念的过程中需要通过实例的反复，通过反复的比较，通过比较共性和本质，帮助学生认识这些特殊的本质，感受这些本质的抽象性，也就是抓好概念的核心问题。例3：在上面的问题中反映了不同事物的变化过程，其中有些量的值按照某种规律变化，有些量的值始终不变，并且每个问题中的变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定一个值.思考：在一个变化过程中：（1）发生变化的量叫做 ； （2）不变的量叫做 ；（3）如果
8、有两个变量和，对于的每一个值，都有 的值与之对应，称是 ，是的 ；例4：一个三角形的底边为5，高可以任意伸缩，三角形的面积也随之发生了变化.思考：（1）面积随变化的关系式_ ，其中常量是 ，变量是 ，图二 是自变量， 是 的函数； （2）当3时，面积_；（3）当10时，面积_；（4）当高由1变化到5时，面积从_ _变化到_.函数概念的抽象表达在形成的环节中初次出现，学生通过初步尝试函数概念的数学实例，将会再次“读到”函数概念，感受到函数概念的形成与生活中的原型存在某种相似，存在某种联系。此时，概念的深化巩固将成为突破难点的第三个也是关键环节。三、数学概念教学要求概念深化的准确性数学概念的初步形
9、成，体现的是从一般到特殊的抽象过程，这个过程中形成的数学概念，学生未必真正明白，基本是处于一种一知半解状态。因此，将数学概念深化也就成为了教学中第三个重要环节。通过深化，必将丰富、加深、巩固学生对数学概念的理解和掌握，同时在加深的过程中，有利于培养学生思维的深刻性、敏捷性、创造性和批判性，并能加强学生的各种能力。基于数学概念的抽象性，在数学概念深化的过程中，通过反复比较，使学生从中感受数学概念，把握数学概念的核心内容，包括对数学概念的关键词的理解。同时，适当通过反例的验证和比较，提高学生辨别准确的数学概念的能力，使其掌握“伪概念”的判断方法，达到正确掌握“真概念”的目的。教学中需要再次通过设计
10、，将数学概念的深化这一教学关键环节科学安排，将深化数学概念的任务基本上交给学生，帮助学生全方位思考数学概念的内涵和外延，完善对数学概念的初步认识。深化数学概念的过程需要严谨，准确；深化数学概念需要与实例的反复比较；深化数学概念需要适量的反面实例。从以上要求中理解数学概念的本质，把握数学概念的核心。例5.填表并回答问题：14916思考：y是x的函数吗？例6.下列各图中思考：表示是的函数的有_（可以多选）.适当的反例设计，有助于思维的批判性，数学的严谨性，也有助于概念的深化和重新认识。数学概念教学是一个复杂的系统工程，不同概念教学使用的教学处理教学方法不同。但其共性的地方是大多数都从“具体-半具体-半抽象-抽象”的模式中产生设计，从生活实例出发，从学生的主动性开始，通过“引入概念-形成概念-深化概念”三个环节进行教学。不可否认，这三个环节并不代表唯一方式，并不代表最优。重要的是需要教师们重视和加强数学概念的教学研究和探索，认识数学概念的重要性和基础性，课堂教学中抓住数学核心概念，完善概念教学环节的科学性和实用性。4
