最优控制中的变分法课件

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1、定义4-1 为非空集合, 称为距离空间是指 , 实函数 满足：,式中 称为 上的距离,4.1.1 线性赋范空间,4.1 泛函与变分,第四章 最优控制中的变分法,定义4-2 若点列 ,且有,则称点列 以点 为极限，或称 收敛于 。,定义4-3 设点 ,若对任意的 均存在一个足够大的数 , 使得当 时，有,则称 为 的柯西序列。若 中的每个柯西序列均收敛 中 的一点，则称 为完备的距离空间,定义4-4 在 中，点集 称为以点 为中心，以 为半径的开球。,设对于子集 ，存在以 为中心的开球 ，则点 称为集 的内点。 所有内点的全体叫做 的内部，记做 。 若 ，即 的一切点都是其内点，则 称为开集。,

2、定义 4-5 设子集 ，若以点 为中心的开球 与 之交集非空，即 则点 称为 的附着点。 所有附着点的集称为 的闭包，记作 。若 ，则 叫做闭集。,定义 4-6 若对于线性空间 中每一个元素 都定义范数 ，满足：,则 称为线性赋范空间。,定义 4-7 在 维线性空间 中，若用数积定义内积,用内积定义范数,再用范数定义距离,则 也称为希尔伯特空间。,定义4-8 设 个控制函数 ，定义在时间闭区 上 ，则对于每一个固定的 ，函数向量 是 维空间中的一个点，即 ，且设 平方可积。,若在 维线性空间 中定义内积 用内积定义范数 则 称为控制向量函数空间。,定义 4-9 在控制向量函数空间 中，若可用范

3、数定义距离,则称向量函数序列 收敛于向量函数 ， 或称 也是完备的线性赋范空间。,则 也是线性赋范空间。,若对于任一 ，都存在一个充分大的自然数 ， 使得 时，均有 或,4.1.2 泛函及其定义域,若对于某类函数中的所有函数 ，变量 都有一确定的值与之对应，则称 为依赖于函数 的泛函，记作,如图，平面上给定两点之间的曲线长度是一个泛函。,设两点间曲线长度为 取单位弧长 ，则有,单位弧长变化率,则两点间曲线长度,其值取决于函数 的选取,则 称为 到 的泛函算子。,则 称为线性泛函算子。,若式(4-1)满足下列线性条件：,定义4-11 在线性赋范空间 上，使泛函算子 作用有意义的元的全体，称为 的

4、定义域，记作 ； 在 作用下的集合，称为 的值域，记作,则称泛函算子 在 处连续。若泛函算子 在子集 上的每一点都连续，则称泛函算子在 中连续。,4.1.3 泛函的变分,定义 4-13 设 是线性赋范空间 上的连续泛 函，若其增量可表示为 （4-6） 式中 是关于 的线性连续泛函， 是关于 的高阶无穷小，则 称为泛函 的变分。,定理4-1 设 是线性赋范空间 上的连续泛函，若在 处 是可微的， ，则其变分为,（4-7）,定义4-14 设 是线性赋范空间 上的连续泛函，若在 处二次可微，其中 ，则泛函的二次微分 称为泛函 在 处的二次变分，记为,P12 例2-1,4.1.4 泛函极值与变分引理,

5、（1） 泛函极值的定义,定义4-15 设 是线性赋范空间 中某个子集 上的线性连续泛函，点 ，若存在某一正数 ，使集合 在 时，均有 则称泛函 在 处达到极小值。,若 则称泛函 在 处达到极大值。,定理4-3 设 是在线性赋范空间 中某个开子集 上定义的可微泛函，且在 处达到极值，其中 ， 则泛函 在 处必有 （4-11）,定理4-4 设 是在线性赋范空间 中某个开子集 上定义的可微泛函，且在 处存在二次变分，其中 如果 （4-12） 则泛函 在 处达到极小值,（2）泛函极值的必要条件与一次变分,（3）泛函极小值的充要条件与二次变分,（4）变分引理,4.2.1 无约束泛函极值的必要条件,4.2

6、 欧拉方程,研究使泛函,一个容许函数 ,使泛函 取极小值.用几何语言说,要求找出一条容许曲线 ,使给定函数 沿 的积分取极小值.,如果 代表控制系统的状态向量,则式 代表系统的性能指标.变分问题是要求在状态空间中确 定一条最优轨线,使给定性能指标 达到极小值,由于控制问题是多种多样的,因而变分问题也不尽相同.,假定现在考虑最简单的两端固定问题,其 及 固定,两点边界条件已知为:,则无约束泛函极值问题可以描述如下.,问题4-1 无约束泛函极值问题为,式中 及 在 上连续可微, 及 固定.已知 ,求满足式(4-17)的极值轨线 .,设 是满足边界条件(4-16)的极值轨线, 是 邻域中的一条容许轨

7、线,如图(4-2)所示 . 与 之间有下列关系:,以及,式中 是 的一次变分, 是 的一次变分.,将式(4-18)和式(4-19)代入泛函(4-15),则有,因为被积函数 连续可微,所以泛函 连续可微.只要 任意逼近 ,必可求出使泛函(4-20)取极值的必要条件.,定理4-6 对于问题4-1,使性能泛函(4-15)取极值的必要条件,是轨线 满足下列欧拉方程:,证明 对于式(4-20),由于 及 连续可微,故可将 在极值轨线 处展成泰勒级数,式中HOT代表泰勒展开式中的高阶项.于是,泛函增量可表示为,由定义4-13知,泛函变分是泛函增量的线性主部,故,利用分部积分公式,式(4-22)中的第二项为

8、,于是,式(4-22)可写为,由定理4-3知,泛函取极值的必要条件是 .再由变分定理4-5知,由于 任意,故式(4-24)为零等价于,以及,式(4-25)即为要求证的欧拉方程,或称欧拉-拉格朗日方程,而式(4-26)则是求解时变非线性二阶欧拉方程(4-25)所需要的两点边界值.对于问题4-1,因为两端固定,必有,因此式(4-26)自然成立.求解式(4-25)所需的两点边界值就是问题4-1中已知的端点条件: 和,式(4-26)一般称为横截条件,例 4-2 设泛函,边界条件,求使泛函达到极值的极值轨线 .,解 对于本例,根据欧拉方程(4-25),得,其通解为,代入已知边界条件,求出 因此,泛函极值

9、只能在下列极值轨线上实现,4.2.2 有等式约束的泛函极值的必要条件,在求解实际系统的最优控制问题时,要求使性能泛函取极值的极值轨线,同时满足系统的微分方程式.因此控制系统的最优问题,是要求确定在微分方程等式约束条件下的泛函极值,即条件极值的变分问题,在讨论条件极值的变分问题时,先考虑两端固定问题.设性能泛函为拉格郎日问题,系统运动微分方程取为,式中 , 为 维向量函数.于是,有等式(4-27)约束的泛函极值问题可以描述如下.,问题 4-2 有等式约束的泛函极值问题为,式中 及 在 上连续可微, 及 固定.已知 , , , .求满足式(4-28)及式(4-29)的极值轨线 .,如果引入拉格朗日

10、乘子向量,可以把有约束的泛函极值问题化为无约束的泛函极值问题,则由定理4-6立即可得条件泛函极值的必要条件,定理 4-7 对于问题4-2,在约束条件(4-29)下,使泛函(4-28)取极值的必要条件,是轨线 满足方程,式中,在式(4-31)中, ,为待定拉格 朗日乘子向量.,证:设 为待定拉格朗日乘子,构造广义泛函,令拉格朗日函数,则广义泛函可表示为,于是,原性能泛函的条件极值问题转化为广义泛函的无条件极值问题.,根据定理4-6,立即得到式(4-30).由于两端固定,因此求解欧拉方程(4-30)的两点边界值,就是问题4-2中已知的两点边界条件, 及,在应用定理4-7时,若将式(4-31)代入式

11、(4-30),则欧拉方程形式为,如果问题4-2中的约束方程为,则欧拉方程(4-32)简化为,例4-3 设人造地球卫星姿势控制系统的状态方程为,性能泛函取为,边界条件,求使性能泛函取极值的极值轨线 和极值控制,解 由题意,令,则拉格朗日标量函数,欧拉方程,解得,式中常数a,b待定.,由状态约束方程,式中积分常数 将待定.代入已知边界条件,求得,于是,极值轨线,极值控制,最优乘子,泛函极值,4.2.3 泛函极小值的充分条件,欧拉方程只是泛函取极值的必要条件.为了确定极值的性质,需要给出泛函取极小值的充分条件.,(1)无约束情况,定理 4-8 对于问题4-1,使性能泛函(4-17)成立的充分条件是:

12、除欧拉方程(4-21)应成立外,下列等价勒德让条件之一应成立:,1,证明 泛函增量,在极值轨线处,泰勒级数展开式,将式(4-37)代入 ,取二次项,得泛函 的二次变分,式(4-32)为二次型积分式,可改写为,由定理4-4知,在式(4-17)成立时,泛函取极小值的充分条件是 ,因此本定理结论1成立.,若对式(4-38)被积函数的第二项进行分部积分,因,故,由于两端固定, ,所以将式(4-41)代入式(4-38)得,由式(4-42)可见,当本定理结论2或3成立时,必有,(2)有约束情况,定理 4-9 对于问题4-2 ,在约束条件(4-29)下,使性能泛函(4-28)成立的充分条件是:除欧拉方程(4

13、-30)应成立外,下列等价勒德让条件之一应成立:,式中 满足式(4-31), 为 维拉格朗日乘子向量.,证明 令 ,构造广义泛函,式中 满足式(4-31).因为 连续可微,故在极值轨线处,可将广义泛函 展开成泰勒级数,类似于定理4-8的证明过程,立即证得本定理结论,例 4-4 设性能泛函为,边界条件,求使性能泛函 为极小值的最优轨线,解 本题为两端固定,无约束泛函的极小值问题.先求泛函极值.由题意,算得,代入已知的边界条件,解出常数,故使泛函为极值的极值轨线,然后,利用定理4-8判断泛函 在 上是否为极小值.因为,所以求出的 为最优轨线,相应的泛函极小值,4.3 横截条件,求解欧拉方程,需要提供两点 边界值.两端固定且初始时刻和末端时刻同时固定只是最简单的情况.,在多数控制工程中,初始时刻往往是固定的.本节讨论末端时刻固定和末端时刻自由时的各种横截条件.并简要介绍初始时刻自由时的横截条件.,4.3.1 末端时