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1、,第四章 立体及表面交线的投影,第一节 三视图的形成及投影规律,第三节 平面与立体表面相交,基 本 内 容,第二节 基本立体的投影,第四节 两回转体表面相交,基 本 要 求,掌握三视图的投影规律 掌握平面立体的投影、表面取点的作图方法 掌握曲面立体（回转体）的投影、表面取点的作图方法 掌握平面与立体表面相交截交线的作图方法 5. 掌握两曲面立体（回转体）表面相交相贯线的作图方法,第一节 三视图的形成及投影规律,一、视图的概念,主视图 体的正面投影,俯视图 体的水平投影,左视图 体的侧面投影,视图就是将物体向投影面投射所得的图形。,省去边框和投影轴,二、三视图之间的度量对应关系,宽,长,长,主视
2、、俯视长相等且对正,主视、左视高相等且平齐,俯视、左视宽相等且对应,三、三视图之间的方位对应关系,主视图反映：上、下 、左、右 俯视图反映：前、后 、左、右 左视图反映：上、下 、前、后,上,下,左,右,后,前,上,下,前,后,左,右,里后外前,注意： 宽相等的度量 俯视图沿竖直方向量取，左视图沿水平方向量取； 三视图的投影规律和方位关系对所有立体的整体和任一局部都适用； 在三视图中，可见轮廓用粗实线画出，用虚线画出物体的不可见轮廓。,常见的基本立体,平面基本体,曲面基本体,第二节 基本立体的投影,一、棱柱的三视图及表面取点 二、棱锥的三视图及表面取点, 由平面多边形围成的立体称为平面立体。
3、平面立体包括棱柱和棱锥。 绘制平面立体的投影，就是绘制围成立体所有多边形表 面的投影，也就是绘制这些多边形的边（平面立体的轮 廓线）和顶点的投影。 可见的轮廓线画成粗实线，不可见的画成虚线。 当粗实线与虚线重合时，画成粗实线。,解决的问题,一、平面立体的投影,1.棱柱,棱柱-由两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。,2.棱柱面上取点,棱柱面上取点,二、棱锥,棱锥由一个底面和几个侧棱面组成 侧棱线交于有限远的一点锥顶。,2.棱锥面上取点,s,s,s,s,s,s,1 3,2,3,3,1,2,2,1,棱锥面上取点,1.圆柱体:,（1） 圆柱体的形成,圆柱面上与轴线平
4、行的任一直线称为圆柱面的素线。,由圆柱面和两底面组成。,圆柱面是由直线AA1绕与它平行的轴线OO1旋转而成。,直线AA1称为母线。,二、回转体的投影,（2） 圆柱体的三视图,圆柱面的俯视图积聚成一个圆，在另两个视图上分别以两个方向的轮廓素线的投影表示。,（3）圆柱表面取点,（4）圆柱表面取线,a,b,作图步骤：,1、作特殊点A、B、C 的投影 A、B 端点 C 转向点,2、作一般点、的投影,3、用曲线光滑连接 可见线用实线，不可见线用虚线,2.圆锥体, 圆锥体的组成,由圆锥面和底面组成。, 圆锥体的三视图,在图示位置，俯视图为一圆。另两个视图为全等的等腰三角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两
5、腰分别为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。,圆锥表面取点引素线法,素线,注意： 素线必须过锥顶，并与底面圆相交,圆锥表面取点作纬圆法,纬圆,纬圆即垂直于轴线的交线圆,3.圆球,圆母线以它的直径为轴旋转而成。, 圆球的形成, 圆球的三视图,三个视图分别为三个和圆球的直径相等的圆，它们分别是圆球三个方向轮廓线的投影。,正平圆,水平圆,侧平圆,水平纬圆,侧平纬圆,(3)圆球面上取点,(b),(b),1,4.圆环,圆环可以看成是以圆 为母线，绕与圆在同一平 面内，但不通过圆心的轴 线旋转而成。,圆环表面取点,平面立体表面取点方法： 特殊面利用积聚投影直接确定 一般面利用辅助线先取线再定点。,曲面立体
6、表面取点方法： 圆柱体利用积聚投影直接确定； 圆锥体利用辅助素线法或纬圆法求解； 球、圆环运用辅助纬圆法求解。,小 结,第三节 立体与立体表面相交,一、概述 二、平面与平面立体表面相交 三、平面与回转体表面相交,一、概述,顶尖,接头,平面与立体相交，可看作用平面截切立体，平面称为截平面，截平面与立体表面所产生的交线称为截交线，截交线围成的平面图形称为截断面，被截切后的立体称为截割体。,截交线的性质:,(1)共有性：截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面的共有点。 (2)封闭性：因截交线是属于截平面上的线，所以截交线一般是封闭的平面图形。,二、平面与平面立体表面相交,平
7、面立体被截平面切割后所得的截交线，是由直线段组成的平面多边形，多边形的各边是立体表面与截平面的交线。求出截平面与平面体各被截棱线的交点依次连接即得截交线。,求截交线可归结为求平面与立体表面的共有点,根据立体与截平面的位置分析截交线的形状 求各被截棱线与截平面的交点的投影,1.截交线的求法,棱线法：,求各被截棱线与截平面的交点；,求各被截棱面与截平面的交线。,2.求截交线的一般步骤,平面立体的截交线,棱面法：,定形、找点、判断、连接、整理,例1：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影,3,2,1,(4), 空间分析,交线的形状？, 投影分析, 求截交线, 分析棱线的投影, 检查 尤其注意检查截 交
8、线投影的类似性,例2已知斜截正六棱柱的正面投影和水平投影， 求其侧面投影。,（1）画出完整六棱柱的侧面投影,（2）求截交线的侧面投影,（1）画出完整六棱柱的侧面投影,（2）求截交线的侧面投影,（3）确定各棱线的侧面投影，并 判别可见性。,（1）画出完整六棱柱的侧面投影,（2）求截交线的侧面投影,（3）确定各棱线的侧面投影，并 判别可见性。,（4）检查、加深图线、完成全图,解题步骤 1分析 截交线的正面投影已知，水平投影和侧面投影未知； 2求出截交线上的折点、 、 ； 3顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 4整理轮廓线。,例3 求三棱锥的截交线,例4 求立体切割后的投影,1,6,3,2
9、,例5 求立体截割后的投影,1(2）,例6 画出三棱柱穿孔后的水平投影和侧面投影,4,3,6,5,7,7,7,三、平面与回转体表面相交,平面截切回转体，截交线一般是封闭的平面曲线或曲线与直线组成的封闭的平面图形，其形状取决于回转体的种类和与截平面的相对位置。,直线和曲线围成,截交线的形状取决于 曲面立体的几何形状， 以及截平面与立体的 相对位置。, 当截交线为直线时，确定两端点后可直接作出； 当截交线为曲线时，应按以下步骤作图：找点法,2。截交线上的任一点都可看作是曲面立体表面上的某一条线（素线或纬圆曲线）与截平面的交点,直线围成,曲线围成,求截交线的方法：,求平面与回转体的截交线的一般步骤,
10、 空间及投影分析, 分析回转体的形状以及截平面与回转体的相 对位置，以便确定截交线的形状。, 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，予见未知投影。, 画出截交线的投影,当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：, 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。, 先找特殊点，再求一般点。,用于确定截交线的范围,为了准确作图,求截交线的作图步骤： （1）分析截割体，判别截交线的形状； （2）求出截交线上的特殊点（如最高、最低点，最前、 最后点，最左、最右点，转向点以及特征点等）; （3）求出截交线上若干个一般点； （4）判断可见性； （
11、5）用曲线光滑连接； （6）整理轮廓线。,定形、找点、判断、连接、整理,1.平面与圆柱相交,矩形,椭圆,圆,截平面与圆柱面的交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。,截平面与圆柱轴线倾斜,例7 求圆柱截交线,解题步骤 1分析 定形 截平面为正垂面，截交线为椭圆。截交线的正面投影与截平面的积聚投影重合，侧面投影为圆，水平投影为椭圆；,2求出截交线上的特殊点、 、 ；,3求出若干个一般点、 、；,4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性 5整理轮廓线。,注意:当截平面与圆柱轴线交线交角为45时， 截交线投影为圆。,圆柱被切割,圆柱被开槽,圆柱被开孔,宽,空心圆柱被切割,空心圆柱被开槽
12、,空心圆柱被开孔,例8.作圆柱被截切后的侧面投影，补全水平投影。,圆,椭圆,三角形,双曲线+直线段,抛物线+直线段,2.平面与圆锥相交,根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面与圆锥面的交线有五种形状。,圆,三角形,双曲线+直线段,抛物线+直线段,椭圆,过锥顶,垂直轴线,平行素线,平行轴线,求圆锥截交线上点的方法,1、素线法在圆锥表面取若干条素线，并求出 这些素线与截平面的交点； 2、纬圆法在圆锥表面是取若干个纬圆，并求 出这些纬圆与截平面的交点。,例题9 求圆锥截交线,解题步骤 1分析 截平面为正垂面，截交线为椭圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆； 2求出截交线上的特殊点、 、 ； 3
13、求出一般点； 4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。,例题10 求圆锥截交线,解题步骤 1分析 截平面为正平面，截交线为双曲线；截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形； 2求出截交线上的特殊点A、B； 3求出一般点C ； 4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。,c“,a,B,a,例11.求圆锥截交线。,3. 球的截交线,分析：平面与球的截交线是圆。 两种情况： （1）截平面投影面：截交线在投影面上的投影反映实形， 其余投影积聚为直线； （2）截平面倾斜于投影面：截交线在投影面上的投影为椭圆。,例题12 求圆球截交线
14、,解题步骤 1分析 截平面为正垂面，截交线为圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆； 2求出截交线上的特殊点、 、 ； 3求出若干个一般点A、B、C、D； 4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。,例题13 求圆球截交线,解题步骤 1分析 截平面为两个侧平面和一个水平面，截交线为圆弧和直线的组合；截交线的水平投影和侧面投影均为圆弧和直线的组合； 2求出截交线上的特殊点、 ； 3求出各段圆弧； 4判别可见性，整理轮廓线。,1,2,例题14 分析并想象出圆球穿孔后的投影,4. 平面与组合回转体相交,组合回转体是由若干个基本回转体组成，在求作其截交线时，应先分析各部分的曲面性质，然后按照它们的几何特性确定其截交线的形状，再分别作出其投影。,例15.求顶尖的截交线 。,小 结,一、平面与平面立体表面相交，截交线是由直线组成的封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与棱面的交线。,求截交线的方法：棱线法 棱面法,二、平面与回转体表面相交，截交线的形状取决于回转体及截平面与回转体轴线的相对位置。,求截交线的方法：找点法,当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接各点。 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。, 分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置
