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1、第三章 土的模型和接触面单元3.1 引入地基土非线性模型的重要性土与结构的共同作用问题是一个无穷维的超静定问题，即使是弹性地基上的梁板问题已形成浩瀚的文献，构成了该领域中最经典的课题 1,2,3,4,5。由于计算机和计算技术的飞跃发展，特别是大 型子结构分析方法的进展 6,7，才使得建筑结构与筏基（箱基）和地基的共同作用分析成为可能 8。国内外建筑物的风起云涌和丰富的工程经验极大的推动了该领域的研究，取得了许多理论和应用成果9,10。研究成果直接应用于建筑工程实践的最大困难在于地基模型简单的取为线性模型，使得基底反力分布与实测相差甚远。分析表明，对于上部结构和与基础结构刚度都很大的情况，共同作
2、用的关键是引入地基土的非线性模型。文献3给出基础板（分别取柔性板和刚性板两种情况下）地基土分别取为线性和非线性模型时四种不同组合的结果，见图 1。图中曲线 1：板、地基土均为线性模型；曲线 2：板为非线性，地基土为线性；曲线 3：板为线性，地基土为非线性；曲线 4：板、地基土均为非线性。结果表明，对柔性基础特别是混凝土铺面，应首先考虑钢筋混凝土结构的非线性，地基土取为弹性影响不大；但对于刚度大的结构，例如高层建筑结构，共同作用的当务之急是引入地基土的非线性，即考虑地基土的非线性状是分析结构物和筏基（箱基）和地基共同作用的关键问题。文献11考虑了上海粉砂土地基和高层箱形基础共同作用的分析实例，地
3、基土采用LadeDucan 弹塑性模型，并与弹性半空间地基模型结果作了对比，两者反力分布发生了实质性变化，显然非线性地基边、角部位的反力集中现象大为缓和，与实测统计的反力系数较接近。如果地基土按线性模型则反力远远偏离于实测结果，共同作用的分析结果难以实用。因此，引入地基土的非线性是考虑共同作用分析的关键。32 本文计算程序中所采用的非线性地基土模型常用的非线性弹性模型有两类：第一类是以 E（弹性模量）和 （泊松比）两个弹性常数表达的称作 E 非线性弹性模型，这类模型以 DuncanChang 模型为代表。第二类是以 K(体积表形模量)和 G(剪切模量 )两个弹性常数表达的称为 K-G 非线性弹
4、性模型，它以 Domaschuk 模型为代表。3.2.1 邓肯曲线的 Et和 Vt模型3.2.1.1 切线弹性模量点绘 曲线，如图 31 所示，Kondner 等人发现，可以用双曲线来拟和这些曲线。a31对某一 ， 关系可表示成：3ab31（31）渐 近 线 3 常 量EiEt1-3(1-3)u a0 a/(1-3)u0 aba图 31 关系曲线 图 32 关系曲线a3a31/式中： 和 为试验常数。上式也可以写成：ab(32)aab31以 为纵坐标， 为横坐标，构成新的坐标系，则双曲线转换成直线。见图31/a32。其斜率为 ，截距为 。b有增量广义虎克定律，如果只沿某一方向，譬如 方向，给土
5、体施加应力增量 ,而保持ZZ其他方向的应力不变，可得：(33)Ezx vz （34）则 xzE（35）zxv（36）邓肯和张利用上述关系推导出弹性模量公式。由式（35）得：aaE31311（37）由此可见虎克定律中所用的弹性模量实际上是常规三轴试验 曲线的切线斜率。a31这样的模量叫做切线弹性模量，可用 表示，见图 3-1。将式（ 31）代入式（37） ，得到：t2atbE（38）由式（32）可得：ba31（39）式（39）代入式（38） ，得： 231baEt（310）由式（32）可得：当 时0031a（311）而双曲线的初始切线模量 为：iE031ai （312）见图 31。因此：iE1（
6、313）这里表示 是初始切线模量的倒数。在双对数纸上点绘 和 的关系，则近似a aiPElga3l的为一直线，如图 33 所示。这里 为大气压力。于是有：aPnaiKE3（314）由式（32）还可见，当 时auab3131（315）试验破坏时的偏应力为 ，则：fuffR31（316） 叫破坏比fR将式（313） ，式（315） ，式（316）代入式（310）得：ifft ERE231（317）令 ， 叫做应力水平，式（317）也可写成：fS31Sift ESR21（318）lgk0nlg( 3/pa)lg(Ei/pa)0c ( 1- 3)f图 33 关系曲线 图 34 极限莫尔圆aai PEl
7、破坏偏应力 与固结压力 有关，由图 34 中的几何关系不难推出：f313sin12co1Cf（319）将式（314）和式（319）代入式（317） ，得：naft PKRE3231sinco2i（320）3.1.2 切线泊松比Kulhawy 和邓肯认为常规三轴试验测得的 与 关系也可用双曲线来拟和，如图 35 所ar示，点绘 与 关系，为一直线，如图 36 所示，其截距为 ，斜率为 ，于是有：ar/r fD0 3 常 量 - r f0D1 i aD - r-r/a图 35 关系曲线 图 36 关系曲线ra rar/rarDf（321）arf1（322）由于侧压力为零，可由式（36）求泊松比：
8、ararv （323）可见， 曲线的切线斜率具有增量泊松比的物理意义，称为切线泊松比，以 表示。ar tv将式（322）代入式（323） ，并利用式（39）把所含 用应力代替，可得：a21Afv（324）其中 sin2coi13133CRPKDfna（325）由式（321） ，当 时， ，可见 是 渐进值的倒数。当 时，raD10rirvf0（326）式中 为初始切线泊松比。对于不同的 有不同的 值，在半对数纸上点绘 与iv3i iv关系曲线，近似为一直线，如图 37 所aPlg示。于是有aiFGv3lg（327）切线泊松比公式为：231lgAPFvat（328）由式（324）和式（325）可
9、以看出， 是随应力水平而增加的。于是 Daniel 提出了一t种较简单图 37 关系曲线 的确定 随应力水平直线变化公式：aiPv3lgtvfitfitv31（329）式中 为初始切线泊松比，按式（327）计算。 为破坏时的切线泊松比，可按实验结果建iv tfv立类似于式（327）的公式，作为近似处理，也可取为 0.49。后来在实际应用中发现，采用 与 双曲线关系计算出来的 值常常偏大。因此artv（Duncan）邓肯有采用切线体积模量 作为计算参数代替 ，其表达式为：tKt0G( 3/pa)F mabtPK3（330）由于 只能在 00.49 之间变化，则 须限制在 之间。确定 只需要 和v
10、t ttE17.0tKb两个参数。m3.1.1.3 对邓肯张模型的评价按照岩土类材料对本构特性，试验与计算等方面的要求，对邓肯张模型进行评价。1)模型数字上比较简单，概念清楚。可以通过常规三轴试验求出试验常数。弹性切线模量矩阵对称。有利于实现数值计算；因此，在我国水利水电，交通，建筑工程等部门的岩土工程中应用广泛，积累了丰富的经验与资料。2)模型反应了岩土材料的非线性弹性以及一定程度上的路径相关特性（ 为常数时） 。但考虑3卸载时，还考虑了岩土材料的非弹性变形性质。模型适用于正常固结以及弱超固结粘土以及砂石料等应变硬化型材料，不适于严重超固结粘土，密实砂以及应变软化特性的岩土类材料；而且当应力
11、水平接近破坏水平时，计算不易稳定，偏差较大。3)模型没有反映岩土类材料的剪胀性与压硬性。4)由于采用了修正的各向同性广义虎克定律，本构关系是增量线性的和各向同性的。因此，应力与应变增量的主方向相同。这对于低应力水平来说，还是比较符合实际的；但是，但应力水平较高或是接近破坏时，就不够真实了。5)由于模型采用了莫尔库仑破化条件及 的常规三轴试验方法，因此，没有涉及中主32应力 对强度与变形的影响。2322 修正剑桥模型剑桥模型是英国剑桥大学罗斯科（Roscoe）等人提出的用于正常固结或弱超固结粘土的模型。由三轴试验可整理出 qp 关系曲线，如图 8 所示。图中 e 为孔隙比，应力 p，q 指的是有
12、效应力；图中实线表示排水剪切试验，虚线为固结不排水试验。施加各向等压的应力 p，令 q0，应力路径与图 8（a）中横轴重合，则 e 的变化如图 8（b）中的曲线 AB 所示，叫初始等向压缩曲线；施加偏应力 q 使土体达到破坏时，不管是排水试验还是固结不排水试验，破坏应力都落到图 8（a）中的同一条曲线 CD上。其方程为qM P在 ep 平面内，破坏时的点也落在同一曲线 CD 上。设想将 e、p、q 坐标结合在一起形成一个三维空间，则初始等向压缩曲线为地面（ep 面）上的曲线 AB；达到破坏时对应于一空间曲线 CD，叫做临界状态线，如图 9 所示。 图 8 三轴试验应力应变关系 图 9 epq
13、空间应力应变关系（a）pq 曲线；（b）ep 曲线 1等向压缩曲线；2等向膨胀曲线；3临界状态线；4屈服轨迹；5状态边界面试验表明，不管哪种应力路径，在加荷过程中同一有效应力状态（p，q）大体有相同的孔隙比e，换句话说，在 epq 空间落在同一点上。变化应力状态，此空间移动形成一个从 AB 到 CD 的空间曲面，这个空间曲面叫状态边界面。它是加荷过程中应力应变关系的描述。沿着状态边界面，将发生塑性变形，如果退荷，无论降低 p 还是 q，都落到该面以下。该面以下是塑性区，该面以上是不可能到达的区域。因此，e、p 和 q 的关系是处于状态面以上还是处于状态面以下，是区别加荷还是退荷的标准。由此可进而建立屈服准则。剑桥模型假定屈服只与 p 和 q 两个应力分量有关，与第三应力不变量无关。这样，只须在pq 平面内研究屈服轨迹。图 9 中，N 是状态边界上的一点，它在 pq 面上的对应点 N处在一屈服轨迹 EG上。该轨迹与 p 轴的交点 E的横坐标为 p0。设想应力状态由 N点（即 p，q）变化到 F点（即 p，0） ，沿着两条路径。一条为竖线 NF，即保持 p 不变只降低 q 到零；另一条沿屈服轨迹 GE点或其内部任一曲线，经 E点（ p0，0）再变化到 F
