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1、1,12.7 能量按自由度均分原理,前面讨论分子热运动是把分子视为质点，只作平动；但实际上一般气体分子具有一定的大小和较复杂的结构，除了平动外还要作转动、振动,每一种运动都相应有一份热运动能量：,单原子分子气体热运动能量只有平动动能,多原子分子气体热运动能量有平动、转动动能,（常温下不考虑振动能量）,为了确定分子热运动能量遵循的规律，引入自由度概念,一. 自由度 用i 表示 （上册P179）,确定一个物体在空间位置的独立坐标数 i,2,1. 自由运动质点的自由度（平动自由度）,在空间自由运动 i = 3,（x，y，z）,在平面自由运动 i = 2,在直线自由运动 i = 1,问：质点在平面上作
2、圆运动，自由度 i = ？,因受条件限制 R2 = x2 + y2,独立坐标数 i = 2 - 1 = 1,问：质点在空间作曲线运动，自由度 i = ？,质点受2个条件限制 f1(x, y, z) = 0 f2(x, y, z) = 0,二曲面方程,二曲面相交，交线即曲线方程,独立坐标数 i = 3 - 2 = 1,3,2. 刚棒的自由度,棒的质心有3个平动自由度：x, y, z,确定棒在空间的方位方向角：a, b, g,但是：, i = i平+ i转 = 3 + 2 = 5,3. 刚体的自由度, i = i平+ i转 = 3 + 3 = 6,当运动受限制， i ,如：刚体上一点固定，刚体只能
3、作定点转动 i转 = 3 i平= 0 i = 3,刚体上二点固定，刚体作定轴转动： i = 1,刚体上三点（不在同一直线上）固定： i = 0,4,4. 理想气体分子的自由度,单原子,双原子,多原子,3,5,6,质点,刚体,由刚性杆连接的两个质点,（2）实际上，双原子、多原子分子并不完全是刚性的，还有振动自由度。但在常温下将其分子作为刚性处理， 能给出与实验大致相符的结果，因此可以不考虑分子内部的振动，认为分子都是刚性的。,注意：（1）CO2的自由度为5，OCO排在一条直线上,分子不断地作无规则热运动，每个自由度上的运动可以提供多少能量？,分子的热运动能量在各个自由度上是如何分布的？,5,二.
4、 能量按自由度均分定理热运动又一统计规律,1. 定理内容：,温度为 T 的平衡态时，气体分子的每个自由度上都有一份相同的平均动能，数值为：,2. 推证：（热动平衡态时）,条件：理想气体单原子弹性球,根据统计假设：分子向各个方向运动的几率均等,所以：,根据温度公式：,故：,6,即：分子平动时，每个自由度上具有相同的热运动能量：,无论是单、多原子分子都只有3个平动自由度，分子的 平均平动动能 均匀地分布在3个平动自由度上。,2. 推论：平衡态时，分子任一自由度上都平均地具有一份热 运动能量：,分子频繁碰撞，每个自由度上运动出现的几率均等，分子的任一个自由度上的运动都不比其它自由度上的运动更占优势。
5、如果一个自由度上运动占了优势，那么运动从该自由度转到其它自由度上的几率也占优势。所以统计平均来看，不论在哪个自由度上，分子热运动的平均动能应相等。,7,能量均分定理是分子热运动动能的统计规律,对个别分子来说，平均平动动能 不一定 是 ，也不一定均匀分配在各个平动自由度上。,不再是平均平动动能，而是平均动能,单原子分子,双原子分子,多原子分子,8,三. 理想气体的内能 E,一般来说，在热学中：系统与热现象有关的能量叫做内能,所以：内能只计算大量分子总的热运动动能： 平动动能+转动动能,一个分子一个自由度上具有的平均动能,一个分子的平均平动动能 （单原子分子的平均热运动动能）,自由度为 i 的一个
6、分子的平均动能,9,质量为m千克，自由度为 i 的气体的内能,气体的内能 E 是温度 T 的单值函数（描写状态的量）,1mol理想气体（自由度为 i）的内能,1mol单原子理想气体的内能,10,设均为1mol的He、O2、H2O，温度升高相同的DT ，则内能的增量分别为：,He,O2,H2O,DT 相同，则DE 相同， 与具体过程无关，只有始末状态有关,11,12.10 气体分子的碰撞和平均自由程,前面讨论的统计平均值和统计规律都是在平衡态下气体的性质；实际上，许多问题都牵扯到气体在非平衡态下变化的过程。 非平衡态时，气体各部分的物理性质（如 P T n）是不均匀的，由于分子不断地相互碰撞，分
7、子之间交换动量、能量，最后气体各部分的物理性质趋于均匀。,气体由非平衡态平衡态是通过热运动的相互碰撞来实现的，下面讨论热运动的碰撞规律,一. 气体分子的碰撞机制,分子是一个复杂的带电系统，分子间的碰撞实质上是在分子力的作用下，分子间的散射过程：非接触碰撞,12,斥力：+ f 引力：- f,r 很大，但在引力范围内时，分子表现为引力,r 减小，二分子间出现斥力,r = r0 时，引力和斥力平衡,r r0 时，二分子为斥力,二分子在引力作用下加速靠近，r = r0 处，f = 0 ；但分子具有一定动能，可继续靠近，克服斥力，消耗能量，当v = 0 时，r = d，此后在斥力的作用下反方向加速。 d
8、 即二分子质心间的最小距离，称为分子的有效直径,显然，对相同二分子但以不同的 v 相碰，d 的大小是不一样的；把大量分子的 d 取统计平均值， 称为分子的平均有效直径（约10-10m）,13,二. 平均碰撞频率 平均自由程,1. 碰撞频率：Z,一个分子在一秒内和其他分子碰撞的次数,显然对每个分子来说，Z 都是偶然的、不可预测的；对大量分子的 Z 取平均，可得到平均碰撞频率,2. 自由程：l,一个分子连续二次碰撞之间通过的路程,对每个分子来说，每二次碰撞间的自由程的长短显然是偶然的；对大量分子的自由程 l 取平均，可得统计平均值：平均自由程,3. 和的 关系：, 和 是二个统计平均值，都用于描写
9、分子热运动激烈的程度是等效的,1秒内分子通过的平均路程： 1秒内分子的平均碰撞次数：,每碰一次，路程被折成一段,14,三. 和 的统计规律,设：所有的分子都是直径为 的弹性小球，且静止不动；有一个分子 a 在运动，a 分子相对其他分子的速率为 ，分子数密度为n,a 将与哪些分子相碰？,以 a 分子中心轨迹为轴，以 为半径的圆截面作一圆柱，凡分子中心落入柱体内的分子均与 a 相碰,一秒内 a 的平均碰撞次数：,此处3方面用了统计规律：,15,理论证明：,宏观态下：,用宏观量表示,16,1。在确定的宏观态下，平衡态时： 、 是确定的值（对确定的气体）,2。 增大，是否 增大？,， ， 略有增加,计算标准状态下，空气分子的 和,计算结果：,几亿几十亿次每秒,
