《武汉理工物理光学课件2第二次课Dirac函数comb函数和Bessel函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《武汉理工物理光学课件2第二次课Dirac函数comb函数和Bessel函数（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,第二次课、Dirac 函数、梳状comb函数和Bessel函数,内容： 一、Dirac 函数 二、梳状comb(x)函数 三、Bessel函数,2,一、 Dirac 函数,1Dirac函数的定义 2Dirac函数可以用一些连续函数的序列极限来表示 3Dirac 函数的性质 4复合函数形式的Dirac函数h(x) 5二维Dirac函数,3,4,早在一个多世纪前，物理学家就感到有必要引入一个数学符号来描述质点、点电荷、点光源及又窄又强的电脉冲等一类物理量，当时用于描述这种物理量的数学符号被称之为冲击脉冲符号。 1947年，英国物理学家P.A.M.Dirac在他的著作Principle of Q
2、uantum Mechanics中正式引入(x)，并称它为奇异函数或广义函数。,(x)函数之所以被称为奇异函数或广义函数，原因在于： 一、它不象普通函数那样存在确定的函数值，而是一种极限状态，而且它的极限也和普通函数不同，不是收敛到定值，而是收敛到无穷大； 二、函数不象普通函数那样进行四则运算和乘幂运算，它对别的函数的作用只能通过积分来确定。,5,1Dirac 函数的定义,对于自变量为一维的函数(x)来说，它满足下列条件：,(1),这表明，(x)函数在x0点处处为零，在x=0点出现无穷大极值，x=0点又称为奇异点。 但是，尽管(0)趋近于无穷大，对它的积分却等于1，即对应着函数的面积或强度等于
3、1，所以(x)又叫做单位脉冲函数。,很显然，等式：,(2),成立。,6,在光学里，(x)函数常常用来表示位于坐标原点的具有单位光功率的点光源，由于点光源所占面积趋近于零，所以在x=0点功率密度趋近于无穷大。,在(1)和(2)中变换原点，得到：,(3),其中a为任意常数。 因此用(x-a)乘x的函数，并对所有x积分的过程，等效于用a代替x的过程。,*定义的另外形式：,7,2(x)可以用一些连续函数的序列极限来表示,1)、归一化的Gauss分布函数G(x)：,(4),该函数具有如下的性质：,(5),当0时，G(x)就趋向于(x)，即：,(6),8,(7),其中0。,3)、函数,的极限,也满足(x)
4、函数的条,件，即：,(8),其中0。,9,4)、阶跃函数的导数也可以表示Dirac (x)函数。,根据第一次课所讲的内容可知，阶跃函数step(x)也称为Heaviside函数，可以用H(x)表示，其定义如下：,(9),函数H(x-a)对x的导数也满足(x)的条件，即：,(10),10,(1),(3),11,对1)的证明：,由(4)式可以看出，当x=0，0时，,而当x0，0时，,由公式(5)得：,所以由公式(6)所定义的函数满足(x)函数的条件(1)式。可见归一化的Gauss函数的序列极限可以表示(x)函数。,12,很容易看出，当xa时，,而当x=a时，,利用分步法计算积分，有：,根据以上讨论
5、，再结合式(3)可知，Heaviside函数H(x-a)对x的导数可以表示Dirac (x)函数，即式(10)成立。,对4)的证明：,13,3Dirac函数的性质,性质1)、积分性质：函数的定义式：,即表明了函数的积分性质，这个积分也可称之为函数的强度。,性质2)、筛选性质：,(2),由此得出推论：,式(2)表明了函数的筛选性质。,则是其推论。,而式(3)中的,14,性质3)、坐标缩放性质，设a为常数，且不为零，则有：,推论1： (-x)=(x) 说明函数具有偶对称性。,推论2：,15,性质4)、函数的乘法性质如果f(x)在x0点连续，则有：,推论： (1) x(x)=0,16,4复合函数形式
6、的函数h(x),设方程h(x)=0有n个实数根x1，x2，xn，则在任意实根xi附近足够小的邻域内有： h(x)= h(xi)( x-xi) 其中h(xi)是h(x)在x=xi处的一阶导数。 如果h (xi)0，则在xi附近可以写出：,h(x)=h(xi)( x-xi)=,17,上式表明，h(x)是由n个脉冲构成的脉冲系列，各个脉冲位置由方程h(x)=0的n个实根确定，各脉冲的强度则由系数| h (xi)|-1来确定。,若h (xi)在n个实根处皆不为零，则有：,h (xi)0,推论：,18,5二维函数函数,*1、直角坐标系的情况 二维函数表示为(x, y)，它是位于xy平面坐标原点处的一个单
7、位脉冲。 二维函数是可分离变量函数，即有： (x, y)= (x)(y) 二维函数的性质以及其证明过程与一维函数的情形相同。,*2、极坐标系的情况 (x，y) (r，) ，必须要保证： 1)、脉冲位置相同； 2)、二者强度(即曲面下体积)相同。 只有这样，坐标变换才是等价的。,19,几个二维函数在两种坐标系中的位置关系,表1,20,考虑到脉冲强度的对应关系，下面给出两个二维函数坐标变换的例子：,显然，(x，y)和(r)的位置相同。,例1)、,可见，脉冲位置和强度都相同，所以坐标变换成立。,证明：,(x，y)曲面下的体积为：,21,例2)、,其中，,显然，(x-x0， y-y0)与(r-r0，-
8、0)的位置是相同的。,而(r-r0，-0)曲面下的体积为：,可见强度也相同，所以坐标变换成立。,证明：,(x-x0， y-y0)曲面下的体积为：,22,二、梳状comb(x)函数,内容： 1一维梳状函数的定义 2梳状函数的性质 3二维梳状函数,23,1一维梳状函数的定义,这是间隔为1，强度为1的函数无穷系列，所以梳状函数又称为单位脉冲序列或单位脉冲梳。,图1 comb(x)的图形,在光学上，常用梳状函数表示光栅常数d=1的一维细缝光栅的透射系数。,24,2梳状函数的性质,1)、筛选性质：,f(x)是定义在区间(-，)的连续函数,利用梳状函数的筛选性质，可以求出连续函数f(x)在脉冲所在位置的m
9、个函数值之和。,2)、缩放性质,设a为实常数，则有：,这是强度为1/|a|、脉冲间隔为1/a的函数无穷限序列。 当a1时，脉冲间隔压缩； 当a1时，脉冲间隔放大。,25,3)、平移性质,设a和x0皆为实常数，则有：,除了常数a的缩放作用之外，坐标原点向左平移了 x0/a。,4)、乘法性质(抽样性质),设f(x)是定义在区间(-，)的连续函数，则有：,26,这表明，连续函数f(x)与comb(x)相乘，结果是一个强度为f(m)的脉冲序列。 于是连续分布的函数f(x)变成了离散分布的函数fs(x)，从而实现了对连续函数的抽样，因此，comb(x)的乘法性质也可称为comb(x)的抽样性质。,图2
10、comb(x)的抽样性质,27,3二维梳状函数,二维梳状函数的定义、性质以及相应的证明过程和一维梳状函数相同，即将自变量由一维扩展到二维即可。,*二维梳状函数表示为：,它是分布在(x，y)平面的矩形网格上，间隔为(x，y)的二维单位脉冲阵列。,它也是可分离变量函数，即：,28,三、 Bessel函数,1 n阶第一类Bessel函数的定义 2Bessel函数的性质,29,1 n阶第一类Bessel函数是Bessel方程的一个特解，记作Jn(x)，其定义形式为：,函数的定义为：,函数具有的性质：,可见，p为正整数时，(p)又称为阶乘函数。,(n，k为整数),30,常用的Bessel函数有J0(x)
11、、J1(x)和J2(x)。各种数学手册中均列有Bessel函数表，可以查到J0(x)、J1(x)和J2(x)以及 与x的数值关系。,当n为偶数时，有Jn(-x)= Jn(x)，Jn(x)为偶数； 当n为奇数时，有Jn(-x)=-Jn(x)，Jn(x)为奇函数； 所以只要知道x0时的曲线形状，便可知道当x0时的曲线形状。,31,J0(x)、J1(x)和J2(x)的图形分布示意图,32,2Bessel函数的性质 Bessel函数有很多性质，例如：,4),3),2),1),以上结论的证明可参阅王竹溪，郭敦仁编著的特殊函数论的有关章节。,33,本次课小结,一、Dirac函数 1Dirac函数的定义 2Dirac函数可以用一些连续函数的序列极限来表示 3Dirac 函数的性质 4复合函数形式的Dirac函数h(x) 5二维Dirac函数 二、梳状Comb(x)函数 6一维梳状函数的定义 7梳状函数的性质 8二维梳状函数 三、 Bessel函数 9 n阶第一类Bessel函数的定义 10Bessel函数的性质,作业：2.2、2.3、2.4,
