《经济学的数学工具教学澳DarrellA.Turkington等著，吴汉洪等译第一章节矩阵代数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《经济学的数学工具教学澳DarrellA.Turkington等著，吴汉洪等译第一章节矩阵代数（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章 矩阵代数,本章先介绍一些矩阵的基本概念，引入矩阵的基本运算和一些常见矩阵，然后介绍行列式和矩阵的逆，接着介绍作为特殊矩阵向量的线性相关性以及矩阵的秩，最后作为补充介绍克罗内克乘积和矩阵向量化,1.1 基本概念,矩阵是元素的矩形组合。 用大写字母表示矩形，用下标表示其行数和列数;用小写字母表示其中元素，用元素的下标表示该元素在矩阵中所占据的位置。 基本矩阵运算 1、相等 ， ，当且仅当 时， 2、相加 ， ，则 3、系数相乘 ,其中 为一实数。,4 矩阵相乘 令 ， ，那么 是一个 的矩阵，其中 第个元素为 。 注意：1、矩阵乘法的相容性 2、矩阵乘法不遵循交换律 5 矩阵的迹 只有方阵
2、才有迹，方阵 的迹 为其主对角线元素之和： 6 矩阵的转置 ，将 的行与列互换即可得 如果 ，则 是对称的,转置规则： （i） （ii） （iii） （iv） 和 是对称的,特殊矩阵 1、单位矩阵 主对角线上元素为1而其余元素为0的方阵 2、系数矩阵 系数矩阵可表示为 ，其中 为系数 3、对角矩阵 4、零矩阵 所有元素都为零的矩阵，常用一个大写的零加以表示。,5、幂等矩阵 如果 ，则 为幂等矩阵 6、向量 行向量是一个 的矩阵而列向量是一个 的 矩阵 向量x和向量y间的欧几里德距离：,第二节 行列式,引言 行列式 ： ， 1、 情形 2、 情形,利用代数余子式对行列式进行展开 定义 如果去掉
3、的一行一列，我们可以得到一个 的 阶子矩阵。取该子矩阵的行列式，我们就得到 的一个子行列式。 用 表示去除 行 列后矩阵 的子行列式。 的代数余子式记为 ， 。 例,则,定理 令 为 矩阵，有 （1.1） （1.2） 将（1.1）完整的写出，有： 将（1.2）完整的写出，有：,例 在上例中 步骤 如果矩阵的某一行或者某一列中有多个零，可以用此行或者此列对行列式进行展开。,行列式的性质 1、 2、任意两行或者两列进行交换会使得行列式的符号发生改变。,有 3、如果 的某行（列）中的每个元素都乘以一个实数 而得到 ，有： 有 4、,有 5、 如果 和 都是 阶的， 6、将一行（列）的倍数加到另一行（
4、列）上，行列式不变。,性质（6）使得我们能够回答在本节前面所提出的问题。 步骤 如果 中没有零，则用一行（列）的倍数加到另一行（列）上以使得其出现尽可能多的零。 例1,例2,定理 令 为 矩阵， 为 的代数余子式，有 该结论经常被称为“利用异代数余子式进行展开”,1.3 矩阵的逆,在实数体系中，对于任意实数 ，总存在一个数 ，的倒数，使得 那么这种性质在矩阵中是否存在呢？对于给定矩阵 ，是否存在矩阵 使得： 注意： （i）如果 是方阵的话，其才可能存在逆 （ii）,定义 令 为 的方阵，如果存在某个 方阵 使得： 则 就是 的逆。 例 考虑,则 定理 方阵 有逆的充分必要条件是 。 对于上例中
5、的 ，有 因此该矩阵具有逆。,定义 如果方阵 有逆，则其为非奇异的；如果方阵 没有逆，则其为奇异的。 逆的性质 （i）如果 有逆，则其逆唯一。 （ii）如果 和 都是非奇异的， （iii） （iv）,下面证明其唯一性，而其他性质可以很容易得出 设 有两个逆 和 ，那么 ， 。有 利用代数余子式求逆。 定义 令 ，我们将 中所有元素用其代数余子式来代替可得到一个新的矩阵。 的伴随矩阵，记作 ，是所形成新的矩阵的转置。 即，令 的代数余子式，有：,例,定理 令 为一非奇异方阵，那么： 证明： 考虑 的第 个元素， 如果 ，其等于 ，而 其等于零，因此 类似的， 从而,利用基本行（列）运算求逆 基本
6、行运算包括一下几种： （i）矩阵的任意两行互换。 （ii）将矩阵中任意一行乘上一个非零系数。 （iii）将一行的倍数加到另一行上。 基本列运算的定义与此类似。 关于基本行运算需要注意的第一件事是每种运算都可以通过将所考察矩阵乘上某个特定的矩阵而实现。而后者被称为初等矩阵,例 考虑 （i）假设我们将1，3行交换而得到： 有,（ii）假设我们将第二行乘上-3而得到： 有： （iii）假设我们在第二行上加上7倍的第三行而得到：,有 值得我们注意的是所有的初等矩阵本身是非奇异的。 现在假设我们使用基本行运算将一个非奇异矩阵 变换为单位矩阵，并假设我们需要 步才能达到目的。假设第一步可以通过用初等矩阵
7、前乘而实现，第二步则用 前乘上一步运算所得新的矩阵，如此等等。那么很明显有 。 现在令 则有 。 由于矩阵逆的唯一性我们有 。但 ,于是有：,后一个等式的语言表述就是我们的方法。我们用对 进行基本行运算将其转换为单位矩阵，同样的基本行运算将单位矩阵转换为 的逆。 例 找出下列矩阵的逆： 首先应该保证 ，下面我们使用标记 ，表明 是通过对 施以基本行（列）运算而得到的。,那么就有： 需要提醒的是，也可以用基本列运算来求逆。假设要将矩阵 转换为单位矩阵需要 步基本列运算。回忆基本列运算可以通过将矩阵后乘某个合适的初等矩阵而得到，有： 因此， 即基本列运算在将 转换为 的同时也将 转换为 。 最后在
8、使用这种方法时，我们可以选择使用基本行运算还是基本列运算，但是我们不能将其混合起来使用。,1.4 向量线性关系和矩阵的秩,定义 个 阶的列向量， ，是线性相关的，如果存在不全为零的系数 使得下式成立： 对于行向量而言，也存在类似的定义。 向量 是向量 的线性组合，如果存在系数 使得 。 注意 向量线性相关表明这些向量中至少有一个可以写作其他向量的线性组合。,例 明显， 因此， 定义 个列向量是线性无关的,如果 也就是说，这些向量的线性组合得到零向量的唯一情形是所有的系数等于零。,注意 如果向量集合中包括零向量，则该集合中的向量是线性相关的。 例 有 而 ，从而这些向量是线性相关的。,矩阵的秩
9、定义 矩阵 的秩，记作 ，是矩阵中线性无关行向量的最大数目。 定理 矩阵 的秩同时也是 中线性无关列向量的最大数目。 明显从定理和该定理中可以看出，矩阵的秩小于或等于其行数和列数中较小的一个。 即， 。,求矩阵秩的方法 1 利用行列式求秩 定理 的秩为 ，当且仅当 的子矩阵的每个子行列式，只要阶等于或高于 都为零，而至少才能存在一个阶 的子矩阵，其子行列式不为零。 需要注意的是，如果 为方阵，我们所能得到的最大的子矩阵就是 本身，因此在应用这个定理时候我们应该从 开始。,例 找出下列矩阵的秩： 但是 因此,2 用基本行运算或者列运算来求秩 定理 对于任意两个矩阵 和 ， 推论 当 前乘或者后乘
10、一个非奇异的矩阵时，其秩不变。 应用基本行运算或者列运算将 简化至可轻易看出其秩为止。一般而言，对于任意矩阵 ，基本行或者列运算会使得矩阵 简化至如下形式： 从而,例 有 因而,然而在求给定矩阵的秩时我们并不需要做到这样。我们只需运用基本行和/或列运算将 简化到梯阵式即可。 定义 矩阵 的梯阵式可以通过运用基本行和/或列运算将其简化至一些列阶梯而得到，这些阶梯从矩阵的左上角延续至右下角，而每一步下面元素都为零。 例 如下矩阵就是梯阵式 需要注意的是每步长度并不需要相同.,定理 矩阵 的秩就是其梯阵式中非零行的个数。 例 那么， 。,*1.5 克罗内克乘积和矩阵的向量化,定义 令 为一 矩阵，我们将 分为各列： 其中 是 的第 列。 为一 列向量，其定义为： 令 为 的矩阵而 为 的矩阵。下面 矩阵就是 和 的克罗内克乘积，记作 ：,例 则,则,需要注意的是，在此例中， 也就是说，克罗内克乘法并不遵循交换律，即,克罗内克乘积的性质： （i） （ii） （iii）如果 和 存在， （iv） （v） 另外，如果 是 方阵而 是 方阵，有： （vi） （vii） 如果 和 是非奇异的，那么还有： （viii）,通过这些性质我们又可知：,
