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1、31 数系的扩充和复数的概念 31.1 数系的扩充和复数的概念,学习目标 1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程 2了解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念 3掌握复数代数形式的表示方法及复数相等的充要条件,课前自主学案,0,1复数的有关概念 (1)复数 定义：形如abi的数叫做复数，其中a、b是_，i叫做_，a叫做复数的_，b叫做复数的_ 表示方法：复数通常用z表示，即z_,虚数单位,实部,虚部,实数,abi(a、bR),(2)复数集 定义：由_所构成的集合叫做复数集 表示：通常用大写字母 _表示 2复数的分类及包含关系,实数,虚数,a0,a0,全体复数,C,3复
2、数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数，则 abicdi_； abi0_.,ac，bd,ab0,1复数mni的实部是m，虚部是n吗？ 提示：不一定，只有当m、nR时，m才是实部，n才是虚部 2复数就是虚数吗？ 提示：复数与虚数不是同一个概念，现在所见的所有数都是复数，它包括实数和虚数两大部分,3两个复数能否比较大小？ 提示：对于复数zabi(a、bR)，当b0时能比较大小，当b0时，不能比较大小即两个不全是实数的复数不能比较大小,课堂互动讲练,规定i与实数可以进行四则运算，在进行运算时，原有的加、乘运算律仍然成立，即与原数集不矛盾,判断下列说法是否正确 (1)当zC时，z20. (2)若a
3、R，则(a1)i是纯虚数 (3)若ab，则aibi. (4)若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1. 【思路点拨】 根据复数的概念可以判定,【解】 (1)错误当且仅当zR时，z20成立 若zi，则z210. (2)错误当a1时， (a1)i(11)i0i0R. (3)错误两个虚数不能比较大小 (4)错误当且仅当x，yR时，x，y才是xyi的实部和虚部此时xyi1i的充要条件才是xy1.,【思维总结】 数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立 如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等,变式训练1 下列命题： 若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则x1； 若实数a与ai对应，则实数集与纯
4、虚数集一一对应； 纯虚数集相对复数集的补集是虚数集 其中真命题的个数是_,故由此分析可知各命题的真假 在中，若x1，则不成立； 若a0，则ai不是纯虚数 由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知：所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集 答案：0,复数zabi(a、bR)，根据a，b的取值可分为实数、虚数及纯虚数,【思维总结】 利用复数的代数形式进行分类时，主要依据是实部、虚部应满足的条件，求参数时，可据此列出方程组求解,必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组 已知x，y均是实数，且满足(2x1)iy(3y)i，求x与y. 【思路点拨】 两个复数相等时，应分清两复数的实
5、部与虚部，然后让其实部与实部相等，虚部与虚部相等,【思维总结】 一般根据复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，本题就是利用这一重要思想，化复数问题为实数问题得以解决,互动探究3 若本例条件变为x、yR，且满足(2xt)iy(ty)i.求点(x，y)满足的轨迹,方法技巧 1利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组)，求解参数时，注意考虑问题要全面 2两复数相等的充要条件是实部与虚部分别对应相等要先确定是否为代数形式，确定实部、虚部后再应用.,3把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要,失误防范 1一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小 2确定复数的实部和虚部时，不要只根据复数的形式：xyi，还要看x、y是否为实数，同时还要使x、y有意义,
