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1、第5章 线性离散系统振动理论的应用,主讲：杨瑞刚 副教授 太原科技大学 机械工程学院 2011-4,第5章 线性离散系统振动理论的应用,机 械 振 动 学,5.1 单自由度系统阻尼比和 固有频率的确定,5.2 旋转失衡,5.3 旋转轴的临界转速,5.4 振动隔离,5.5 动力吸振器,5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定,阻尼比的确定,第5章 线性离散系统振动理论的应用,对于阻尼未知的系统或阻尼特性未知的 材料组成的单自由度系统，给定初始扰 动后测定其自由振动的时间历程，当阻 尼较小时，一般可等效为具有粘性阻尼 的系统。,图 3.6 弱阻尼系统x - t 曲线,的极值发生位置,1、对数衰减
2、率,5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定,出现一次极值， 出现一次极大值。 相邻两个极大值之比( 衰减率 )为,对数衰减率为,阻尼比的确定,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定,当阻尼较小时，取第一个和第n个极大值来计算对数衰减率,阻尼较小时：,图 5.1 - 曲线,两边取对数,阻尼比的确定,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定,2、面积法 自由振动衰减曲线的包络线为,在t1时间中上包络线与坐标轴之间的面积A为：,两边同除,与无因次面积 的关系,阻尼比的确定,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.1 单
3、自由度系统阻尼比和固有频率的确定,计算步骤：,2) 作上包络线；,3) 选 作图得到面积A，并计算 ；,4) 查表5 - 1得 ；,5) 计算阻尼比：,1) 测得自由振动衰减曲线；,当t1为 n 倍准周期时， 就是对数衰减率。,阻尼比的确定,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定,固有频率的确定,测量第一个和第n+1个极大值出现的时间间隔 nd ，,例1 某系统自由振动衰减曲线中相邻的四个极大值分别为：x1=11.8mm, x2=10mm, x3=8.475mm, x4=7.182mm, t4 - t1=0.6s。求系统的阻尼比和固有圆频率。,解：(1)
4、阻尼比：,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定,面积法：n =4,(2)固有圆频率：,固有频率的确定,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定,1、共振法,位移、速度、加速度响应幅值达到最大值时系统发生共振。 当激励频率等于d或n时系统发生共振。 当响应的相位角滞后激励力的相位角时系统发生共振。 在位移、速度和加速度响应幅值保持不变而激励力幅值最小时系统发生共振。,图 5.2 F - 曲线,固有频率的确定,共振的定义,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定,共振 ( =n )
5、时,如果能测得=n时的X0，并已知此时激励力幅值F0与弹簧刚度k，则,阻尼比 或损耗因子,Q因子,共振时系统最大动能或位能与系统每循环耗散能量之比的倍称为Q因子。 共振时粘性阻尼每循环耗能：,固有频率的确定,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定,共振时最大动能与最大势能相等,对粘性阻尼,对结构阻尼,通过测试手段获得每周期耗能及共振振幅,固有频率的确定,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定,2、半功率带宽法,当激励频率变化时，可得到 曲线,为曲线 的最大值， 曲线上的点1、2,半功率带宽,幅频响应曲线,半功率点,
6、与1、2点对应的频率为 和 ，频率差,固有频率的确定,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定,1. 对具有粘性阻尼的系统,由半功率点的定义,固有频率的确定,第5章 线性离散系统振动理论的应用,当 时， 可略去， ，,由幂级数展开公式( )：,5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定,固有频率的确定,第5章 线性离散系统振动理论的应用,2. 对结构阻尼系统,由半功率点的定义,或,5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定,固有频率的确定,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.2 旋转失衡,振动微分方程,设广义坐标为机器的位移x，向上为正，坐标原点在机器
7、静平衡时转子的旋转中心o。,旋转失衡力学模型,转子质心位移为,加速度为,对结构阻尼,整理,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.2 旋转失衡,设解,对结构阻尼,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.2 旋转失衡,幅频和相频响应曲线,讨论：相位角同简谐激励下的响应，而无量纲振幅随无量纲频率的变化如下表。,最大值位置,1,0,0,0,1,1,旋转失衡,谐激励,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.2 旋转失衡,例2 偏心激振器两轴反向旋转，每个偏心轮 旋转失衡为4.5 kg-cm，用它测量结构的动力 特性。设结构质量为160 kg，激振器质量为 20 kg。当偏心轮转速为900 rpm，偏心
8、质量 在正上方时，结构向上通过静平衡位置，振 幅为2.5 cm。,求 1)整个系统的固有圆频率； 2)结构的固有圆频率和阻尼比（或损耗因子）； 3)偏心轮转速为1200 rpm时结构的振幅及结构向上通过平衡位置时，偏心质量与水平面的夹角。,偏心激振器模型,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.2 旋转失衡,解：方程 M = 20 + 160 = 180 kg，m e = 4.5 kg-cm,稳态响应为,偏心质量在正上方，即 ，结构向上通过静平衡位置， 则有， ， 。,（系统），,粘性阻尼：,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.2 旋转失衡,结构阻尼：,2) ， ，,粘性阻尼：,结构阻尼：
9、,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.2 旋转失衡,3) 当转速为1200 rpm时：,粘性阻尼:,结构阻尼：,粘性阻尼:,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.2 旋转失衡,结构阻尼：,结构通过平衡位置：,粘性阻尼:,结构阻尼:,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.3 旋转轴的临界转速,质心位移为：,微分方程为：,直立单盘转子,设特解为,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.3 旋转轴的临界转速,，,设 距离为,导前 的相位角,当 时，R接近最大值，把与旋转轴横向振动固有圆频率相当的转速称为旋转轴的临界转速 。,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.3 旋转轴的临界转速,轴在不
10、同转速下的相位：,圆盘质心G与几何中心的相对位置,轴以角速度 绕过 点的轴心线旋转，而过 点的轴心线又以角速度 绕过 点的支承点连线转动，方向相同，这称为旋转轴同步正回旋。,在临界转速时，轴上的应力不发生变化，这与不转的轴系在简谐激励下的共振有本质的区别（轴应力交变）。在临界转速时轴心偏离平衡位置的距离达到最大值，也称为共振。,阻尼又较小时， 接近 ， 因此 与 重合，称为自动定心。,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.3 旋转轴的临界转速,例3 某试验台转子质量M为100kg，轴直径 = 100mm ，弹性模量E =2.11011N/m2，密度 。求转轴的临界转速。( 实质是求转子横向振
11、动的固有圆频率，然后转换成转速。),解：(1)求等效系统：,1)用定义求ke：在轴中央加一个力F ， 位移为x，,单盘转子,2)：,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.3 旋转轴的临界转速,设轴振动时振型与静挠度曲线相同， 处的位移为 ，轴作弯曲振动时沿轴上各点的位移可用表示：,系统等效前后的动能分别为：,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.3 旋转轴的临界转速,(2)轴系横向振动的固有圆频率：,(3)临界转速：,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.4 隔振原理 隔振：在振源和机器或结构等物体之间用弹性或阻尼装置连接，以减小振源对其它物体的影响。,主动隔振：减小振动系统对外界的影响
12、。 被动隔振：减小外界振源对设备的影响。,力传递率 (主动隔振) 设机器的位移x为广义坐标，向下为正，静平衡时位移为零。方程为：,通过弹簧和阻尼器传递的力,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.4 隔振原理,通过弹簧与阻尼器传给地面的动态力幅为弹簧力和阻尼力的矢量和。,定义：力传递率S,对粘性阻尼：,传递率随无量纲频率 的变化,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.4 隔振原理,对结构阻尼：,当阻尼可忽略时：,讨论：,结论：,1)当时 ， ，无隔振效果，振动可能放大； 2)当时 ， ，有隔振效果；3) ， ，即当 时，同样的频率比 ，系统的阻尼比 越小隔振效果越好。,第5章 线性离散系统振
13、动理论的应用,5.4 隔振原理,例4 转速为3000 rpm、旋转失衡为 0.1 kg - m、质量为68 kg的电机，安装在1200 kg的隔振机座上。系统的固有频率为26.67 Hz，阻尼比为0.1。 求：1) 隔振机座的振幅； 2) 通过隔振机座传递到地面的力幅。,解： 机座的振幅为：,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.4 隔振原理,讨论：,思考：若系统阻尼增加， 如何变化？,， ， ， 。,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.4 隔振原理,位移传递率(被动隔振),基础激励,设底座位移为y，质量为m的设备位移为广义坐标x。底座不动，系统静平衡时设备的位置为广义坐标的原点，方向如
14、图. 粘性阻尼: 振动微分方程为：,结构阻尼:,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.4 隔振原理 设底座位移为 ，系统质量的位移为,粘性阻尼,结构阻尼,粘性阻尼,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.4 隔振原理,结构阻尼,定义：位移传递率S,粘性阻尼,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.4 隔振原理,结构阻尼,定义：隔振效率,隔振模型,例5 精密仪器 - 橡胶隔振系统中， ， ，地面简谐运动规律为 ， ， = 0.1256 mm/s。求：精密仪器位移的最大值 和隔振效率 。,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.4 隔振原理,解：,隔振效率,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5
15、.4 隔振原理,测振仪 测振仪利用了基础激励下相对 运动与原运动的关系,系统振动微分方程为：,设 ，则相对位移 ，,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.4 隔振原理,1、位移测量：,时， ，,2、速度测量：,利用电路输出电压：,3、加速度测量：,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.5 动力吸振器,无阻尼动力吸振器,无阻尼动力吸振器,稳态响应,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.5 动力吸振器,当 时， ，,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.5 动力吸振器,这时 传给 的力为,作用于 上的激励力与由弹簧 传给 的力恰好抵消，因而 。,设,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.5 动力吸振器,设： ， ，令 可得到 ，（二自由度的固有频率）。,第5章 线性离散系统振动理论的应用,5.5 动力吸振器,无量纲响应随无量纲 频率变化的曲线,曲线1-和曲线2-,当 =1，即 = 1= 2时才能使 1= 0，从而X2=0。当稍偏离 1.0 ，
