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1、4 能量原理及组合结构分析的变形协调法,能量原理及斜拉桥分析 中（下）承式拱桥分析的变形协调法 斜拉体系分析的变形协调法 小 结 本章参考文献,传统的最小势能能原理是求解结构问题的有效方法。 组合桥梁结构，如中、下承式拱桥、拱梁组合桥、斜拉桥、悬索吊桥等大跨径桥梁广泛采用的桥型。它们有一个共同的特点，即结构是由加劲梁（或行车道系）和承重系（拱、斜拉索等）组合而成的。受力合理但结构复杂。已有的分析方法较多，各有千秋。 将组合结构的吊杆（或斜拉索）截开，代之一未知力 ，取行车道系为连续结构，而其承重结构视结构形式不同而取不同的计算结构，在外荷载作用下，连续梁的变形曲线可表示为 ， 式中n为吊杆或斜
2、拉索的根数，为纵坐标，q为外荷载； 承重结构的变形曲线可表示为 由变形协调条件：在结点处（吊杆或斜拉索与行车道系的连接点）不应有脱离现象。则： 式中hi为吊杆（斜拉索）的竖向长度， 为其刚度， 表示吊杆（斜拉索）位置坐标。当不计吊杆变形时则等式右边第二项为零。求解此等式，可得出Fi，则可求得问题的解答。,能量原理及斜拉桥分析 (1) 最小势能原理 结构系统的总势能可写为,对于保守系统，总势能应取极值，只要事先假设结构的合理变形曲线，就可获得问题的解答。 一般梁式结构，解除桥墩支点约束可假定其竖向位移为 桥塔（墩）的水平位移可假定为,桥墩支点约束力可用变形协条（条件）求解,未知常数,两桥台支点的
3、距离,(2) 斜拉桥的能量法分析,（a）基本假定 为分析方便，并抓住主要问题，现作如下基本假定： 斜拉索与梁及塔的连接是固结的； 塔与桥墩是固结的； 梁的端支承为铰支承； 斜拉索与塔在整个荷载过程中是在弹性范围内工作 （2）典型结构总势能 图所示为斜拉桥的典型结构单塔单索面斜拉桥，梁、塔分离,全桥的总势能,斜拉桥,正、负号的取法规定如下：塔的水平位移方向离开索时取正号，否则取负号， 考虑到索垂度的几何非线性影响，索的弹性模量采用ERNST公式 将梁的竖向位移和塔的水平位移式代入,（c）梁截面的非线性分析 如下图所示为梁截面的应变图，则横截面上任意点的应变可以写为 应力应变关系为 钢结构,塔的水
4、平位移,混凝土结构：受拉区混凝土开裂退出工作，仅有钢筋承受拉力，其本构关系同上式。受压区仅考虑混凝土参与工作，可按第4章内容合理取定,梁截面的应变图,如图所示，若将梁截面分为若干个层单元，用单元中心截面的应力、应变关系来近似表示单元应力、应变，以面积 表示截面 层的面积，则,单元数量的多少将会影响计算的精度 （d）求解方法 对于保守系统，总势能应 取极值，此处有,分别有,索 的 坐标,（5）一般桥型的推广应用 对于其它类型斜拉桥，如双塔斜拉桥（图）可用类似的方法进行分析，这时全桥的总势能为,双塔斜拉桥,、 分别表示为,对于平衡系统，下式条件满足,同样的方法可求 在加载过程中，索塔与索的工作状态
5、从弹性阶段向弹塑性阶段转变时，可按照处理梁的办法来处理塔，即塔弯曲内能为,塔弹塑性范围内的弯曲刚度,索在弹塑性范围内工作时，其势能为,总势能可表示为,系数的取值如下,弹性阶段 弹塑性阶段 用此法可计算斜拉桥的 承载力,中（下）承式拱桥分析的变形协调法,分析时将吊杆截开，分别取拱式结构和连续梁为基本结构，对拱采用弹性理论进行经典分析，对连续梁采用能量法给出级数解答。通过变形协调关系最后静力解答。,（1） 拱的内力分析 取拱的基本结构如下图所示。则拱的弹性平衡微分方程为,边界条件为,系杆拱桥,弹性中心的约束方程,解可写为,利用边界条件,利用约束方程,整理,又因为,解得,拱的截面内力,（2） 梁的受
6、力分析,上图为梁部分，下图为梁的基本结构。不计剪切应变时梁的形变内能U及外力（q、Pi、FI或自重）势能V可分别表示为,梁部分,总势能,设基本结构中（图a）梁的挠度y可以表示为傅里叶级数,梁的基本结构,由变分原理,演算得傅里叶系数,等截面,在图a）中，支座i处梁的挠度yi0可以写为,同理，在支座i，j处，梁受到单位反力作用而产生的挠曲线如图b）、c）所示，可表示为,因受到单位力作用，梁支承处产生的挠度yii、yij、yji、yjj为,设桥墩处支座反力,根据边界条件及力法原理，R可由下式求解,式中,梁的总挠度函数Y可以写为,梁的内力及转角,若令q=0，P=1，则可作出梁拱任一截面的内力影响线。对
7、于自重荷载同法可以分析。此过程可用来分析连续梁桥。,（3） 变形协调关系及求解方程 在以上分析中，吊杆力Fk还是未知的，为求得Fk，可以用梁与拱的变形协调关系：在与吊杆一端相连的梁的挠度等于另一端与拱相连的拱的挠度加上吊杆的变形量。即,令 则,吊杆i与梁结点处梁的挠度Yi为,整理得求解Fi方程为,如图所示的下承式结构，拱脚与梁端相固结，则拱脚推力对梁的弯矩产生一定的影响，在梁的外力势能上应加 项，然后按前述方法求解，梁、拱端转角位移同样可用连续条件求解，参见文献2,本节主要以无立杆的中（下）承式拱为例进行讨论，对于有立柱中承式拱，只要视立柱为受压吊杆，同法可进行分析,斜拉体系分析的变形协调法,
8、此处作以下假定： 所有的斜索与塔柱之间为铰接； 主梁通过塔墩时，是简支在桥墩上； 塔柱固结在桥墩上； 主梁与塔柱的轴向变形可略去不计。,（1）基本变量分析 （a）主梁变形计算 下图所示为一独塔双孔斜拉桥，若截开斜拉索，则可用一组刚度为 的弹性支承取代。解除桥墩提供的支承，受载主梁可简化为基本体系。按上节的分析方法，梁的最终挠度Y可表示为,斜拉体系,主 梁基本体系,（b）斜索i与塔连接点处索塔的水平位移 计算 如上图所示为斜索i在梁与塔变形时索的变形，下图为斜索与塔连接情况,斜拉桥变形情况,斜索与索塔连接位置,竖琴式 辐射式,塔底固结时索塔的柔度矩阵可写成,式中n=索塔驻点数目，即为在索塔一侧锚
9、固的斜索最大数目。 可由下式计算,索塔驻点i处的水平位移 由下式给出,若斜索为辐射型时，所有的斜索均系接在塔的一点t处，则,（c）斜拉索的拉力 计算,由几何关系可得 正负号取值如下：当索塔沿水平方向离开斜索i位移时取正号，否则取负号。 斜索拉力的竖向分量和水平分量分别为,（2） 变形协调及求解过程,利用变形协调条件，求解过程如下： 求桥墩处主梁柔度系数 ； 假定斜拉力的初始值，例如可设 =0； 确定水平分力 及竖向分力 ； 确定索塔的水平位移 ； 求系数 ，基本体系中桥墩处主梁挠度 支反 力R1及主梁最终挠度 ； 求斜拉索拉力 的改进值； 重复步骤3-6，直到收敛为止。 索塔的轴向压力及桥墩的
10、轴向压力分别为 索塔 桥墩 主梁及塔柱的其它内力计算可由静力平衡直接给出,（3） 多跨斜拉桥求解要点,如果斜拉桥有多个索塔（如N个索塔，N+1跨桥），则除了要确定主梁N个反力外，上述分析过程均是相同的。利用虚功原理可求得主梁反力如下,小结 （1）变形协调法是针对组合结构整体分析提出来的 （2）桥道系（加劲梁）采用了收敛速度较快的正弦级数来表示内力及变形，而另一部分结构（拱、索、塔等）均采用了精确解析法来表示其内力及变形。 3）将有限个吊杆（或斜拉索等）的拉力作为未知数，利用逐步逼近的方法进行求解，无疑对组合结合分析提供了一个新思路。 （4）若要考虑索的几何非线性影响时，可在每一次循环中修改拉索
11、刚度 ；同时亦可考虑索塔与主梁的轴向变形来进行分析。 （5）用此方法还可进行结构的非线性及承载力分析，内容参见文献3。进行吊桥分析可参阅文献1,本章参考文献,1贺拴海、李子青、张翔、魏崇向现代桥梁结构分析西安：陕西人民教育出版社，1993 2贺拴海、张翔系杆拱桥内力分析新方法华东公路No.6，1996 3贺拴海、刘志文、宋一凡斜拉桥极限承载力分析中国公路学报Vol.13, No.2,2000 4贺拴海、张翔悬索吊桥静力分析的能量法中国土木工程学会桥梁与结构委员会全国索结构会议论文集，中国天锡，1991 5李子青、贺拴海组合结构分析变形协调法西安公路学院学报，Vol.13,No.3，1993 6张翔、贺拴海双面索悬索吊桥静力分析华东公路,No.3，1990,
