空气动力学1第3章低速平面位流

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1、第3章 理想不可压缩流体平面位流,31 理想不可压缩流体平面位流的基本方程 32 几种简单的二维位流 321 直匀流 322 点源 323 偶极子 324 点涡 33 一些简单的流动迭加举例 331 直匀流加点源 332 直匀流加偶极子 333 直匀流加偶极子加点涡 34 二维对称物体绕流的数值解,本章讨论怎样求解不可压理想流体无旋运动的规律。 在理想不可压条件下连续方程和欧拉方程包括四个方程和四个未知函数（u,v,w,p），理论上是可解的: 基本方程： 初始条件： 边界条件：,1. 理想不可压缩流体平面位流的基本方程,3.1 理想不可压平面位流的基本方程,由于飞行器的外形都比较复杂，要在满足

2、如此复杂的边界条件下求该偏微分方程组的解析解是非常困难的，尤其是方程包含非线性对流项，而且方程中速度与压强相互耦合，需要一并求出,人们发现在无旋条件下问题可以得到大大简化，尤其是可以将速度和压强分开求解，这是因为无旋条件可使关于速度位的方程化为线性方程，从而便于单独求得速度位即求出速度，而压强可利用伯努利方程求解 本章的思路是，先针对理想不可压无旋流求得一些典型的速度位基本解，将这些基本解进行叠加得到满足非常简单边界条 件的流动。对复杂外形的绕流，介绍用基本解进行叠加的数值解法大意,3.1 理想不可压平面位流的基本方程,有无旋条件，就有位函数 存在，并且位函数与速度分量之间满足： 平面不可压流

3、动的连续方程是： 结合两式，得平面不可压位流必须满足的方程： 该方程称为拉普拉斯方程，是个只与速度有关的线性方程，给定适当边界条件后方程是容易求解的。,2. 位函数 及流函数 所满足的方程、叠加原理与边界条件,3.1 理想不可压平面位流的基本方程,对于二维不可压缩流动，微分形式的质量方程可以写为：,数学上这是使 成为某个函数 的全微分的充要条件 ，即,或：,3.1 理想不可压平面位流的基本方程,代入无旋条件： 也满足拉普拉斯方程： 这也是只与速度有关的线性方程，给定边条容易求解。 位函数与流函数的关系称为柯西黎曼条件：,3.1 理想不可压平面位流的基本方程,叠加原理,拉普拉斯方程可用算子 2

4、表为 20。它是个线性方程，可以用叠加原理求复合的解。 所谓叠加原理是说如果有 分别满足拉普拉斯方程 ，则这些函数的线性组合也必满足拉普拉斯方程： 此外，由于速度分量与位函数之间的关系是线性的因此也满足叠加原理： 而压强与速度间关系为非线性故不满足叠加原理,3.1 理想不可压平面位流的基本方程,边界条件,边界条件是在流场边界上规定的条件，边界通常分为内边界和外边界。对飞行器或物体而言，内边界即飞行器或物体表面，外边界为无穷远。 按照在边界上所给条件是针对位函数自身还是位函数的法向导数，边界条件分为三种类型：,数学上满足拉氏方程的函数称为调和函数。故要找一代表具体的定常不可压理想位流运动，就是要

5、找一个能符合具体流动边界条件的调和函数，求出位函数或流函数之后，即可求出速度分布，然后用伯努利方程求解压强分布。,3.1 理想不可压平面位流的基本方程,（1）第一边值问题（狄利希特问题）：给出边界上位函数自身值 （2）第二边值问题（诺曼问题）：给出边界上位函数的法向导数值 （3）第三边值问题（庞卡莱问题）：给出部分边界上位函数自身值，部分边界上位函数的法向导数值 空气动力学问题大多数属于第二边值问题,3.1 理想不可压平面位流的基本方程,将坐标系与飞行器或物体固连，则外边界在远离物体的外边界处，速度为 V ，内边界是物体表面，不允许流体穿过或表面法向速度为零: 外边界 内边界 n为物面法向 可

6、以证明，拉普拉斯方程的解若在给定边界上能满足上述条件，则解是唯一的 求不可压理想无旋流绕物体的流动问题就转化为求解拉普拉斯方程的满足给定边条的特解这一数学问题,3.1 理想不可压平面位流的基本方程,3. 理想不可压缩流体平面定常无旋流动数学问题的提法 设给定一平面物体C，无穷远为直均流，在绕流为理想不可压定常无旋条件下，求这个绕流问题有三种提法： （1）以速度势函数为未知函数的提法 （2）以流函数为未知函数的提法 （3）以复位势w(z)为未知函数提法 需要求解满足一定定解条件的在C外区域内的解析函数。,3.1 理想不可压平面位流的基本方程,根据给定的初始条件和边界条件解出速度位函数后，如何确定

7、压强呢？对于理想不可压缩流体，在质量力有势条件下，对于非定常无旋流动，伯努利方程为 定常，质量力仅重力时： 忽略质量力时： 可见只要把速度势函数解出，压强可直接由伯努利方程得到。整个求解步骤概括为： （1）根据纯运动学方程求出速度势函数和速度分量； （2）由伯努利方程确定流场中各点的压强,3.1 理想不可压平面位流的基本方程,4. 位函数与流函数的性质及相互关系,位函数的性质小结： 速度位函数由无旋条件定义，位函数值可以差任意常数而不影响流动。 对于理想不可压缩无旋流动，速度位函数满足拉普拉斯方程，是调和函数，满足解的线性迭加原理。 速度位函数沿着某一方向的偏导数等于该方向的速度分量，速度位函

8、数沿着流线方向增加。,3.1 理想不可压平面位流的基本方程,3.1 理想不可压平面位流的基本方程,(4) 速度位函数相等的点连成的线（C）称为等位(势)线，速度方向垂直于等位线。 (5) 连接任意两点的速度线积分等于该两点的速度位函数之差。速度线积分与路径无关，仅决定于两点的位置。对封闭曲线，速度环量为零。,流函数的性质小结,(1) 流函数由平面不可压缩连续条件定义，流函数值可以差任意常数而不影响流动。,(3) 等流函数线是流线。即等流函数线的切线方向与速度矢量方向重合。,(2) 对于理想不可压缩平面无旋流动，流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数，解也满足叠加原理。,3.1 理想不可压平面位流的

9、基本方程,(4) 流函数在某一方向的偏导数等于顺时针旋转90度方向的速度分量。流函数沿速度方向逆时针转90度方向增加。,(6) 平面内任两点流函数的差等于通过此两点连线的流量。,(5) 等流函数线与等位线正交。,3.1 理想不可压平面位流的基本方程,位函数与流函数之间的关系及流网概念 位函数 和流函数 之间满足柯西-黎曼条件：,速度分量与位函数和流函数之间的关系是：,3.1 理想不可压平面位流的基本方程,流网及其特征 在理想不可压定常平面势流中每一点均存在速度位函数和流函数值，因此流场中存在两族曲线，一族为流线另一族为等势线，且彼此相互正交。由这种正交曲线构成的网格叫做流网。在流网中，每一个网

10、格的边长之比等于势函数和流函数的增值之比。 如果 则网格正方形。,3.1 理想不可压平面位流的基本方程,3.1 理想不可压平面位流的基本方程,流网不仅可以显示流速的分布情况，也可以反映速度的大小。如流线密的地方流速大，流线稀疏的地方流速小。 由于相邻流线之间的流函数差为常数即流量，则 即流速等于单位宽度流量增量，表示流速与网格间距成反比，因此流线的疏密程度反映了速度的大小。,32 几种简单的二维位流 321 直匀流,直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为 流动是无旋的，由速度位全微分 积分可得位函数： 又可求出流函数： 流线与等位线是正交的如图,常用的是这样的直匀流，它与 x 轴平行

11、，从左面远方流来，流速为 。 此时, 321 直匀流,322 点源,点源是从流场上某一点有一定的流量向四面八方流开去的一种流动。源可以有正负。负源（又名汇）是一种与正源流向相反的向心流动。如果把源放在坐标原点上，那末这流动便只有 Vr，而没有 V 。,位于原点的点源,实验演示的点源,设半径为 r 处的流速是 Vr ，那末这个源的总流量是 流量是常数，故流速 Vr 与半径成反比,x、y 向的速度可分别写为 代入速度与位函数关系 可积分求位函数。,322 点源,比较简便的是利用极座标下位函数与速度的关系：,由 位函数由上式积分得：,（注：等位线C 是一系列同心圆）,322 点源,流函数由 积分得：

12、,（注：流线c1 即c2 是一系列射线） 此外注意上式中的值域为-2,2,但反正切函数的值域为-/2,/2，故两种表达有一定区别。,322 点源,如果源的位置不在坐标原点，而在 A（,）处，则,相应的速度分量为：,除奇点处速度无定义之外，可证流场其他区域都是是无旋的,322 点源,点源加1/2强度点汇,点源加等强度点汇,偶极子,323 偶极子,源汇叠加的例子：,. p,323 偶极子,等强度的一个源和一个汇，放在x轴线上，源放在（-h，0）处，汇放在（0，0）处。从源出来的流量都进入汇，流动情况如图:,其中1 、2 分别是点 P 与源和汇的连线与正 x 的夹角,应用叠加原理，位函数和流函数如下

13、,现在我们考虑一种极限情况，当 h0 但同时 Q 增大，使 保持不变的极限情况。 这时位函数变成 显然等位线=C是一系列圆心在 x 轴上的圆，且都过原点,可以证明除奇点处速度无定义之外，流场其他区域都是是无旋的。,323 偶极子,求流函数： 上述位函数可写为:,利用极座标下流函数与位函数的关系：,对 积分得：,即：,显然流线=C是一些圆心在 y 轴上的圆，且均过原点。,323 偶极子,两个分速的表达式是 合速 要注意偶极子有轴线方向，上述布于 x 轴上的 正负源形成的偶极子其轴线在x方向，对于 指向正 x 方向的偶极子，上述位函数、流函数 和速度分布都要改变符号。,323 偶极子,如果偶极子轴

14、线和 x 轴成角，正向指向第三象限如图所示，在 xy 坐标系中的位函数及流函数可写为：,根据二坐标系的旋转变换关系：,323 偶极子,代入上述位函数和流函数表达，并注意到坐标旋转时向径不变：x2+y2 = x2+y2 ，得到在 (x,y) 坐标系中的偶极子：,如果偶极子位于（，）, 轴线和 x 轴 成角，正向指向第三象限，则,323 偶极子,实际旋涡包含有旋的涡核和涡核外的被诱导的无旋流场。,实际旋涡的涡核内为有旋流,涡核外为无旋流,白色粉末显示实际旋涡的周向诱导速度随半径增大而减小,涡核,诱导流场,324 点涡,324 点涡,点涡可以看成实际旋涡的涡核直径趋于零时的一种极限情况，除涡所在一点

15、外，整个平面流场是无旋的，流体被点涡诱导绕点涡作圆周运动，流线是一些同心圆，流速只有周向速度 ，而没有径向速度 。 绕点涡的环量是个确定的常数，例 如绕半径为 r 的圆环作环量计算，有： 式中的 是个常数称为点涡的强度，反时针方向为正。从而周向速度与离开中心点的距离 r 成反比：,这与无限长涡线产生的诱导速度一致。,由几何条件可立刻写出 u 、 v 分量：,位函数可由上式代入 等后积分求出，但方便的还是利用极座标关系：,积分后得：,显然等位线=C是 一系列射线,324 点涡,求流函数可由极座标下流函数与位函数的柯西黎曼关系：,积分得：,显然流线 = C 是一系列同心圆，可见点涡与点源的位函数与流函数只是对调了一下（上述负号只是代表涡转向）。,如果点涡的位置不在原点，而在（，），则点涡的位函数和流函数的式子分别是：,324 点涡,事实上沿任意形状的围线计算环量，值都是 ，只要这个围线把点涡包围在内。但不包含点涡在内的围线，其环量却是等于零的。,点涡是实际旋涡的一种数学近似。点涡的速度在半径 r0 时将使 V 势必使压强 p ，这是不现实的，这时粘性必然要起作用，因此实际的旋涡存在一个涡核，核内流体 V与半径成正比为有旋流，核外为无