《随机变量RandomVariables》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机变量RandomVariables（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 随 机 变 量 Random Variables,为了研究随机现象的统计规律性，在第一章中我们学习了如下基本概念,E: 随机试验,S: 样本空间,我们常常关心样本空间 S 的某些子集，如从某型电子元件中任取一件, 观测其寿命(E)， S= t : t 0,我们关心诸如t:1500 t 2000,t 1000等子集,: 我们把这些子集和S 的一些其他子集作为元素，组成一个大的集合，称其为事件域，将事件域中每一个元素称为E的随机事件,P: R1 A P(A),满足三条公理,问题 第一章研究的是对试验E求P(A)，只是孤立的研究一个个事件，对E的全貌不了解。同时，A是集合，P(A)是数，无法
2、用图形和其他数学工具，对其研究受到限制。因此为了深入地研究随机现象，认识随机现象的整体性质，需要全面地研究随机实验 E 中事件的概率,首先，如何能够系统而全面地描述 E 的随机事件呢？, 我们能否引入一个变量（即数），当它取不同的值时，或许可以表达不同的随机事件？,即引入样本空间到实数域上的一个映射,因此，我们需要根据问题的性质，通过引入一个变量，来描述随机试验的样本点。,例1. 掷一枚硬币，观察其面朝上的情况 ( E ),样本空间: S=正面，反面,X(正面）=1，X（反面）=0,定义映射,X: SR1,其中, 满足:,: X()=1=出现正面，：X()=0=出现反面,X 的取值是随机的，但
3、是我们知道它所有 的可能的取值为0，1,X 为掷一枚 硬币，出现 正面的次数,例2. 对于某型电子元件，任抽一件，观测其寿命( E),样本空间，S= t : t 0,定义映射,X: SR,tt,X 在某一范围内的取值可以表达E中的事件，如 : X()a, b=t : t a, b,其可能取值的 范围为 0，+）,X为任抽 一电子元 件的寿命。,2-1 随机变量,定义：,设(S，P)是一概率空间，若X为样本空间,S 到实数域 R1 上的映射：,满足：xR1, 有,: X() x,则称X()为(S, , P)上的一个随机变量。,常常将 ：X()x 简记为（Xx）。,X：S R1 X(), ,随机变
4、量常用大写字母X,Y,Z表示， 小写字母x,y,z表示实数,引入随机变量 X 以后，就可以用 X 来描述事件。一般地，设 L 是实数域上一集合，将X在 L 上的取值写成XL,它表示事件,X L = : X()L,: X() L,即,随机变量与一般实函数的差别：,1. X 随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值。,2. 定义域不同,其定义域为样本空间S，是一个集合，自变量是样 样本点，与数学上的定义方式有所区别,随机变量的引入，使我们能用随机变量来描述各种随机现象，并且有可能利用数学分析的方法来对随机试验的结果进行深入广泛的研究和讨论。,引
5、入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.,事件及 事件概率,随机变量及其 取值规律,2-2 离散型随机变量,1 定义,若随机变量 X 所有可能的取值为有限个或可列个，则称X为离散型随机变量。否则称为非离散型随机变量。,2. 离散型随机变量的分布,定义：若随机变量X所有可能的取值为x1，x2，xn，且X 取这些值的概率为 P(X=xi)= pi , i=1, 2, . （2.1） 则称（2.1）式为离散型随机变量X 的分布律。,Discrete Random Variables,(2.1)式也可以用表格的形式表示如下:,上述表格称为离
6、散型随机变量 X 的分布列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式,性质,(1) pi 0, i=1，2，.,(2),例3. 一汽车沿一街道行驶，需要通过四个均设有信号灯的路口，每个信号灯以概率p允许通过，设各信号灯的工作是相互独立的。以X表示该汽车首次停下时，它已通过的路口的个数，求X的分布律.,解：X所有可能的取值为：0，1，2，3，4,X=0表示经过的路口为0，即第一个信号灯就不 允许通过，其概率为1-p 即：P(X=0)=1-p,X=1表示通过的路口为1个，即第一个信号灯允 许通过，第二个不允许通过，且信号定独立工 作，故其概率为p(1-p) 即：P(X=0)=p(1-p),同样的方法可求,
7、故X的分布律为,例4,设随机变量X所有可能取的值为1,2,.,n，且已知P(X=k)与k成正比，求 X 的分布;,解：由题意知：P(X=k)=b.k，现在要求b,由离散性随机变量的性质知：,b+2b+3b+ +nb=1,解得：,故X的分布律为,例5,设随机变量 X 的分布律为,求 P(X1/2), P(3/2 X 5/2), P(2 X3),解：,P(X 1/2)=P(X=-1)=1/4,P(3/2 X 5/2)=P(X=2)=1/2,P(2 X3)=P(X=2)+P(X=3)=1/2+1/4=3/4,一般地，,设 L 是实数域上一集合，则有,3 几种常见的离散型随机变量,(1) 单点分布,例
8、6 若随机变量X只取一个常数值C，即P( X=C )=1，则称 X 服从单点分布。,例7 若随机变量 X 只取两个值0或1，其分布为,(2) 0-1分布,0p1, q=1-p，或记为 P(X=k)=pkq1-k , k =0,1 则称X 服从参数为p 的两点分布或参数为 p 的0-1分布。,设在一次伯努利试验中有两个可能的结果，A与SA ，且有P (A)=p。则在 n 重伯努利试验中事件A发生的次数 X 是一个离散型随机变量，其分布为,(3) 二项分布,0, 1, 2 , n,称X 服从参数为n，p的二项分布，记为,k =,例8 已知某批产品的一级品率为0.2，现从中有放回地抽取20只，问20
9、只元件中恰有k (k =0，1, 2 , 20)只一级品的概率是多少？,解：,易知这是n=20的20重贝努利实验，且事件A为 任取一件元件为一级品，P(A)=0.2,设20只元件中一级品的个数用X表示，则易知,故,(c) b(6，0.3)的线条图,当 k 取什么值时，P (X=k) 达到最大？,当( n + 1)p 整数时，在 k = ( n + 1)p 处的概率取得最大值,(4) 几何分布,例9 一射手每次打靶射击一发子弹，打中的概率为p(0p1), 不中的概率为q=1p。今向靶作独立重复射击，直到中靶为止，则消耗的子弹数X 是一个离散型随机变量，其分布为,或记为 P(X=k)=q k-1
10、p, k=1, 2, . 称 X服从参数为p的几何分布。,(5) 超几何分布,例10 设一批同类型的产品共有 N 件，其中次品有M件。今从中任取n (假定n N-M )件，则这n件中所含的次品数X是一个离散型随机变量，其分布为,0,1, l, l =min(M, n),称 X 服从超几何分布,m =,例11 已知某批产品的一级品率为0.2，现从中不放回地抽取20只，问20只元件中恰有k (k =1, 2 , 20)只一级品的概率是多少？,解：,（一）可看作超几何分布来计算,设产品总数为N，则一级品数为0.2N，20只 元件中一级品的个数为X： 则,（二）当产品数量很大时近似看成 二项分布来进行
11、计算,(6) 泊松分布,定义: 若离散型随机变量X 的分布律为,k =0，1，2， 其中常数 0， 则称 X 服从参数为的泊松分布, 记为X ( )。,在一定时间间隔内：,一匹布上的疵点个数；,大卖场的顾客数；,电话总机接到的电话次数；,应用场合,一个容器中的细菌数；,放射性物质发出的粒子数；,一本书中每页印刷错误的个数；,某一地区发生的交通事故的次数,市级医院急诊病人数；,等等,假设电话交换台每小时接到的呼叫次数X服从参数=3的泊松分布，求 (1) 每小时恰有4次呼叫的概率 (2) 一小时内呼叫不超过5次的概率,例12,解：由泊松分布的定义知：,4 二项分布与超几何分布的关系，二项分布与泊松
12、分布的关系,定理1 设,0 p 1，对固定的正整数n和m = 0，1，n都有,例13 设有15000件产品，其中有150件次品。现任取100件，求次品数X恰好为两件的概率。,解：X可近似看成服从二项分布， p=150/15000=0.01, n=100,定理2 设有一列二项分布XnB(n , pn)，n=1, 2 , ., 如果,是与n无关的正常数，则对任意固定的非负整数k，均有,例14 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，他独立射击了5000次，试求他至少命中两次的概率。,解：设命中次数为X，则,可用泊松分布进行近似计算，此时,说明：（1）在一次试验中，尽管成功概率很小， 但是当试
13、验次数很大时，能命中至少两次 的概率是很大的，即小概率事件，在一次试验中 不易发生，但试验次数多了，就成了大概率事件了,（2）5000次射击中，至多命中一发的概率为0.0504， 为小概率事件，如果一个人在5000次射击中真的 只命中1发或0发，说明小概率事件在一次试验中 发生了，因此，命中率0.001时值得怀疑的,对离散型随机变量，其取值为单点，但是有些随机变量的取值不能一个个的列出，在实际问题中，我们感兴趣的往往不是随机变量取一点的概率，而是研究随机变量在某个范围的概率。如：电子元件的寿命X，关心的是P(XT)=?,测量误差X，关心 而 为了 表示的方便，我们引入了随机变量的分布函 数的概
14、念，是描述随机变量分布的又一方法,2-3 随机变量的分布函数,1. 概念,则称F(x)为X 的分布函数。,定义2.1 设 X 是一随机变量，对任意的实数x，令,2. 离散型随机变量X 的分布函数,若X 的分布律为,i=1, 2, . ,则X的分布函数为,B R1, P(XB),离散型随机变量X的分布函数是单调增加的，右连续的，具有跳跃型间断点xi: i=1,2,的阶梯函数，在间断点处的跳跃度为,当 1 x 2 时， F(x) = P(X x)= P(X=0) + P(X=1) =1/3 +1/6=1/2,当 x 2 时， F(x) = P(X x)= P(X=0) + P(X=1) + P(X
15、=2) = 1,解:,当 x 0 时， F(x) =P(X x)=0,当 0 x 1 时， F(x) = P(X x)= P(X=0) =1/3,故,注意右连续,下面我们从图形上来看一下.,3. 随机变量分布函数F(x)的性质,(1) 单调性：若x1x2, 则F(x1) F(x2) 特别地 P(axb)=F(b)-F(a),(2) 非负性，规一性：对任意的实数x，均有 0 F(x)1 ，且,(3) 右连续性: 对任意的实数x0 ,有,F(x)在 x 轴上处处右连续。,(4) P(X=x0)=F(x0) F(x00),若F(x)在 X=x0 处连续，则 P(X=x0)=0,例6 设随机变量 X 的分布函数为,试求：（1）常数 A 与 B （2）P( 1 X 1),解：（1）,解得,（2）,对于离散型随机变量，如果知道了它的概率函数,也就知道了该随机变量取值的概率规律. 在这个意义上，我们说,这一讲，我们介绍了离散型随机变量及其概率分布.,离散型随机变量由它的概率函数唯一确定.,下一讲，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量-连续型随机变量.,作业,2，4，6，8，10，12，15,
