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1、超快激光器腔内动力学模型 Dynamics, modelling and simulation of ultrafast lasers,张梦,1 傅里叶变换（复习） (Fourier Transform),2 分布傅里叶法 (Split-step Fourier Method, SSFM),3 超快激光腔内数值分析方法 (Numerical Solutions of ultrafast lasers),1 傅里叶变换 （复习） (Fourier Transform),1.1 变换域分析 (Transform-Domain Analysis),1. 傅里叶,傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证
2、法的诗。 恩格斯 Jean Baptiste Joseph Fourier， 17681830 法国数学家，物理学家。 热的解析理论：记载着傅里叶级数与傅里叶积分的诞生，公认为数学史，乃至科学史上一部划时代的经典著作。 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用（wiki），这是傅里叶本人及其同时代人都难以预料到的！,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和” 傅里叶的第一个主要论点,2. 傅里叶的两个最主要的贡献,“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” 傅里叶的第二个主要论点,3. 时域 vs.
3、变换域,什么是变换？ 通过提取信号特征进行信号分析的一种工具(数学工具)。 简言之，一种特征 另一种特征,傅里叶变换 时间域(时域)特征 频率域(频域)特征,傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成。,4. 本章内容与重点,本节的思路,傅里叶级数 傅里叶变换 卷积定理 抽样定理,1.2 周期信号的傅里叶级数分析 Fourier Series Representation of Periodic Signals,1. 傅里叶级数 (Fourier Series),三角函数式的傅里叶级数：,周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数。
4、,复指数函数式的傅里叶级数：,函数内积/点积,2. 三角函数式的傅里叶级数,周期信号 f(t)，周期 T1，角频率,3. 狄利克雷条件 (The Dirichlet Conditions),(1) 在一个周期内只有有限个间断点；,(2) 在一个周期内只有有限个极值点；,(3) 在一个周期内绝对可积，即；,并不是任意周期信号都能做傅里叶级数展开， 须满足上述狄利克雷条件（一般均满足）。,4. 周期信号的频谱 (Spectrum) *,各分量的幅度 以及相位 都是 的函数。,5. 周期信号的频谱特性 *,(1) 离散性,(2) 谐波性（整数倍）,(3) 收敛性（幅度谱）,一般随 总是趋于零,谱线沿
5、频率轴呈离散分布,只含有基波频率整数倍的谐波成分,6. 复指数形式的傅里叶级数,复指数正交函数集：,级数形式：,系数：,（利用复指数函数的正交特性）,（周期信号可以由复指数信号 加权叠加而成）,6. 复指数形式的傅里叶级数, (1), (2),周期信号可分解为 区间上的复指数信号 的线性组合。,如果给出 ，则 唯一确定；反之依然。 (1) 和 (2) 可称为一对变换对。,6. 复指数形式的傅里叶级数,（ 为正整数）,7. Fn 与其他系数的关系,8. 周期复指数信号的频谱 *,复数幅度谱,复数相位谱,关于 的偶函数（实际n只取正值）,关于 的奇函数（实际n只取正值）,关于 的偶函数,关于 的奇
6、函数,复数幅度谱,复数相位谱,9. 周期复指数信号的频谱特性 *,(2) 出现了负频率分量 F-n，没有物理意义，只是方便运算。,(1) cn 是实函数，Fn 一般是复函数 (数学变换的结果)。,(3) 当 Fn 是实函数时，可用 Fn 的正负表示 0 和相位， 幅度谱和相位谱合一。,是实函数，分解成虚函数，必须有共轭对 和 ，才可能保持分解过程中 实函数的性质不变。,周期（偶对称）矩形脉冲信号的复数频谱,10. 周期信号的功率特性,周期信号的平均功率：,帕塞瓦尔(Parseval) 定理：,11. 对称信号的傅里叶级数 (1),(1) 偶函数：,三种对称形式：,(2) 奇函数：,(3) 奇谐
7、函数：,( 半波对称 ),11. 对称信号的傅里叶级数 (2),(1) 周期偶函数,是实数,例如： 周期三角函数是偶函数。,11. 对称信号的傅里叶级数 (3),(2) 周期奇函数,是纯虚数,常规意义上的奇函数没有直流分量 一般意义上的奇函数可以是 “ DC + 常规奇函数 ”,11. 对称信号的傅里叶级数 (4),(3) 奇谐函数,沿时间轴移半个周期； 相对时间轴上下反转； 波形不变。,半周期 (半波) 对称,奇谐函数的傅里叶级数系数,( n为偶数 ),( n为奇数 ),( n为奇数 ),例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量,偶对称的奇谐函数 只含基波和奇次谐波的余弦分量,奇对称的
8、奇谐函数 只含基波和奇次谐波的正弦分量,12. 傅里叶有限级数,实际应用中，n = N, N是有限整数。 如果 N 愈接近 n ，则其误差愈小； 若用 2N1 项逼近，则；,如果要完全逼近原周期信号，则 n = ,误差函数与方均误差,误差函数,方均误差,例如：对称方波,是偶函数且奇谐函数,对称方波有限项的傅里叶级数,N = 1,N = 3,N = 5,有限项的N越大，误差越小例如: N=11,由以上可见：,N越大，越接近方波 快变信号，高频分量，主要影响跳变沿； 慢变信号，低频分量，主要影响顶部； 任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真 有吉伯斯 (Gibbs) 现象发生,吉伯斯 (
9、Gibbs) 现象,随着N的增加，部分和的起伏向不连续点处压缩，但是对任何有限的N值，起伏的峰值大小约为跳变幅度的 9%,N=1 N=3,N=7 N=19,N=79,1.3 典型周期信号的傅里叶级数 (Fourier Series Representation of Typical Periodic Signals),典型的周期信号,周期矩形脉冲信号 * 周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波脉冲信号 周期全波脉冲信号,自学内容,1. 周期矩形脉冲信号的频谱,f(t)：脉宽，幅度 E，周期 T1,1.1 三角函数式傅里叶级数,直流分量：,余弦分量幅度：,正弦分量幅度：,1.2 周期矩形脉
10、冲信号的频谱 (单边谱),1.3 复指数形式傅里叶级数,方法一：根据定义,方法二：根据系数相互关系,周期偶函数性质：,1.4 周期矩形脉冲信号的复数频谱 (双边谱),1.5 周期矩形脉冲信号的频谱特性 *,(2) 各分量的大小与脉幅 E 成正比， 与脉宽成正比，与周期成反比。,(1) 频谱是离散的，谱线间隔为基波频率； 脉冲重复频率越低(即T1越大)，谱线越密集。,(3) 各谱线的幅度按 包络线变化； 过零点为： 。,(4) 含有无穷多条谱线，但其主要能量集中在第一零点以内。 低频信号能量大。 信号带宽 。,1.6 周期矩形脉冲信号的频谱变化规律,脉冲重复频率越低 (即 )，谱线越密集 ( )
11、。,时， ，频谱连续,一般信号的 “傅里叶变换”,引申：,1.8 周期矩形脉冲信号傅里叶级数小结,傅氏级数,傅氏级数 的系数,1.4 傅里叶变换 * Fourier Transform,1. 从傅氏级数到傅里叶变换 (FT),傅里叶级数 周期信号,傅里叶变换 非周期信号,把非周期信号的情况作为“周期 ”的周期信号的这种极限来处理，可由傅里叶级数推演出傅里叶变换，而进一步借助奇异函数，可以求得周期信号的傅里叶变换。,回顾：周期脉冲的频谱分析,时，,从数学意义上看： 时，谱线长度 看似以傅里叶级数表示的频谱将化为乌有！ 但无穷多无穷小量之和不一定为零。,1.1 频谱密度函数 (Spectrum D
12、ensity),当 时， ，,有：,令：,1.2 傅里叶变换对 * (Fourier Transform Pair),傅里叶正变换 (Fourier Transform),傅里叶逆变换 (Inverse Fourier Transform),1.3 讨论,(1) 反映信号的时域特征， 反映频域特征，,这是傅里叶变换的本质。,(2) 非周期信号与周期信号均可以分解为不同的频率分量。,周期信号表述为无限多频率分量的离散和,非周期信号表述为无限多频率分量的连续和,(3) 一般都为复函数，但：,(4) 非周期信号各频率分量的频率不再具有谐波关系。,(5) 具有离散频谱的信号，其功率集中在一些谐波分量之中。 具有连续频谱的信号，其功率分布在所有频率之中， 每一频率分量之功率 0,2. 傅氏变换存在的充分条件,借助奇异函数(如冲激函数)的概念，可使许多不满足绝对可积条件的信号，如周期信号、阶跃信号、符号函数等也存在傅立叶变换。,类似于傅立叶级数的 Dirichlet 条件，但不是必要条件。,本节内容回顾,本节内容回顾,
