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1、第五章 理想流体多维流动基础 第一节 流动过程物理量的变化： 一、随流导数,物理量随流导数 D( )/Dt ： 流动过程中流体质点所具有的物理量随时间的变化情况,流体质点位移 t时：在(x,y,z) t+dt：在(x+dx,y+dy,z+dz),非定常不均匀流场：N=N(x,y,z,t)，是空间和时间函数,流体质点具有物理量(标量或矢量) t时在(x,y,z)：N t+dt时在(x+dx,y+dy,z+dz)：N+dN,连续性假设： 对空间、时间连续函数N，泰勒级数一阶项表示为：,由随流导数 D( )/Dt定义 ： 流动过程中流体质点所具有的物理量随时间的变化情况,随流导数： 某一质点沿迹线运
2、动时其物理量随时间的变化率 DN(x,y,z,t) /Dt中的x,y,z： 不是空间的任意函数 是迹线上的坐标点x,y,z，即它们本身又是时间t的函数,哈密顿算子具有微分和矢量双重性质,随流导数由两部分组成：,在给定空间点上N随时间变化率 由流动不定常性引起的,(1) 局部导数或当地导数,对定常流：,流体质点在空间运动时引起N变化率 由流动不均匀性引起的,(2) 对流导数或迁移导数,对均匀流：,二、流体质点运动加速度,表示流体质点沿迹线运动时的速度变化率,加速度矢量形式：,随流导数一般形式：,质点运动加速度由两部分组成：,在给定空间点上流体质点运动速度随时间变化率 由流动不定常性引起的,(1)
3、 局部加速度或当地加速度,对定常流：,(2) 对流加速度或迁移加速度：,流体质点在空间运动时引起速度变化率 由流动不均匀性引起的。,对均匀流：, 加速度在三个坐标轴方向的分量：,解：先求流场中速度分量。,对二维流动，加速度分量,流体微团基本运动形式：,第二节 流体微团运动分析：,先研究二维流动,t时：正方形流体微团ABCD，边长ds,均匀流场： 各点速度大小、方向都一样 t+dt时：该流体微团移到ABCD位置 流体微团：保持原大小、形状、方向 只移动了一个位置平移运动,不均匀流场，但速度变化连续 流体微团大小、形状、方向发生改变 除平移运动外，还要发生其它形式运动,质点A速度分量：(VAx,
4、VAy),质点A速度矢量：,B点速度分量：,D点速度分量：,C点速度分量：,(1)线变形： x方向 t时： AB边长ds t+dt时：AB在x方向投影AB长度,各点速度大小、方向都不相同 ABCD ABCD 正方形 任意形状,单位时间流体微团沿x向相对伸缩量 即单位时间AB沿x向相对伸缩量x向线变形,线变形： y方向 t时： AD边长ds t+dt时：AD在y方向投影AD长度,单位时间流体微团沿y向相对伸缩量 即单位时间AD沿y向相对伸缩量：y向线变形,(2)角变形： 在xy平面，绕z轴,流体线：流体质点组成的线段，随流体运动并改变形状 考查AB、AD流体线,dt内： 两条互相垂直流体线夹角的
5、变化量：,流体微团角变形速度：流体微团上任意两条互相垂直流体线夹角的时间变化率的一半,角变形速度：两条互相垂直的流体线夹角的时间变化率的一半,(3)旋转角速度 由于流体微团发生变形，由微团中某一点引出的几条流体线的旋转角速度互不相同， 必须用平均概念。 流体微团旋转角速度： 微团上两条互相垂直流体线平均旋转角速度 或两条互相垂直流体线角平分线的旋转角速度,规定逆时针为正,规定顺时针为负,类推可得，对三维流动：,矢量形式旋转角速度：,流体微团运动一般由四种基本运动复合而成,上式改写为：,由泰勒级数展开，并略去高阶小量：, 亥姆霍兹速度分解定理,第三节 有旋流动：,两种形式： 1)集中涡：肉眼可看
6、出流体在旋转，如龙卷风，旋涡等 2)数学涡：肉眼看不到，但由速度分布，可算出,一、涡线、涡管： 旋涡场：把角速度矢量场作为研究对象来研究流体运动,涡线：某一瞬时曲线上每一点的角速度矢量方向都与该处曲线切线方向相同,涡管：在旋涡场中任取一条封闭曲线(不是涡线) ，通过曲线上每一点作一条涡线，所有涡线形成的管形曲面,二、速度环量： 速度环量：流场中流动速度沿给定封闭曲线的线积分,：曲线C上长度为dl的无限小弧段， 方向与曲线在该处切线方向重合,环量积分方向：逆时针方向为正 无旋或有旋运动都可用上式计算环量,第四节 无旋流动：,无旋运动：流场中各处角速度为零的流动,无旋运动条件,粘性流体：有粘性力，
7、流动是有旋流动。 理想流体：无粘性力，来流又是无旋流动，则流动是无旋,如均匀流流过平板： 在边界层内，要考虑粘性影响，是有旋流动,在边界层外，粘性影响可忽略，是无旋流动,为什么？,一、无旋流动中速度势函数,无旋流动条件：,是关系式 Vxdx+Vydy+Vzdz 成为某函数全微分的充分条件,j 势函数，或速度势,即存在j(x,y,z,t)，有 dj(x,y,z,t)=Vxdx+Vydy+Vzdz,速度势 3个速度分量 可用一个标量函数代替一个矢量函数（三个分量） 研究流体问题所需的方程个数由 3个 1个 大大减小计算量， 在流体力学中作用很大,无旋条件导出速度势 无旋流动必存在势函数 无旋流动：
8、有势流动，简称势流,为无旋流动，即存在速度势,例：不可压流体流速分量为：Vx=x2 - y2, Vy= -2xy, Vz=0。是否为无旋流？若为无旋流动，求速度势函数。,解：,势函数中一般不加常数项， Q它对速度场不产生影响。,第五节 雷诺输运定理：,一般物理定理是针对具体体系的 雷诺输运定理：把体系中与流体体积有关的随流物理量的 随流导数用控制体形式表示出来,控制体：I+II，体积V，表面积A t时体系：I+II ，体积V，表面积A t+Dt时体系：II+III，体积V+DV，表面积A+DA,N：与体系体积有关的任意随流物理量，如体系内质量、 内能、动能、动量等 h ：体系内单位体积流体所具
9、有的随流物理量,如h=r，则,N、h ：与空间和时间有关 是标量或矢量,为流体在体积V中的质量,N 对时间变化率：,用随流导数符号：,没有定常流假设,当Dt0时，I0，II,控制体体积V=I+II：,A出, 穿出控制面流速,=单位时间内体系随流物理量N进入区域III的数量,=单位时间内从控制体流出的随流物理量, 从控制体表面 流出的流体所 穿过控制面的 面积,A进 从控制体表面 流进的流体所 穿过控制面的 面积,=单位时间内流进控制体的流体所带进随流物理量N数量,但随流物理量总是正的 在积分前加负号,控制体是固定的和不变形的,控制体整个表面积： A = A出+ A进,即某瞬时控制体内流体所构体
10、系 所具有的随流物理量的随流导数 同一瞬时控制体中所含同一随流物理量的增加率 该物理量通过控制面A的净流出率之和, 雷诺输运定理数学表达式,=单位时间控制体中所含同一随流物理量的增加量 单位时间该物理量通过控制面A的净流出量之和,第六节 连续方程：,体系表达式的基本物理定律,积分形式方程：流体流动的总体性能关系，如流体作用在物体上合力，总的能量传递等 微分形式方程：详细了解流动过程各个参数,一、积分形式连续方程： 连续方程：质量守恒定律应用于流动流体的数学表达式,流体块体积: V,流体块质量:,流体块密度:,代入雷诺输运定理：,质量守恒定律： 该体系具有的质量在流动过程中不随时间变化, 适用于
11、控制体积分形式连续方程,控制体内流体质量增加率通过控制面的流体净流进率,当不存在内源时：,单位时间控制体内流体质量增加量 =单位时间通过控制面的流体净流进量,几种特殊流动情况下的连续方程：,1. 不可压流：,对不可压流体，又不存在内部源时： 流出控制体的流体体积流量=流进控制体的体积流量,由,2. 可压定常流：,对可压流体定常流动，又不存在内部源时： 流出控制体的质量流量=流进控制体的质量流量,由,定常流：,3. 一维定常流：,说明对一维定常流，通过各截面的质量流量都相等,微元立方体：相对坐标系位置不变 微元体边长：dx, dy, dz 中心点速度：u, v , w 中心点密度：r,由质量守恒
12、定律： 建立通过控制面的流量 与控制体内流体质量变化率 之间的关系,二、微分形式连续方程：,通过微元控制体单位表面的流体质量,单位时间内沿x方向经过控制面的流体质量：,单位时间内沿x方向经过控制面净流出流体质量：,单位时间内沿y方向经过控制面净流出流体质量：,单位时间内沿z方向经过控制面净流出流体质量：,单位时间内从控制面净流出的流体质量：,控制体中流体：流出 控制体内流体：不断减少 控制体体积：不变 控制体内流体密度：不断变小,单位时间内控制体内流体质量减少量：,质量守恒：, 直角坐标系下微分形式连续方程,单位时间内从控制面净流出的流体质量,=单位时间内控制体内流体质量减少量,展开上式：,矢
13、量形式：,密度随流导数：,1. 不可压流体流动：r = c,对定常流和非定常流均成立,2. 可压定常流：,连续方程：规定了流场中速度与密度之间的关系 对不可压流：规定了速度分量之间的关系 连续方程可判断：给定速度场在物理上是否可能,解：,例：流速分量为：u=x2z - y2, v= -2xy, w=2yz, 的不可压流动，判断是否可能？,不可能,第七节 动量方程：,动量方程：牛顿第二定律应用于运动流体的数学表达式,一、积分形式动量方程：,牛顿第二定律： 体系具有动量对时间的变化率 =作用于体系上所有外力的合力,雷诺输运定理：,作用控制体内所有流体质量力合力：,质量力：,单位质量流体所受到的质量
14、力：,表面力：,理想流体表面力：,为什么？,合外力：,定常流为零：,用于控制体动量方程：,控制体内流体具有动量随时间变化率：,定常流，动量方程为：,穿过控制体表面流体净动量通量：,=单位时间流出控制体的流体所带走动量 -单位时间流进控制体的流体所带进动量,直角坐标系下，x方向动量方程分量形式：,y和z方向动量方程分量形式：,动量方程：求流体对物体的作用力 动量方程：加以改写 取控制体如图：,A=A1+A2+A3,动量方程中：,物体对流体作用力：,流体对物体作用力：,在A1上：,动量方程变为：,分量形式为：,讨论：,1) 空气：质量力略去不计,2) 第一项：控制体内流体具有动量的时间变化率 一般
15、情况下未知 用动量方程求作用力时，只能对定常流动,4)分速度Vx, Vy, Vz及作用力分量的正负与坐标系有关,3)封闭控制面A3：位于远场，其上流速与压强已知,动量方程变为：,5)控制面上法向速度Vn：以控制面外法线方向为正,6)推导上述方程时：假设为理想流体 实际流体：有粘性 一般粘性系数：很小 紧靠物体表面附面层内流体：必须考虑粘性 附面层以外流体：可按理想流体处理 求流体与物体之间作用力时：仍可用动量方程,流体与物体之间法向压力和切向粘性力总和：,二、微分形式动量方程：,微小立方体中心：x, y, z 微小立方体边长：dx, dy, dz 流体密度：r,作用在流体微团上合外力：,牛顿第二运动定律：,x方向表面力：,y方向表面力：,z方向表面力：,流体微团受到的表面力：,单位体积流体微团受到的表面力：,单位质量流体微团受到的质量力：,流体微团受到的质量力：,流体微团受到的合外力：,代入牛顿第二定律：,单位质量流体具有惯性力= 流体所受到质量力和压强力,理想流体微分形式动量方程或欧拉运动微分方程：,由随流导数：,欧拉运动微分方程在直角坐标系中分量形式：,
