《2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：1.3空间几何体的表面积与体积 第2课时 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：1.3空间几何体的表面积与体积 第2课时 （15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 2 课时课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积 学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解 球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面 积 知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式 1柱体的体积公式 VSh(S 为底面面积，h 为高)； 2锥体的体积公式 V Sh(S 为底面面积，h 为高)； 1 3 3台体的体积公式 V (SS)h(S、S 为上、下底面面积，h 为高)； 1 3SS 4柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 VShV (SS)hV Sh. 1 3S
2、S 1 3 知识点二 球的表面积和体积公式 1球的表面积公式 S4R2(R 为球的半径)； 2球的体积公式 V R3. 4 3 类型一 柱体、锥体、台体的体积 例 1 (1)如图所示，已知三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长均为 1，且 AA1底面 ABC，则三 棱锥 B1ABC1的体积为( ) A. B. 3 12 3 4 C. D. 6 12 6 4 答案 A 解析 三棱锥 B1ABC1的体积等于三棱锥 AB1BC1的体积，三棱锥 AB1BC1的高为， 3 2 底面积为 ，故其体积为 . 1 2 1 3 1 2 3 2 3 12 (2)现有一个底面直径为 20 cm 的装有一部分水的圆柱形
3、玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6 cm，高为 20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中当铅锤从水中取出后，杯里的水将 下降( ) A0.6 cm B0.15 cm C1.2 cm D0.3 cm 答案 A 解析 设杯里的水下降 h cm，由题意知 ()2h 2032，解得 h0.6 cm. 20 2 1 3 反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 公式法：直接代入公式求解 等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即 可 分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积 (2)求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和
4、高，要充分利用截面、轴截面，求出 所需要的量，最后代入公式计算 跟踪训练 1 (1)如图所示，在长方体 ABCDABCD中，用截面截下一个棱锥 CADD，求棱锥 CADD的体积与剩余部分的体积之比 解 设 ABa，ADb，AAc， VCADD CDSADD a bc abc， 1 3 1 3 1 2 1 6 剩余部分的体积为 VABCDABCDVCADDabc abc abc， 1 6 5 6 棱锥 CADD的体积与剩余部分的体积之比为 15. (2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形，侧面是全等的等 腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的
5、高和体积 解 如图，在三棱台 ABCABC中，取上、下底面的中心分别为 O，O，BC，BC的中点分别为 D，D，则 DD是梯形 BCCB的高 所以 S侧3 (2030)DD75DD. 1 2 又因为 AB20 cm，AB30 cm，则上、下底面面积之和为 S上S下(202302) 3 4 325(cm2) 3 由 S侧S上S下，得 75DD325， 3 所以 DD(cm)，OD20(cm)， 13 3 3 3 6 10 3 3 OD305(cm)， 3 63 所以棱台的高 hOO DD2ODOD2 4(cm) 13 3 3 25 310 3 3 2 3 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V
6、(S上S下)(2023022030)1 900(cm3) h 3S上S下 4 3 3 3 4 3 4 3 4 类型二 球的表面积与体积 命题角度1 与球有关的切、接问题 例 2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比 解 如图等边ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆 O. 设球的半径 OER， OA2OE2R， OE sin 30 ADOAOD2RR3R， BDADtan 30R， 3 V球 R3， 4 3 V圆锥 BD2AD (R)23R3R3， 1 3 1 33 则 V球V圆锥49. (2)设长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则
7、该球的表面积为( ) A3a2 B6a2 C12a2 D24a2 答案 B 解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为 a， 2a2a2a26 得球的半径为a，则球的表面积为 4(a)26a2. 6 2 6 2 反思与感悟 (1)正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r1 ，过在一个平 a 2 面上的四个切点作截面如图. (2)球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有 r2a，如图. 2 2 (3)长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体
8、对 角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a，b，c，则过球心作长方体的对角面 有球的半径为 r3，如图. 1 2 a2b2c2 (4)正方体的外接球 正方体棱长 a 与外接球半径 R 的关系为 2Ra. 3 (5)正四面体的外接球 正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为 2Ra. 6 2 跟踪训练 2 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A1 B13 C13 D19 33 答案 C 解析 设正方体的棱长为 1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为 ，外接球的直径为 1 2 正方体的体对角线， 外接球的半径为， 3 2 其体积比为 ( )3 ()313. 4 3
9、 1 2 4 3 3 23 (2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为、 、，则它的外接球表面积为_ 3515 答案 9 解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为 a、b、c， 则Error!Error!解得Error!Error! 外接球半径为 ， a2b2c2 2 3 2 外接球表面积为 4( )29. 3 2 命题角度2 球的截面 例 3 在球内有相距 9 cm 的两个平行截面面积分别为 49 cm2和 400 cm2，求此球的表面 积 解 方法一 (1)若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心 O 的大圆截面， C，C1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为 R cm，截面圆的半径分
10、别为 r cm，r1 cm. 由 r 49，得 r17(r17 舍去)， 2 1 由 r2400，得 r20(r20 舍去) 在 RtOB1C1中，OC1， R2r2 1R249 在 RtOBC 中，OC. R2r2R2400 由题意可知 OC1OC9，即9， R249R2400 解此方程，取正值得 R25. (2)若球心在截面之间，如图(2)所示，OC1，OC. R249R2400 由题意可知 OC1OC9， 即9. R249R2400 整理，得15，此方程无解，这说明第二种情况不存在 R2400 综上所述，此球的半径为 25 cm. S球4R242522 500(cm2) 方法二 (1)若
11、截面位于球心的同侧，同方法一，得 OC R249，OC2R2400， 2 1 两式相减，得 OC OC240049 2 1 (OC1OC)(OC1OC)351. 又 OC1OC9，OC1OC39， 解得 OC124，OC15， R2OC2r2152202625， R25 cm.(以下略) 反思与感悟 设球的截面圆上一点 A，球心为 O，截面圆心为 O1，则AO1O 是以 O1为直 角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面 圆心的轴截面 跟踪训练 3 把本例的条件改为“球的半径为 5，两个平行截面的周长分别为 6 和 8” ，则 两平行截面间的距离是( )
12、 A1 B2 C1 或 7 D2 或 6 答案 C 解析 画出球的截面图，如图所示 两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形： 两个平行截面在球心的两侧， 两个平行截面在球心的同侧 对于，m4，n3， 52325242 两平行截面间的距离是 mn7； 对于，两平行截面间的距离是 mn1. 故选 C. 类型三 组合体的体积 例 4 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A. B. 1 3 2 3 C. 2 D. 2 1 3 2 3 答案 A 解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体， V 122 ( 12)1 .故选 A. 1 2 1 3 1 2 1 3 反思
13、与感悟 此类问题的关键是把三视图还原为空间几何体，再就是代入公式计算，注意锥 体与柱体两者的体积公式的区别解答组合体问题时，要注意知识的横向联系，善于把立体 几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一 体 跟踪训练 4 如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台，求这个奖杯的体 积 解 三视图复原的几何体下部是底座是正四棱台，中部是圆柱，上部是球 这个奖杯的体积 V h(S上S下)221633336100(cm3) 1 3S上S下 4 3 1已知一个铜质的五棱柱的底面积为 16 cm2，高为 4 cm，现将它熔化后铸成一个正方体的 铜块(不计损耗
14、)，那么铸成的铜块的棱长是( ) A2 cm B3 cm C4 cm D8 cm 答案 C 解析 铜质的五棱柱的底面积为 16 cm2，高为 4 cm， 铜质的五棱柱的体积 V16464(cm3)， 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为 a cm， 则 a364，解得 a4 cm，故选 C. 2.已知高为 3 的棱柱 ABCA1B1C1的底面是边长为 1 的正三角形(如图)，则三棱锥 B1ABC 的体积为( ) A. B. 1 4 1 2 C. D. 3 6 3 4 答案 D 解析 V Sh 3. 1 3 1 3 3 4 3 4 3将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) A2 B4 C8 D16 答案 B 解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为 1，所以表面积为 S4124. 4如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、 圆锥、球的体积之比为_ 答案 312 解析 设球的半径为 R，则 V柱R22R2R3，V锥 R22R R3，V球 R3，故 V柱 1 3 2 3 4 3 V锥V球2R3 R3 R3312. 2 3 4 3 5某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_ 答案 3 解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为 1 的半球，其表面积为半个球面面积与截面面 积的和，即 43. 1 2 1柱体、锥体、台体
