《2019届高考数学大一轮复习讲义：第九章 平面解析几何 9.5 椭圆 第2课时 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学大一轮复习讲义：第九章 平面解析几何 9.5 椭圆 第2课时 （14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 2 课时课时 直线与椭圆直线与椭圆 题型一题型一 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 1若直线 ykx1 与椭圆1 总有公共点，则 m 的取值范围是( ) x2 5 y2 m Am1 Bm0 C00 且 m5，m1 且 m5. 2已知直线 l：y2xm，椭圆 C：1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C： x2 4 y2 2 (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点 解 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立， 得方程组Error!Error! 将代入，整理得 9x28mx2m240. 方程根的判别式 (8m)249(2m24)8m2144
2、. (1)当 0，即33时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这 22 时直线 l 与椭圆 C 没有公共点 思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的 个数 (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点 题型二题型二 弦长及弦中点问题弦长及弦中点问题 命题点 1 弦长问题 典例斜率为 1 的直线 l 与椭圆y21 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为( ) x2 4 A2 B. C. D. 4 5 5 4 10 5 8 10 5 答案 C 解析 设 A，B 两点的坐标分别为(
3、x1，y1)，(x2，y2)， 直线 l 的方程为 yxt， 由Error!Error!消去 y，得 5x28tx4(t21)0， 则 x1x2 t，x1x2. 8 5 4t21 5 |AB|x1x2| 1k2 1k2x1x224x1x2 ， 2 ( 8 5t)24 4t21 5 4 2 55t2 当 t0 时，|AB|max. 4 10 5 命题点 2 弦中点问题 典例已知椭圆 E：1(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆 E 于 A，B 两 x2 a2 y2 b2 点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为( ) A.1 B.1 x2 45 y2 36 x2
4、36 y2 27 C.1 D.1 x2 27 y2 18 x2 18 y2 9 答案 D 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以Error!Error!运用点差法， 所以直线 AB 的斜率为 k， b2 a2 设直线方程为 y(x3)， b2 a2 联立直线与椭圆的方程得 (a2b2)x26b2x9b2a40， 所以 x1x22， 6b2 a2b2 又因为 a2b29，解得 b29，a218. 命题点 3 椭圆与向量等知识的综合 典例 (2017沈阳质检)已知椭圆 C：1(ab0)，e ，其中 F 是椭圆的右焦点，焦 x2 a2 y2 b2 1 2 距为 2，直线 l 与椭圆 C
5、 交于点 A，B，线段 AB 的中点横坐标为 ，且(其中 1 4 AF FB 1) (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)求实数 的值 解 (1)由椭圆的焦距为 2，知 c1，又 e ，a2， 1 2 故 b2a2c23， 椭圆 C 的标准方程为1. x2 4 y2 3 (2)由，可知 A，B，F 三点共线，设点 A(x1，y1)，点 B(x2，y2) AF FB 若直线 ABx 轴，则 x1x21，不符合题意； 当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时， 设 l 的方程为 yk(x1) 由Error!Error!消去 y 得 (34k2)x28k2x4k2120. 的判别式 64k44(4
6、k23)(4k212)144(k21)0. Error!Error! x1x22 ，k2 . 8k2 4k23 1 4 1 2 1 4 将 k2 代入方程，得 4x22x110， 1 4 解得 x. 1 3 5 4 又(1x1，y1)，(x21，y2)， AF FB AF FB 即 1x1(x21)，又 1， 1x1 x21 . 3 5 2 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆 方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题涉及弦中点的问题时用“点差法”解决， 往往会更简单 (2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|
7、 1k2x1x224x1x2 (k 为直线斜率) (1 1 k2)y1y224y1y2 (3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式 跟踪训练 (2018长春调研)已知椭圆1(ab0)的一个顶点为 B(0，4)，离心率 x2 a2 y2 b2 e，直线 l 交椭圆于 M，N 两点 5 5 (1)若直线 l 的方程为 yx4，求弦 MN 的长； (2)如果BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一般式 解 (1)由已知得 b4，且 ， c a 5 5 即 ， ， c2 a2 1 5 a2b2 a2 1 5 解得 a220，椭圆方程为1. x2
8、20 y2 16 将 4x25y280 与 yx4 联立， 消去 y 得 9x240x0，x10，x2， 40 9 所求弦长|MN|x2x1|. 112 40 2 9 (2)椭圆右焦点 F 的坐标为(2,0)， 设线段 MN 的中点为 Q(x0，y0)， 由三角形重心的性质知 2， BF FQ 又 B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)， 即Error!Error!故得 x03，y02， 即 Q 的坐标为(3，2) 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1x26，y1y24， 且1，1， x2 1 20 y2 1 16 x2 2 20 y2 2 16 以上两式相减得0， x1x2
9、x1x2 20 y1y2y1y2 16 kMN y1y2 x1x2 4 5 x1x2 y1y2 ， 4 5 6 4 6 5 故直线 MN 的方程为 y2 (x3)， 6 5 即 6x5y280. 高考中求椭圆的离心率问题 考点分析离心率是椭圆的重要性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类： 一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围， 无论是哪类问题，其难点都是建立关于 a，b，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把 其中的 b 用 a，c 表示，转化为关于离心率 e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难 点的根本方法 典例 1 已知椭圆
10、E：1(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 x2 a2 y2 b2 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于 ，则 4 5 椭圆 E 的离心率的取值范围是( ) A.B. (0， 3 2 (0， 3 4 C.D. 3 2 ，1) 3 4，1) 解析 设左焦点为 F0，连接 F0A，F0B，则四边形 AFBF0为平行四边形 |AF|BF|4， |AF|AF0|4， a2. 设 M(0，b)，则 M 到直线 l 的距离 d ， 4b 5 4 5 1b2. 离心率 e ， c a c2 a2 a2b2 a2 4b2 4 (0，
11、3 2 故选 A. 答案 A 典例 2 (12 分)如图，设椭圆方程为y21(a1) x2 a2 (1)求直线 ykx1 被椭圆截得的线段长(用 a，k 表示)； (2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围 规范解答 解 (1)设直线 ykx1 被椭圆截得的线段为 AM， 由Error!Error! 得(1a2k2)x22a2kx0，2 分 故 x10，x2， 2a2k 1a2k2 因此|AM|x1x2| 1k2 .4 分 2a2|k| 1a2k21k2 (2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P，Q
12、，满足|AP|AQ|. 记直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2， 且 k10，k20，k1k2.5 分 由(1)知|AP|， 2a2|k1| 1k2 1 1a2k2 1 |AQ|， 2a2|k2| 1k2 2 1a2k2 2 故， 2a2|k1| 1k2 1 1a2k2 1 2a2|k2| 1k2 2 1a2k2 2 所以(k k )1k k a2(2a2)k k 0.7 分 2 12 22 12 22 1 2 2 由 k1k2，k10，k20 得 1k k a2(2a2)k k 0， 2 12 22 1 2 2 因此1a2(a22)， ( 1 k2 11)( 1 k2 21) 因为式关
13、于 k1，k2的方程有解的充要条件是 1a2(a22)1，所以 a. 2 因此，任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1a，10 2 分 由 e ，得 02，即b0)的一条弦所在的直线方程是 xy50，弦的中点坐标是 x2 a2 y2 b2 M(4,1)，则椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 1 2 2 2 3 2 5 5 答案 C 解析 设直线与椭圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知 yMxM，代入 k1，M(4，1)，解得 ，e，故选 C. b2 a2k b2 a2 1 4 1(b a)2 3 2 4已知
14、F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，且|AB|3，则 C 的方程为( ) A.y21 B.1 x2 2 x2 3 y2 3 C.1 D.1 x2 4 y2 3 x2 5 y2 4 答案 C 解析 设椭圆 C 的方程为1(ab0)，则 c1.因为过 F2且垂直于 x 轴的直线与椭 x2 a2 y2 b2 圆交于 A，B 两点，且|AB|3，所以 ，b2a2c2，所以 b2 a 3 2 a24，b2a2c2413，椭圆的方程为1. x2 4 y2 3 5从椭圆1(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴 x2 a2 y2 b2 正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离 心率是( ) A.B. 2 4 1 2 C.D. 2 2 3 2 答案 C 解析 由题意可设 P(c，y0)(c 为半焦距)， kOP，kAB ，由于 OPAB， y0 c b a ，y0， y0 c b a bc a 把 P代入椭圆方程得1， (c， bc a) c2 a2 ( bc a)2 b2 2 ，e .故选 C. ( c a) 1 2 c a 2 2 6已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1，F2，过
