《2019届高考数学大一轮复习讲义：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.9 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学大一轮复习讲义：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.9 （18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.9 函数模型及其应用函数模型及其应用 最新考纲考情考向分析 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长 特征，结合具体实例体会直线上升、指数增 长、对数增长等不同函数类型增长的含义 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂 函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的 函数模型)的广泛应用. 考查根据实际问题建立函数模型解决问题的 能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、 不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高 档难度. 1几类函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)axb(a，b 为常数，a0) 反比例函数模型 f(x) b(k，b 为常数且 k0) k x 二次函数模型f(x)ax
2、2bxc(a，b，c 为常数，a0) 指数函数模型 f(x)baxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1) 对数函数模型 f(x)blogaxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1) 幂函数模型f(x)axnb (a，b 为常数，a0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0) 在(0，)上的增减性增加的增加的增加的 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图像的变化随 x 的增大逐渐表现随 x 的增大逐渐表随 n 值变化而 为与 y 轴平行现为与 x 轴平行各有不同 值的比较存在一个 x0，当 xx0时，有 logax0)的函数模型称为“对勾
3、”函数模型： a x (1)该函数在(，和，)上是增加的，在，0)和(0，上是减少的 aaaa (2)当 x0 时，x时取最小值 2， aa 当 x1)的增长速度会超过并远远大于 yxa(a0)的增 长速度( ) (5)“指数爆炸”是指数型函数 yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比 喻( ) 题组二 教材改编 2某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( ) A收入最高值与收入最低值的比是 31 B结余最高的月份是 7 月 C1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D前 6 个月的平均收入为 40 万元 答案 D
4、解析 由题图可知，收入最高值为 90 万元，收入最低值为 30 万元，其比是 31，故 A 正 确；由题图可知，7 月份的结余最高，为 802060(万元)，故 B 正确；由题图可知，1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同，故 C 正确；由题图可知，前 6 个月的平均收入为 (406030305060)45(万元)，故 D 错误 1 6 3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的 生产成本为 C(x) x22x20(万元)一万件售价为 20 万元，为获取更大利润，该企业一 1 2 个月应生产该商品数量为_万件 答案 18 解
5、析 利润 L(x)20xC(x) (x18)2142， 1 2 当 x18 时，L(x)有最大值 4用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的 长度为_ 答案 3 解析 设隔墙的长度为 x(04 000 时，令 0.112x420，解得 x3 750(舍去)， 故这个人应得稿费(扣税前)为 3 800 元 6某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市 这两年生产总值的年平均增长率为_ 答案 1 p1q1 解析 设年平均增长率为 x，则(1x)2(1p)(1q)， x1. 1p1q 题型一题型一 用函数图像刻画变化过程用函
6、数图像刻画变化过程 1.高为 H，满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中 流出，若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v，则函数 vf(h)的大致图像是( ) 答案 B 解析 vf(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选 B. 2物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种 绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0，各种 方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的 运输量)逐步提高的是( ) 答案 B 解析 由运输效率(单位时间的运输量)逐
7、步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大， 故函数的图像应一直是下凸的，故选 B. 3汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程下图描述了甲、乙、丙三辆 汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( ) A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多 C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D某城市机动车最高限速 80 千米/小时相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 答案 D 解析 根据图像所给数据，逐个验证选项 根据图像知消耗 1 升汽油，乙车最多行驶里程大于 5 千米，故选项 A 错
8、；以相同速度行驶 时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项 B 错；甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升，行驶 1 小时，里程为 80 千 米，消耗 8 升汽油，故选项 C 错；最高限速 80 千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因 此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项 D 对 思维升华判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图 像 (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻 合，从中排除不符合实
9、际的情况，选择出符合实际情况的答案 题型二题型二 已知函数模型的实际问题已知函数模型的实际问题 典例 (1)(2017石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为 “可食用率” 在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 pat2btc(a，b，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数 据，可以得到最佳加工时间为_分钟 答案 3.75 解析 根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式， 联立方程组得Error!Error! 消去 c 化简得Error!Error! 解得E
10、rror!Error! 所以 p0.2t21.5t22 2 ，所以当 1 5(t2 15 2 t225 16) 45 16 1 5(t 15 4) 13 16 t3.75 时，p 取得最大值，即最佳加工时间为 3.75 分钟 15 4 (2)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系 yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b 为常数)若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是_小时 答案 24 解析 由题意得Error!Error!e22k ， 48 192 1 4 e11k ，x33 时，
11、ye33kb(e11k)3eb 1 2 3192 19224(小时) ( 1 2) 1 8 思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数 (3)利用该模型求解实际问题 跟踪训练 (1)拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由 f(m)1.06(0.5m1)给出，其 中 m0，m是不超过m 的最大整数(如33，3.73，3.13)，则甲、乙两地通话6.5 分 钟的电话费为_元 答案 4.24 解析 m6.5，m6，则 f(6.5)1.06(0.561)4.24. (2)某工厂生产某种产品固定
12、成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万 元又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数，K(Q)40QQ2，则总利润 L(Q)的最大值是 1 20 _万元 答案 2 500 解析 L(Q)40QQ210Q2 000 1 20 Q230Q2 000(Q300)22 500. 1 20 1 20 则当 Q300 时，L(Q)的最大值为 2 500 万元 题型三题型三 构建函数模型的实际问题构建函数模型的实际问题 命题点 1 构造一次函数、二次函数模型 典例 (1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量 x(kg)与其运费 y(元)之间的关系由如图 所示的一次函数图像确定，那
13、么乘客可免费携带行李的质量最大为_kg. 答案 19 解析 由图像可求得一次函数的解析式为 y30x570，令 30x5700，解得 x19. (2)将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个出售时，能卖出 400 个，已知这种商品每涨价 1 元，其销售量就要减少 20 个，为了赚得最大利润，每个售价应定为_元 答案 95 解析 设每个售价定为 x 元，则利润 y(x80)400(x90)2020(x95)2225 当 x95 时，y 最大 命题点 2 构造指数函数、对数函数模型 典例一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍 伐到面积的一半时，所用时间是
14、10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 ， 1 4 已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. 2 2 (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解 (1)设每年降低的百分比为 x(00)型函数 a x 典例 (1)(2018 届中原名校质检)高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升 高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第 n 层楼时，上下楼造成的不 满意度为 n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高， 环境不满意度降低，设教室在第 n 层楼时，环境不满意度为 ，则同学们认为最适宜的教室 8 n 应
15、在( ) A2 楼B3 楼 C4 楼D8 楼 答案 B 解析 由题意知同学们总的不满意度 yn 24， 8 n n 8 n2 当且仅当 n ，即 n2时等号成立， 8 n2 又当 n3 时，不满意度 y 的值比 n2 时不满意度 y 的取值小， 同学们认为最适宜的教室应在 3 楼 (2)(2017南昌模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为 60 (如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为 9平方米，且 3 高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为 x 米，外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的 3 和)为 y 米要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪 堤的腰长 x_. 答案 2 3 解析 由题意可得 BC ， 18 x x 2 y26. 18 x 3x 2 18 x 3x 23 当且仅当(2x0，解得 x2.3， x 为整数，3x6，xZ. 当 x6 时， y503(x6)x11
