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1、八年级下册易错题第一章 三角形的证明1.已知等腰三角形的两边长分别为5、2,则该等腰三角形的周长是(D )A7 B9 C12或者9 D12考查知识点:三角形的基本知识及等腰三角形边的关系:任意两边之和大于第三边,等腰三角形两腰相等,因此只能是:5cm,5cm,2cm.2.一个等腰三角形的一个角是40,则它的底角是(D)A40 B50 C60 D40或70考查知识点:三角形的内角和及等腰三角形两底角相等:当40是顶角时,底角就是70;40就是一个底角.3.已知ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm,则最长边上的高是(D)A.2.4cm B.3cm C.4cm D. 4.8cm提示:设最长边
2、上的高为h,由题意可得ABC是直角三角形,利用面积相等求,即解得h=4.84.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300,腰长为6,则其底边上的高是3或.解:三角形是钝角三角形时,如图1,ABD=30AD=AB=6=3,AB=AC,ABC=ACB=BAD=(90-30)=30,ABD=ABC,底边上的高AE=AD=3;三角形是锐角三角形时,如图2,ABD=30A=90-30=60,ABC是等边三角形,底边上的高为6=综上所述,底边上的高是3或5.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形(B)的交点.A.三个内角平分线 B.三边垂直平分线 C.三条中线 D.三条高考查的知识点:三角形三边垂直平分线
3、的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为:点到点距离相等,为垂直平分线上的点】还有一个:三角形三个内角平分线的交点到三角形三边的距离相等【归纳为:点到线的距离相等,为角平分线的交点,此时的距离有“垂直”】6.如图,在ABC中,AB=5,AC=3,BC的垂直平分线交AB于D,交BC于E,则ADC的周长等于8 考查的知识点:垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等7. 用反证法证明:一个三角形中至少有一个内角小于或等于60.答案:已知:ABC , 求证:ABC中至少有一个内角小于或等于60证明:假设ABC中没有一个内角小于或等于60,即每一内角都大于60则A60,B60,C60A+B+C60+60
4、+60=180即A+B+C180,这与三角形的内角和为180度矛盾假设不成立 ABC中至少有一个内角小于或等于60考查知识:反证法,用反证法进行证明时先写出已知、求证,再假设求证的反面成立,推出与题设、定理等相矛盾的结论,从而肯定原结论成立【注意:反证法一般很少用到,除非是题目要求用反证法证明,否则一般不考虑该方法】8. 如图所示,AOB=30,OC平分AOB,P为OC上任意一点,PDOA交OB于点D,PEOA于点E,若PE=2cm,则PD=_cm解:过点P作PFOB于F,AOB=30,OC平分AOB,AOC=BOC=15,PDOA,DPO=AOP=15,DPO=AOP=15,BOC=DPO,
5、PD=OD=4cm,AOB=30,PDOA,BDP=30,在RtPDF中,PF=PD=2cm,OC为角平分线,PEOA,PFOB,PE=PF,PE=PF=2cm9.如图,在ABC中,ABC和ACB的平分线交于点E,过点E作MNBC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为() A.6 B.7 C.8 D.9解:ABC、ACB的平分线相交于点E,MBE=EBC,ECN=ECB,MNBC,EBC=EBC,ECN=ECB,BM=ME,EN=CN,MN=BM+CN,BM+CN=9,MN=9考查知识点:平行+平分,必有等腰三角形10.如图,AD是ABC的角平分线,DFAB,垂足为F,DE
6、=DG,ADG和AED的面积分别为50和39,则EDF的面积为(B) A.11 B.5.5 C.7 D.3.5 解:作DM=DE交AC于M,作DNAC,在AED和AMD中AEDAMD DE=DG,DM=DE,DM=DG,AD是ABC的外角平分线,DFAB,DF=DN,在RtDEF和RtDMN中,RtDEFRtDMN(HL),ADG和AED的面积分别为50和39,=50-39=11=11=5.5考查知识点:角平分线上的点到角两边的距离相等及三角形的全等11在RtABC中,C=90,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是(A)A. B. C. D.解:在RtABC中,AC=9,BC=12,根据
7、勾股定理得:AB=过C作CDAB,交AB于点D,则由=ACBC=ABCD,得CD=考查知识:利用面积相等法12.如图,在ABC中ADBC,CEAB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长是(A)A.1 B.2 C.3 D.4解:ADBC,EAH+B=90,CEAB,EAH+AHE=90,B=AHE,EH=EB,在AEH和CEB中,AEHCEB(ASA)CE=AE,EH=EB=3,AE=4,CH=CE-EH=4-3=1考查知识:利用三角形全等求线段长度.13.如图,在ABC中,AD是中线,AE是角平分线,CFAE于点F,AB=5,AC=2,则DF的长为.解
8、:延长CF交AB于点G,AE平分BAC,GAF=CAF,AF垂直CG,AFG=AFC,在AFG和AFC中,AFGAFC(ASA)AC=AG,GF=CF,又点D是BC的中点,DF是CBG的中位线,DF=BG=(AB-AG)=(AB-AC)=点评:本题考查了三角形的中位线定理,解答本题的关键是作出辅助线,一般出现既是角平分线又是高的情况,我们就需要寻找等腰三角形14.如图,在ABC中,AD为BAC的平分线,FE垂直平分AD,交AD于E,交BC的延长线于F.求证:CAF=B. 解:B=CAF.FE垂直平分AD,FA=FD,FAD=ADFAD为BAC的平分线,CAD=BAD又CAF=FAD=CAD,B
9、=ADF-BAD,B=CAF点评:此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点.15.如图,OA、OB表示两条相交的公路,点M、N是两个工厂,现在要在AOB内建立一个货物中转站P,使中转站到公路OA、OB的距离相等,并且到工厂M、N的距离也相等,用尺规作出货物中转站P的位置解:作AOB的角平分线;连接MN,作MN的垂直平分线,交OM于一点,交点就是所求货物中转站的位置16. 如图,在ABC中,C=90,AD平分CAB,交CB于点D,过点D作DEAB于点E(1)求证:ACDAED;(2)若B=30,CD=1,求BD的长 (1)证明:AD平分CAB CAD=EAD DEAB
10、,C=90,ACD=AED=90 又AD=AD,ACDAED(2)解:ACDAED DE=CD=1 B=30,DEB=90,BD=2DE=217.如图,ABC中,AB=BC,BEAC于点E,ADBC于点D,BAD=45,AD与BE交于点F,连接CF(1)求证:BF=2AE;(2)若CD=,求AD的长(1)证明:ADBC,BAD=45ABD=45=BADAD=BDBEACCAD+AFE=90ADBCFBD=BFD=90又AFE=BFDCAD=FBD又ADC=BDF=90ADCBDFAC=BFAB=BC,BEACAC=2AEBF=2AE(2)解:设AD=x,则BD=xAB=BC=+xABD是等腰直
11、角三角形AB=AD+x=x解得x=2+即AD=2+18.如图,已知ABC是等边三角形,D、E分别在BA、BC的延长线上,且AD=BE.求证:DC=DE证明:延长BE至F,使EF=BCABC是等边三角形B=60,AB=BCAB=BC=EFAD=BE,BD=AB+AD, BF=BE+EFBD=BFBDF是等边三角形F=60,BD=FD在BCD和FED中,BC=EFB=F=60BD=FDBCDFED(SAS)DC=DE19.如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,D是AC上一点,AEBD交BD的延长线于E,且AE=BD,求证:BD是ABC的角平分线.证明:延长AE、BC交于点FAEBEBEF=9
12、0,又ACF=ACB=90DBC+AFC=FAC+AFC=90DBC=FAC在ACF和BCD中ACFBCD(ASA)AF=BD又AE=BDAE=EF,即点E是AF的中点AB=BFBD是ABC的角平分线20.如图,在ABC中,分别以AC、AB为边,向外作正ACD,正ABE,BD与AE相交于F,连接AF,求证:AF平分DME证明:过点A分别作AMBD,ANCE,分别交BD,CE于M,N两点ABE和ACD均为等边三角形,EAB=CAD=60,AD=AC,AB=AEEAC=BAD=60+BAC,EACBAD, CE=BDAN=AMAF平分DME(在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上)21.如图,已知:AB=AC,A=90,AF=BE,BD=DC.求证:FDED.证明:连接AD.A=90 AB=AC D是BC的中点ADBC ADB=90 B=45=CAD AD=BD (直角三角形中,中线等于斜边的一半)且BE=AF易证BEDAFD (SAS)BDE=ADF ADE+EDB=ADB=90 ADF+ADE=90EDFD第二章 不等式(组)不等式基本性质例:如果xy,那么下列各式中正确的是(C)Ax-2y-2 B C-2x-2y D-x-y1.系数含有字母的不等式(组)解