《简明微积分教学课件作者第三版李亚杰课件教案-0202导数的运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《简明微积分教学课件作者第三版李亚杰课件教案-0202导数的运算（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、复合函数的求导法则 三、反函数的导数 四、初等函数的导数 五、隐函数和由参数方程确定的函数的导数,设函数 与 在点 处均可导，则它们的和、差、积、商（当分母不为零时）在点 处也可导，且有以下法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,定理1,(1)求增量:给自变量一个增量 ，则,证(1)、(2)略.,证(3),令,(2)算比值:,(3)取极限:因在点 处可导，则在该点处必连续，故当 时, ， .,又当 时，,所以，,特别地，若 则可得公式,定理推广：,解,例2 设 ,求 解,用类似地方法，可得,解,例3 求 的导数,即,例4 求 的导数,
2、 用类似地方法，可得,即,解,定理2,即由外层向内层逐层求导再相乘（链导法）,或,或,二、复合函数的求导法则,证,如三层复合，,或,或,推广 对于多次复合的函数，其求导公式类似，,解 可看作是由 复合而成的，因此,例5 设 ，求 ,例6 设 ，求 ,解,三、反函数的求导法则,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,因 是 的反函数，故可将函数 中的 看作中间变量，从而组成复合函数 上式两边对 求导，应用复合函数的链导法，得,证,或,因此,是 的反函数，而 在区间 内单调且可导，且 ，因此在对应的区间 内，有,解,即,同理可得,是 的反函数，而 在区间 内单调且可导，且 ,因此在对应的区间 上
3、，有,解,即,同理可得,1.常数和基本初等函数的导数公式,四、初等函数的导数,2.函数的和、差、积、商的求导法则,3.复合函数的求导法则,注意：(1)利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,(2)初等函数的导数仍为初等函数.,解,所以,例10,解,函数 可以写成,所以,将函数 两边取自然对数，即 两边对 求导，注意左端的 是 的函数，由链导法，有,因此,方法2,方法2称为对数求导法，一般地对于函数,（称为幂指函数）,对数求导法除适用于幂指函数外，还适用于多个因式连乘的函数,解,等式两边取对数得,例12,五、隐函数和由参数方程确定函数得导数,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不
4、能显化如何求导?,1.隐函数的导数,例1,解,解得,例2,解,所求切线方程为,显然通过原点.,2.由参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,由复合函数及反函数的求导法则得,例6,解,所求切线方程为,于是所求的切线方程为,六、高阶导数,如果函数 的导函数 仍是 的可导函数，就称 的导数为函数 的二阶导数,记作,或,即,或,类似地，这个定义可推广到的更高阶的导数,而加速度 是速度对时间的导数,是位置函数对时间的二阶导数,即 ,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数有明显的物理意义:考虑物体的直线运动，设位置函数为,则速度为,如 阶导数,例16 设 ，求,解,特别地，,根据高阶导数的定义，求函数的高阶导数就是将函数逐次求导，因此，前面介绍的导数运算法则与导数基本公式，仍然适用于高阶导数的计算,例17 求 次多项式函数 的 阶导数（ 是正整数）,解,例18 设 ，求,解,即,同理可得,
