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1、9.2 线性方程组解的情况判定,用消元法解线性方程组得知，线性方程组解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解归纳求解过程，实际上就是对方程组(9.1.1)的增广矩阵,9.2 线性方程组解的情况判定,返回,1/28,上一页,上一页,返回,2/28,进行初等行变换，将其化成如下形式的阶梯形矩阵：,9.2 线性方程组解的情况判定,返回,3/28,，(9.2.1),9.2 线性方程组解的情况判定,其中 ，或,返回,4/28,9.2 线性方程组解的情况判定,由定理9.1可知，阶梯形矩阵(9.2.1)和(9.2.2)所表示的方程组与方程组(9.1.1)是同解方程组，于是由矩阵(9.2.1)和(9.2.2)可
2、得方程组(9.1.1)的解的结论:,1.当 时，阶梯形矩阵(9.2.1)和(9.2.2)所表示的方程组中的第 个方程 “ ”是一个矛盾方程，因此，方程 组(9.1.1)无解,返回,5/28,9.2 线性方程组解的情况判定,2.当 时，方程组(9.1.1)有解 并且解有两种情况：,(1)如果 ，则阶梯形矩阵(9.2.1)表示的方程组为,返回,6/28,9.2 线性方程组解的情况判定,用回代的方法，自下而上依次求出， ， ， 的值因此，方程组(9.1.1) 有唯一解.,(2)如果 ，则阶梯形矩阵(9.2.1)表 示的方程组为,返回,7/28,9.2 线性方程组解的情况判定,将后 个未知量项移至等号
3、的右端，得,其中 ， ， 为自由未知量因此，方程组(9.1.1)有无穷多解,返回,8/28,9.2 线性方程组解的情况判定,定理9.2(线性方程组有解判别定理) 线性方程组(9.1.1)有解的充分必要条件是其系数矩阵与增广矩阵的秩相等即,推论1 线性方程组(9.1.1)有唯一解的充分必要条件是 ,返回,9/28,9.2 线性方程组解的情况判定,推论2 线性方程组(9.1.1)有无穷多解的充分必要条件是 ,推论3 齐次线性方程组(9.1.2)只有零解的充分必要条件是 ,推论4 齐次线性方程组(9.1.2)有非零的充分必要条件是 ,返回,10/28,9.2 线性方程组解的情况判定,特别地，当齐次线
4、性方程组(9.1.2)中，方程个数少于未知量个数 时，必有 这时方程(9.1.2)一定有非零解.,返回,11/28,9.2 线性方程组解的情况判定,例1 判别下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解？,返回,12/28,9.2 线性方程组解的情况判定,返回,13/28,9.2 线性方程组解的情况判定,解 (1)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即,返回,14/28,9.2 线性方程组解的情况判定,因为 ， ，两者不等，所以方程组无解,.,返回,15/28,9.2 线性方程组解的情况判定,(2)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即,因为 ，所以方程组有无穷多解,返回,16/2
5、8,9.2 线性方程组解的情况判定,(3)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即,因为 ，所以方程组有唯一解,返回,17/28,9.2 线性方程组解的情况判定,例2 判别下列齐次方程组是否有非零解？,返回,18/28,9.2 线性方程组解的情况判定,解 用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵，即,返回,19/28,9.2 线性方程组解的情况判定,因为 ，所以齐次方程组只有零解,返回,20/28,9.2 线性方程组解的情况判定,例3 问 ， 取何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷多解？,返回,21/28,9.2 线性方程组解的情况判定,解 由,返回,22/28,9.2 线性方程组解的情况判定
6、,当 时， ，故方程组有唯一解；,当 而 时， ，故方程组有无穷多解,当 而 时， ， ，故方程组无解；,返回,23/28,9.2 线性方程组解的情况判定,例4 已知总成本 是产量 的二次函数,根据统计资料，产量与总成本之间有如表9-1所示的数据试求总成本函数中的 ， ， ,返回,24/28,9.2 线性方程组解的情况判定,返回,25/28,9.2 线性方程组解的情况判定,解 将 ， ， 代入已知二次函数模型中，得方程组,利用初等行变换将其增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，再求解即,返回,26/28,9.2 线性方程组解的情况判定,返回,27/28,9.2 线性方程组解的情况判定,方程组的解为： ， ， 因此 总成本函数为,返回,28/28,下一页,下一页,9.2 线性方程组解的情况判定,
