科学计算与数学建模第七章节课件

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1、科学计算与数学建模,中南大学数学科学与计算技术学院, 常微分方程的数值解法,第七章 常微分方程的数值解法,科学和工程技术中常常要求解常微分方程。根据实际背景不同,所遇到的问题可分为两类:一类是常微分方程初值问题；一类是常微分方程边值问题。一般地,要找出这两类问题的解析解往往非常困难,甚至是不能的。本章将介绍它们的数值解法。所谓数值解法,就是在没有办法知道未知函数的解析表达式的情况下,我们近似计算未知函数在其定义域中的某些离散点上的函数值。当然,如果这些离散点在函数的定义域内的发布很密,且相应点的函数值的计算又非常准确,那么就意味着基本上找到了微分方程的解:微分方程的数值解。,函数是事物的内部联

2、系在数量方面的反映,如何寻找变量之间的函数关系,在实际应用中具有重要意义。在许多实际问题中，往往不能直接找出变量之间的函数关系,但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式。这就是所谓的微分方程，从而得出微分方程模型。,7.1 常微分方程模型的举例,例1 物体冷却过程的数学模型,将物体放置于空气中，在时刻 时，测量的它的温度为 , 10分钟后测量得温度为 。 我们要求此物体的温度 和时间 的关系,并计算20分钟后物体的温度。这里我们假定空气温度保持为 。,解: 为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。例如，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的

3、温度范围内，一个物体的温度变化速度与这个物体的温度和其所在的介质温度的差值成正比。这是已为实验证实了的牛顿（Newton）冷却定律。设物体在时刻的温度为 ，则温度的速度以 来示。,注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导，因而 。所以温度差 恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却,故温度变化速度恒负。故有： (7.1.1) 这里 是比例常数。方程（7.1.1）就是物体冷却过程的数学模型，它含有未知函数 及它的一阶导数,这样的方程称为一阶微分方程。为了解出物体的温度 和时间 的关系,我们要从方程（7.1.1）中解出。,注意到 常数,且 ,可将(7.1.1)改写成 （7.1.2） 这样 和 就被分

4、离开了。两边积分，得到 （7.1.3） 这里的c是任意常数。上式可写成,令 ,则有 （7.1.4） 再根据初始条件 可得 ,于是 （7.1.5） 如果k的数值确定了,(7.1.5)就完全决定了温度 和时间 的关系。 根据条件 时， ，得到 由此得到 从而 （7.1.6） 20分钟后物体的温度就是,从方程（7.1.6）还可得到，当 时， ,这可解释为：经过一段时间后物体的温度和空气的温度没有什么差别了。微分方程的“解”可以用图形来表示。这往往给我们一个简明直观的了解。 从例1中可以大体上看出用微分方程解决实际问题的基本步骤: （1）建立起实际问题的数学模型,也就是建立反映这个实际问题的微分方程；

5、 （2）求解这个微分方程； （3）用所得的数学结果解决实际问题,从而预测到某些物理过程的特定性质,以便达到能动改造世界,解决实际问题的目的。 在找到了变量之间所要满足的微分方程后,还需要找出代表所考虑的问题的初始状态的条件,这就是所谓的初始条件。求一个微分方程满足一定的初始条件的解的问题，称为微分方程的初值问题。,微分方程初值问题的适定性对于一个微分方程的初值问题，通常要讨论如下三个问题： （1）解的存在性，即初值问题是否有解？ （2）解的唯一性，即处置问题的解是否只有一个？ （3）解的稳定性，即处置问题的解关于初值、参数等的连续性、可导性等等。以上三个问题也叫做微分方程的适定性。 当一个微分

6、方程的定解问题的解是存在、唯一且解关于初值、参数等是稳定的时，就说这个问题是适定的。否则，就说是不适定的。微分方程的初值问题解的适定性，具有重要的实际意义。微分方程模型通常是用来描述确定性的模型。对一个有实际问题所建立的微分方程模型,如果其初值问题的解不存在,或解不唯一,这样的模型本身就不是合理的,是没有实际意义的。因为在一定的条件下物理现象到最后总会有确定的结果,这反映在模型上,就是定解问题有唯一解.而解的稳定性更是具有重要的实际运用背景。,由于在测量初始条件的值和测量方程中各项系数（或参数）等的值时，不可避免地出现测量误差，致使我们得到的微分方程模型，通常只能是近似地描述所讨论的实际问题。

7、自然会问：当测量的数据出现“小”的变动时，相应模型的“解”是否也只有“小”的变动？如果回答是肯定的,我们就说这个模型的解（在某种意义下）是稳定的,否则,就说这个模型是不稳定的。当然，只有“稳定的”解才具有可靠性，只有“稳定的”解才会有使用价值。相反，“不稳定的”解是不会有任何使用价值的。因为初值、参数等的微小误差或干扰将导致“差之毫厘，谬以千里”的严重后果。 不过并不是所有的微分方程模型都可用上述方法求解出来。1638年莱布尼茨向全世界提出如下的求解方法. 该问题1886年才被数学家刘维尔证明没有解析解。只能借助于本章要介绍的数值解法。,7.2 初值问题数值解法的推导方式及常用解法,我们先考虑

8、常微分方程初值问题。它的数学模型是：求 ，使之满足 （7.2.1） 其中 是已知常数, 是已知函数,且满足条件: （7.2.2） （7.2.2）式中的 是不依赖 的常数,称为李普希兹(Lipschitz)常数。 由常微分方程理论可知,上述问题存在唯一解 。我们的目标就是计算区间 上等距点 处该未知函数的函数值 其中 为此，可以用下列方式设计计算法。,7.2.1 数值微分法,在 处，微分方程（7.2.1）成为 （7.2.3） 用数值求导数的公式,分别代替方程（7.2.3）的左边，可得如下由 或 计算 的显示或隐式公式: （7.2.4）,略去含有的误差项并整理,可得如下由 或 计算 的近似计算公式

9、: （7.2.5） 其中, 分别表示 和 的近似值。,显然, 是已知的函数值,利用公式（7.2.5）就可以逐步计算其它所有节点的近似值。公式（7.2.5）确定的三种方法叫做欧拉法（Euler）、后 退欧拉法和中点法。 三种方法的不同之处在于：欧拉法可以直接由 计算 ；后退欧拉法在由 计算 时，则需要求解关于 的方程;中点法则必须由两个值 来计算。因此，通常称后退欧拉法为隐式方法；称中点法为二步法；称欧拉法为单步的显示方法 。,一般地，如果计算 时，用到了前m(m1)步的值 该方法就称为多步法,否则称为单步法. 在推导上述公式时，略去了误差项。我们用 表示公式的局部截断误差,之所以称局部截断误差

10、,是因为它是在假设前面若干步计算没有误差,即 的条件下近似值与准确值的误差为 如果公式的局部截断误差是 的同阶无穷小( 时),就称这个公式或相应的数值解法是p阶方法.由(7.11)易知,欧拉法、后退欧拉法和中点法分别是1、1、2阶方法。,显然，寻找微分方程的数值解时，计算的每一步都会有局部截断误差，因此 的实际截断误差 的截断误差都有关系,我们把由此产生 的误差 称为整体截断误差. 例7.2.1 分别用欧拉法、后退欧拉法和中点法求解如下初值问题： 取步长h=0.02.,解 因为步长h=0.02，所以各节点 因为 利用欧拉法的计算公式 可取 利用后退欧拉法的计算公式,可解得 的显示表达 于是 按

11、中点法的计算公式,需要知道两个初值.在此，我们利用后退欧拉法计算的结果 再依次计算 例7.2.1的解析解是 用它计算各节点的函数值可得 把上述三种方法计算的结果同准确对照,可以看出它们确实都是准确值的近似值,只是误差不一样.欧拉法的误差偏小,后退欧拉法偏大,中点法最小.这跟它们的局部截断误差的符号、阶数、大小是一致的。,7.2.2数值积分,设计初值问题数值解法的第二种方式是数值积分法。它的做法是：对原方程（7.2.1）两边在区间 上计算定积分得 (7.2.6) 再把右边的定积分用数值积分公式计算,从而可以得到关于的方程. 最简单的数值积分方法是使用梯形求积公式,即,略去误差项,并代入(7.2.

12、6)式得 (7.2.7) 其中 基于公式(7.2.7)的数值解法称为求解初值问题的梯形法. 从上述推导过程可以看出,梯形法的局部截断误差是 (7.2.8) 从式中用到 因此,梯形法是二阶、单步、隐式法。,例 7.2.2 用梯形法求解如下初值问题： 取步长 . 解 因为步长 ,所以各节点为 由梯形法的计算公式: 可得 所以,根据 可依次计算,从例7.2.1和例7.2.2可以看出,利用隐式法求解微分方程都需要求解关于 的线性或非线性方程.对线性方程的情形，容易得到 的解析表达式，但对线性方程的情形，一般很难得到的解析表达式。因此，只有用第六章介绍的非线性方程的数值解法计算 ，例如对梯形法来说（参看

13、公式（7.2.7），可构造迭代公式 （7.15） 其中迭代函数 具有压缩性质。这是因为 其中L为李普希兹常数，这样，h充分小时，,当然，我们也可以构造 的牛顿迭代公式,但不管哪一种迭代公式都需要给定初始值 在设计微分方程数值解法时,我们常常先用某个显示法,如欧拉法、中点法等，给出 的初始值，又称之为 的预测值，再利用迭代法计算下去。实践证明，利用这种方式给出 的初始值，迭代法收敛很快。如果求解非线性方程时只迭代一次，那么就得到了一类重要的数值方法，即预测-校正法，它是指出为了计算 ，先用显示法作预测，再用迭代公式作一次校正。,例7.2.3 用欧拉法作预测，用迭代公式（7.2.9）作一次校正,则

14、得到如下预测-校正法: (7.2.10) 公式(7.2.10)也可以写成如下显示公式: (7.2.11) 上式又称为改进的欧拉公式.,例7.2.4 用改进的欧拉法求解如下初值问题: 取步长h=0.1. 解 因为步长h=0.1，所以各节点为因为改进的欧拉法公式可写成,所以根据 可依次计算 所以例7.2.3的解析解是 用它计算各节点处的函数值可得 可见改进的欧拉法确实给出了的较好的近似解。,需要指出，利用数值积分设计初值问题的数值解法时，也可以对原问题（7.7）两边在区间 上计算定积分，即得 （7.2.12） 再把右边的定积分用数值积分公式，如辛普森求积公式计算.类似于前面的讨论过程，可以推导出一些初值问题的数值解法及局部截断误差。读者自己可以试一试。,7.2.3 泰勒级数