《简明线性代数课件41方阵的特征值与特征向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《简明线性代数课件41方阵的特征值与特征向量（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第四章 特征值与二次型,4.1 方阵的特征值与特征向量,4.2 对称矩阵的相似对角化,4.3 二次型及其标准形,4.4 正定性,三、方阵相似对角化的条件,一、相似矩阵,二、方阵的特征值与特征向量,4.1 方阵的特征值与特征向量,称 f (A) 为方阵 A 的多项式.,一、相似矩阵,设,记,对于方阵,有,相似矩阵,设 A, B 为 n 阶方阵, 若存在可逆矩阵 P, 使,则称 B 是 A 的相似矩阵.,称 P 为相似变换矩阵.,矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性.,P-1AP = L 的充要条件,若存在可逆矩阵 P, 使 P-1AP 为对角矩阵 L, 则称 方阵 A 可相似对角化.,而对于对
2、角阵 L = diag(l1, ln),此时有,可相似对角化方阵的多项式计算,由此可方便地计算 A 的多项式.,有,定理1 n阶方阵 A与对角阵 L = diag(l1, ln) 相似,的充分必要条件是存在线性无关向量组 p1, pn 满足,提示:,当 P =( p1, pn )可逆时,是 AP = PL.,二、方阵的特征值与特征向量,设 A 为方阵, 如果存在数 l 和非零向量 p, 使,方阵的特征值与特征向量,那么称数 l 为 A 的特征值,特征值 l 的特征向量.,l 为方阵 A 的特征值的充分必要条件是 |lE - A | = 0.,p 为方阵 A 对应于特征值 l 的特征向量, 也即
3、 p 为方,程组 (lE - A) x = 0 的任一非零解.,对应于 n 阶方阵 A的特征值 l 有 n-R(lE-A) 个线性 无关的特征向量,称属于 l 的线性无关特征向量组.,称非零向量 p 为 A 对应于,设 A = (aij) 为 n 阶方阵, l 为变元, 则有,其中,称 n 次多项式 |lE - A| 为 A 的特征多项式.,称 n 次方程 |lE - A| = 0 为 A 的特征方程.,注: 方阵 A 的特征多项式也记为 | A-lE | , 除了可能差 一个负号外与 |lE - A| 并无本质性的差异.,在复数范围内, n 阶方阵有 n 个特征值(重根按重数算).,设 A
4、= (aij) 为 n 阶方阵, l 为变元, 则有,其中,称 n 次多项式 |lE - A| 为 A 的特征多项式.,称 n 次方程 |lE - A| = 0 为 A 的特征方程.,设 l1, ln 为 A 的所有特征值,特征值的性质,(2),(1),A 的迹, 记为 tr(A).,则有,定理2 相似矩阵有相同的特征多项式(特征值).,设 A = (aij) 为 n 阶方阵, l 为变元, 则有,其中,称 n 次多项式 |lE - A| 为 A 的特征多项式.,称 n 次方程 |lE - A| = 0 为 A 的特征方程.,证明,设 A 与 B 相似, 即有可逆阵 P, 使,故,推论 若对角
5、阵L 是 A 的相似矩阵, 则L 以 A 的特征值 为对角元素.,解,方阵 A 的特征多项式为,方阵 A 的特征值为,解,由,得基础解系,因此, 方阵 A 对应于 l1 = 1 的全部特征向量为,例1 求方阵,当 l1 = 1 时, 解方程组,方阵 A 的特征值为,的特征值和特征向量.,例1 求方阵,解,当 l2 = l3 = 10 时, 解方程组,由,得基础解系,因此, 方阵 A 对应于 l2 = l3 = 10 的全部特征向量为,方阵 A 的特征值为,的特征值和特征向量.,解,方阵 A 的特征值为,方阵 A 的特征多项式为,当 l1 = 2 时, 解方程组,方阵 A 对应于 l1 = 2
6、的全部特征向量为,得基础解系,例2 求方阵,解,方阵 A 的特征多项式为,当 l2 = l3 = 1 时, 解方程组,的特征值和特征向量.,方阵 A 的特征值为,得基础解系,方阵 A 对应于 l2 = l3 = 1 的全部特征向量为,例3 设 l 为方阵 A 的一个特征值, 试证 l2 为 A2 的一 个特征值.,证明,存在非零向量 p, 使 Ap = l p,于是,因此 l2 为 A2 的一个特征值.,若 l 为方阵 A 的一个特征值, 则 f (l) 为 f (A) 的一个 特征值.,设 l 为可逆方阵 A 的一个特征值, 则 (1) l-1 为 A-1 的一个特征值. (2) | A|l
7、-1 为 A 的一个特征值.,例4 设3阶方阵 A的特征值为1,-1,2, 求 | A+3A-2E |.,解,则 f (A) 的特征值为,A 可逆,记,于是,称 k 为l 的代数重数;,称 n-R(lE-A)为l 的几何重数.,定理4 设 l1, , lm 是方阵 A 的 m 个不同的特征值, A1, Am 分别为属于 l1,lm 的线性无关特征向量组, 则由 A1, Am 的并集构成的向量组线性无关.,设 l 是 n 阶方阵 A 的特征方程的 k 重根(k重特征值),定理3 设 l1, lm 是方阵 A 的 m 个不同的特征值, p1, pm 为对应的特征向量, 则 p1, pm 线性无关.
8、,定理5 特征值的几何重数不大于代数重数.,注: 单(一重)特征值的几何重数必为1, 等于代数重数.,三、方阵相似对角化的条件,定理6 n 阶方阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.,例1中的3阶方阵 A 有三个线性无关的特征向量, 因此 可相似对角化.,例2中的3阶方阵 A 只有两个线性无关的特征向量, 因 此不可相似对角化.,三、方阵相似对角化的条件,定理7 方阵 A 可相似对角化的充分必要条件是 A的 每一特征值的几何重数等于代数重数.,提示:,设 l1,lm 是 n 阶方阵 A 的所有不同的特征值.,l1, lm 的代数重数之和等于 n .,特征值的几
9、何重数不大于代数重数.,A 与对角阵相似的充要条件是 l1, lm 的几何重数之 和等于 n ,也即 l1, lm 的几何重数等于代数重数.,定理6 n 阶方阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.,解,方阵 A 的特征多项式为,l = -1 是单特征值,l = 1 是重特征值, 代数重数为2.,当 x = -1 时,R(E-A) = 1,特征值 l = 1 的几何重数为2,等于代数重数,从而 A 能相似对角化.,(1) 求出 n 阶方阵 A 的所有特征值 li .,(2) 求 (li E-A) x = 0 的一个基础解系.,(3) 将求出的 n 个特征向量排成
10、矩阵,则有,方阵相似对角化的算法,例6 方阵,的特征值为,对应的特征向量分别为,取,则,作 业 习题4.1: 1. 5. 9. 11.,证明,记 R(l0E- A) = r,则存在可逆矩阵 P, Q, 使,于是,A 的特征多项式,由此知,定理5 设 l0 是 n 阶方阵 A 的 k 重特征值, 则,二、方阵的特征值与特征向量,设 A 为方阵, 如果存在数 l 和非零向量 p, 使,方阵的特征值与特征向量,那么称数 l 为 A 的特征值,特征值 l 的特征向量.,l 为方阵 A 的特征值的充分必要条件是 |lE - A | = 0.,p 为方阵 A 对应于特征值 l 的特征向量, 也即 p 为方
11、,程组 (lE - A) x = 0 的任一非零解.,对应于 n 阶方阵 A的特征值 l 有 n-R(lE-A) 个线性 无关的特征向量,称属于 l 的线性无关特征向量组.,称非零向量 p 为 A 对应于,证明,当 m =1 时, 由于特征向量不为零向量, 因此定理成立.,假设 m = s -1 时, 定理成立.,设存在一组数 k1, ks , 使,(1),用方阵 A 左乘(1)式两边,由 Api =li pi (i=1, s), 整理而得,(2),由(1), (2)二式消去 ps , 得,由归纳假设, p1, ps-1 线性无关, 于是,从而(1)式化为 ks ps= 0,得 ks = 0.,因此 p1, ps 线性无关,即 m = s 时, 定理也成立.,由归纳原理, 定理得证.,定理3 设 l1, lm 是方阵 A 的 m 个不同的特征值, p1, pm 为对应的特征向量, 则 p1, pm 线性无关.,
