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1、,第三节 二阶常系数线性微分方程,一、二阶线性微分方程解的结构 二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法,的方程，称为二阶线性微分方程.当 时，方程(1)成为,形如,定理 设y1(x)， y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个解，则 也是方程(3)的解，其中C1, C2是任意常数.,(一)二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构,证,这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两个解y1(x)， y2(x)的线性组合 ，仍是方程的解.那么， 是不是方程(3)的通解呢？,例1 对于二阶常系数线性齐次微分方程,容易验证： 都是它的解. 由定理11.1
2、知,也是它的解.但这个解中只含有一个任意常数C，显然它不是所给方程的通解.,问题：方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)满足什么条件时，,才是方程(3)的通解？,定义 设y1(x) 与y2(x)是定义在某区间内的两个函数，如果存在不为零的常数k (或存在不全为零的常数k1 , k2)，使得对于该区间内的一切x ，有,成立，则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，否则称y1(x) 与y2(x) 线性无关.,定理 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个线性无关的特解，则,就是方程(3)的通解.,例2,二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式,它所
3、对应的齐次方程为,(二) 二阶常系数线性非齐次微分 方程解的性质与通解结构,定理 设 是二阶常系数线性非齐次微分方程(1)的一个特解， 是方程(1)所对应的齐次方程(2)的通解，则,是方程(1)的通解.,例1,解,定理 设,的特解，则 是微分方程,的特解，其中p，q是常数.,分别是二阶常系数线性非,齐次微分方程,证,把 代入方程(3)，整理后得,称一元二次方程(5)为二阶常系数线性齐次微分方程(3)的特征方程.,是方程(3)的解，,特征方程(5)的根为,即 线性无关.因此方程(3)的通解为,于是得到方程(3)的一个特解 ，须找出方程(3)的另一个特解y2，且,取u=x，于是得方程(3)的另一个
4、特解,线性无关，方程(3)的通解为,是方程(3)的复数形式特解.利用欧拉公式,再由定理11.1可知，函数,也是方程(3)的解，且,即 线性无关，故得微分方程(3)的通解为,求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤：,1.写出特征方程，并求出特征方程的两个根；,2 .根据两个特征根的不同情况，按照公式(6)、(7)或(8)写出微分方程的通解.可使用下表:,例3 求微分方程,解 其特征方程为,即 (r+1)(r3)=0,例4,解,例5,解,1. ，其中 是常数， 是x的一个m次多项式,此时微分方程(1)成为,可设方程(4)的特解为,分三种情形讨论此式：,(1)设 不是方程(4)所对应的齐次方程
5、(2)的特征方程的 根，即 .设方程(4)的一个特解为,将 代入方程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，得到含有未知系数 的(m+1)个方程，由此定出(m+1)个未知系数 ，从而得到方程(4)的特解 .,(2)设 是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的 单根，即 .设方程(4)的一个特解为,将 代入方程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，定出(m+1)个未知系数 得到方程(4)的特解 .,(3)设 是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的重根，即 .设方程(4)的一个特解为,将 代入方程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，定出(m+1)个未知系数 ,得到方程(4)的特解 .,小结
6、：,对于二阶常系数线性非齐次微分方程(4),设方程(4)的特解为,Qm是与Pm同次的多项式，即,k的取法为 (1)当 不是对应齐次方程的特征根时，取k=0,(3)当 是对应齐次方程的重特征根时，取k=2.,(2)当 是对应齐次方程的单特征根时，取k=1,例2 求微分方程,解,，故得对应齐次方程的通解为,解,而 是特征方程的重根，取k=2.因此，设,例3,(1)先求所给方程对应的齐次方程的通解Y.,(2)再求所给方程的一个特解y*.,解,例4,此时，二阶常系数线性非齐次微分方程(1)成为,例5,解,原方程的一个特解为,(2)再求所给方程的一个特解y*.,(1)先求所给方程对应的齐次方程的通解Y.,例6,解,例7,解,
