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1、科学计算与数学建模,中南大学数学科学与计算技术学院, 城市供水量的预测模型,第2章 城市供水量的预测模型 插值与拟合算法,2.1 城市供水量的预测问题,2.1.1 实际问题与背景 为了节约能源和水源，某供水公司需要根据日供水量记录估计未来一时间段（未来一天或一周）的用水量，以便安排未来（该时间段）的生产调度计划。现有某城市7年用水量的历史记录，记录中给出了日期、每日用水量（吨/日）。如何充分地利用这些数据建立数学模型，预测2007年1月份城市的用水量，以制定相应的供水计划和生产调度计划。,表2.1.1 某城市7年日常用水量历史记录（万吨/日）,表2.1.2 2000-2006年1月城市的总用水
2、量（万吨/日）,利用这些数据，可以采用时间序列、灰色预测等方法建立数学模型来预测2007年1月份该城市的用水量。如果能建立该城市的日用水量随时间变化的函数关系，则用该函数来进行预测非常方便。但是这一函数关系的解析表达式是没办法求出来的，那么能否根据历史数据求出该函数的近似函数呢？根据未知函数的已有数据信息求出其近似函数的常用方法有插值法和数据拟合。本章将介绍插值法和数据拟合，并用这两种方法给出该城市供水量进行预测。,2.2 求未知函数近似表达式的插值法,2.2.1 求函数近似表达式的必要性 一般地，在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数在区间上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通
3、过实验和观测得到该函数在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数的性态，甚至直接求出其它一些点上的函数值是非常困难的。在有些情况下，虽然可以写出函数的解析表达式，但由于结构相当复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数作为的近似。插值法是解决此类问题的一种比较古老的、然而却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。,定义2.2.1 设函数 在区间 上连续，且在 个不同的点 上分别取值 ，在一个性质优良、便于计算的函数类 中，求一简单函数 ，使 (2.
4、2.1) 而在其它点 上作为 的近似。称区间 为插值区间，点 为插值节点，称（2.2.1）为 的插值条件，称函数类 为插值函数类，称 为函数在节点 处的插值函数。求插值函数 的方法称为插值法。插值函数 类 的取法不同，所求得的插值函数 逼近 的效果就不同，它的选择取决于使用上的需要。常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。,在多项式插值中，求一次数不超过 的代数多项式 (2.2.2) 使 (2.2.3) 其中 为实数。满足插值条件(2.2.3)的多项式(2.2.2)，称为函数 的 次插值值多项式。 次插值多项式 的几何意义：过
5、曲线 上的 个点 作一条 次代数曲线 作为曲线 的近似，如图2.2.1所示。,图2.2.1,2.2.2插值多项式存在唯一性与求插值多项式的解方程组方法 由插值条件（2.2.3）知， 的系数 满足线性方程组,由线性代数知，线性方程组的系数行列式是 阶范德蒙（Vandermonde）行列式，且,（2.2.4）,因 是区间 上的不同点，上式右端乘积中的每一个因子 ，于是系数行列式不等于0，即方程组（2.2.4）的解存在且唯一。从而得出下面的结论： 定理2.2.1 若节点 互不相同，则满足插值条件（2.2.3）的次插值多项式（2.2.2）存在且唯一。,在上一节里，不仅指出了插值多项式的存在唯一性，而且
6、也提供了它的一种求法，即通过解线性方程组（2.2.4）来确定其系数 。但是，当未知数个数多时，这种做法的计算工作量大，不便于实际应用，Lagrange插值法就是一种简便的求法。,2.3 求插值多项式的Lagrange法,2.3.1 Lagrange插值基函数 先考虑一下简单的插值问题：对节点 中任意一点 做一 次多项式 使它在该点上取值为1,而在其余点 上取值为零, 即 （2.3.1） 表明 个点 都是 次多项式 的零点，故可设 其中 为待定系数，由条件 可得,对应于每一节点 都能求出一个满足插值条件（2.3.1）的 次插值多项式（2.3.2），这样，由（2.3.2）式可以求出 个 次插插多项
7、式 。容易看出，这组多项式仅与节点的取法有关，称它们为在 个节点上的 次基本插值多项式或 次插值基函数。,（2.3.2）,2.3.2 Lagrange（拉格朗日）插值多项式 利用插值基函数立即可以写出满足插值条件（2.2.3）的 次插值多项式 （2.3.3） 事实上，由于每个插值基函数 都是 次多项式，故其线性组合（2.3.3）必是不高于 次的多项式，同时，根据条件（2.2.1）容易验证多项式（2.3.3）在节点 处的值 为 ，因此，它就是待求的 次插值多项式 。形如(2.3.3)的插值多项式称为拉格朗日插值多项式，记为,（2.3.4）,令，由（2.3.4）即得两点插值公式 （2.3.5） 即
8、 （2.3.6） 这是一个线性函数，用线性函数 近似代替函数 ，在几何上就是通过曲线 上两点 做一直线 近似代替曲线 （见图2.3.1)，故两点插值又名线性插值。,令 ，由（2.3.4）又可得常用的三点插值公式： 这是一个二次函数 ，用二次函数近似代替函数 ，在几何上就是通过曲线 上的三点 作一抛物线 ，近似地代替曲线 （图2.3.1），故称为三点插值(二次插值)。,（2.3.7）,图2.3.1,例2.3.1 已知 分别用线性插值和抛物插值求 的值。 解 因为115在100和121之间，故取节点 ， ，相应地有 ， ，于是，由线性插值公式（2.3.5）可得 故用线性插值求得的近似值为：,图2.
9、3.2,仿上，用抛物插值公式（2.3.7）所求得的近似值为： 将所得结果与 的精确值 相比较，可以看出抛物插值的精确度较好。为了便于上机计算，我们常将拉格朗日插值多项式（2.3.4）改写成公式（2.3.8）的对称形式,（2.3.8）,编程框图如图2.3.3，可用二重循环来完成 值的计算，先通过内循环，即先固定 ，令 从0到 累乘求得 然后再通过外循环，即令 从0到 ，累加得出插值结果,图2.3.3,2.3.3 插值余项 在插值区间 上用插值多项式 近似代替 ，除了在插值节点 上没有误差以外，在其他点上一般有存在误差的。若记 则 就是用 近似代替 时所产生的截断误差，称为插值多项式 的余项。 关
10、于误差有如下定理2.3.1中的估计式。 定理2.3.1 设 在区间 上有直到 阶导数, 为区间 上 个互异的节点， 为满足条件: 的 次插值多项式，则对于任何 有,（2.3.9）,其中 且依赖于 证明 由插值条件 知 ，即插值节点都是 的零点,故可设 (2.3.10) 其中 为待定函数。下面求 。对区间 上异于 的任意一点 作辅助函数： 不难看出具有如下特点 （1） （2）在 上有直到 阶导数，且,(2.3.11),（2.3.12）,等式（2.3.11）表明 在 上至少有 个互异的零点，根据罗尔(Rolle)定理，在 的两个零点之间， 至少有一个零点，因此， 在 内至少有 个互异的零点，对 再
11、应用罗尔定理，推得 在 内至少有 个互异的零点。继续上述讨论，可推得 在 内至少有一个零点，若记为 ，则 ，于是由（2.3.12）式得 将它代入(2.3.10)即得（2.3.9）。对于 ，（2.3.9）显然成立。,例2.3.2 在例2.3.2中分别用线性插值和抛物插值计算了 近似值，试估计它们的截断误差。 解 用线性插值求 的近似值，其截断误差由插值余项公式（2.3.9）知 现在 ， ， ，故,当用抛物插值求 的近似值时，其截断误差为 现在 ， ， 代入，即得,2.3.4 插值误差的事后估计法 在许多情况下，要直接应用余项公式（2.3.9）来估计误差是很困难的，下面将以线性插值为例，介绍另一种
12、估计误差的方法。 设 且 为已知，若将用 两点做线性插值求得 的近似值为 ，用 两点作线性插值所求得 的近似值记为 ，则由余项公式（2.3.9）知： 假设 在区间 中变化不大，将上面两式相除，即得近似式,即 近似式（2.3.13）表明，可以通过两个结果的偏差 来估计插值，这种直接利用计算结果来估计误差的方法，称为事后估计法。,（2.3.13）,在例2.3.1中，用 做节点，算得的 近似值为 ，同样，用 做节点，可算得 的另一近似值 。 通过（2.3.13）可以估计出插值 的误差为：,2.4 求插值多项式的Newton法,由线性代数可知，任何一个不高于 次的多项式，都可表示成函数 的线性组合，即
13、可将满足插值条件 的 次多项式写成形式 其中 为待定系数。这种形式的插值多项式称为牛顿Newton插值多项式，我们把它记成 ,即 因此，牛顿插值多项式 是插值多项式 的另一种表示形式,与拉格朗日插值多项式相比较，不仅克服了“增加一个节点时整个计算机工作必须重新开始”见例2.3.1的缺点，而且可以节省乘除法运算次数。同时，在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念，又与数值计算的其它方面有着密切的关系.,（2.4.1）,2.4.1 向前差分与Newton（牛顿）向前插值公式 设函数 在等距节点 处的函数值 为已知，其中 是正常数，称为步长，称两个相邻点 和 处函数值之差 为函数 在点 处以 为步长
14、的一阶向前差分简称一阶差分，记 ，即 于是，函数 在各节点处的一阶差分依次为 又称一阶差分的差分 为二阶差分。 一般地，定义函数 在点 处的 阶差分为： 为了便于计算与应用，通常采用表格形式计算差分，如表2.4.1所示。,在等距节点 情况下，可以利用差分表示牛顿插值多项式2.4.1 的系数，并将所得公式加以简化。事实上，由插值条件 即可得 。,表2.4.1,再由插值条件 可得： 由插值条件 可得： 一般地，由插值条件 可得: 于是，满足插值条件的插值多项式为：,令 并注意到 则可简化为 这个用向前差分表示的插值多项式，称为牛顿向前插值公式，简称前插公式。它适用于计算表头 附近的函数值。 由插值余项公式（2.3.9），可得前插公式的余项为：,（2.4.2）,（2.4.3）,例2.4.1 从给定的正弦函数表表2.4.2左边两列出发计算 ,并估计截断误差。,表2.4.2,解 因为0.12介于0.1与0.2之间，故取 ，此时 为求 构造差分表2.4.2，表中长方形框中各数依次为 在 处的函数值和各阶差分。若用线性插值求 的近似值，则由前插公式（2.4.2）立即可得 用二次插值得：,用
