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1、毕业设计(论文)文献综述 题 目：浅谈“循环矩阵”的性质及应用学 院：数理与信息学院学生姓名：鲍亨忠 学 号：080601114专业：数学与应用数学（师范类）班 级：B08数学指导老师：王小双起止日期：2012.02.12-2012.03.15 2012年 3月15日循环矩阵的概念是于1885年首先提出来的, 所谓的循环矩阵是指形如矩阵其中, 这样的矩阵称为数域的循环矩阵. 循环矩阵自提出以来, 直到1950-1955年, Good等人开始分别对循环矩阵的逆, 行列式及其特征值进行了相应地研究1-2. 目前有关循环矩阵的问题依然是大家喜欢和热爱研究的一个热点.自1950年以来, 循环矩阵被数学
2、界高度重视, 发展迅速, 各种新的循环矩阵概念也被相继提出, 已有十几种: 如向后循环矩阵, 循环布尔矩阵, -(块)循环矩阵, 循环矩阵, 向后(对称)循环矩阵, 块循环矩阵等等5-7. 许多数学工作者对它进行了大量研究, 得出很多成果. 比如在文献6给出了以下几个性质: (1) 对于任意两个循环矩阵与来说, 显然有也是循环矩阵, 也是循环矩阵, 并且. 即任意两个循环矩阵都是可交换的.(2) 任意的阶循环矩阵都可以用基本循环矩阵线性表出, 即,其中基本循环矩阵,.,.(3) 基本循环矩阵是线性无关的.在文献3中还循环矩阵的以下几个性质:(4) 设都是数域上阶循环矩阵, 数,那么也都是阶循环
3、矩阵. 性质3表明: 循环矩阵对于通常的矩阵的加法 数乘矩阵以及矩阵的转置运算都是封闭的.(5) 若是阶循环矩阵, 且是可逆, 那么也是循环矩阵.(6) 复数域上任意一个阶循环矩阵都可以对角化, 更一般地, 可由同一个复阶可逆矩阵, 使复数域上任意阶循环矩阵同时对角化.也可以换言之,(7) 任何一个循环矩阵在复数域上都与一个对角矩阵相似4.(8) 若是复数域上的阶循环矩阵, 那么的行列式, 其中,是全部次单位根, .(9) 循环矩阵的伴随矩阵是循环矩阵.(10) 若循环矩阵如前面定义, 则其中,即为所有次单位根. 即循环矩阵相似于对角矩阵.从性质(10)可推出以下几个性质: (11) 若循环矩
4、阵可逆, 则逆矩阵为, 其中阶矩阵, 它的共轭矩阵, 是方程的单位根. (12) 循环矩阵的特征值为, 从而它的秩为中非零的个数.(13) 循环矩阵可逆的充要条件是方程无单位根.在线性代数中, 循环矩阵是一种特殊形式的矩阵, 它的行向量的每个元素都是前一个行向量各元素依次右移一个位置得到的结果. 由于可以用离散傅立叶变换快速解循环矩阵, 所以在数值分析中有重要的应用.近年来, 循环矩阵类已成为矩阵理论和应用数学领域中的一个非常活跃的和重要的研究方向, 而它之所以会引起数学工作者如此大的兴趣, 是因为循环矩阵是一类具有特殊结构且有良好性质的矩阵, 并且是非常重要的矩阵, 同时它应用非常广泛的一类
5、矩阵, 如在编码理论, 数理统计, 理论物理, 固态物理, 结构计算, 分子轨道理论, 数学图象处理等方面应用很广. 而循环矩阵的逆特征值问题, 在力学振动系统设计, 分子结构理论, 线性多变量控制理论, 解多项式方程及数值分析等领域中也经常出现. 例如在解四次多项式方程, 考虑根的精确表达式这一问题, 首先考虑循环矩阵.这里, , 次单位根是和. 由矩阵的第一行组成的多项式为:.通过计算可得矩阵的特征值为和, 对应的特征向量分别为 ,.矩阵的特征多项式是. 因此的解为. 数学循环矩阵当中不光在解多项式方程里面有很大的应用, 还在衍生出其他类型的循环矩阵. 1950年以来, 循环矩阵被数学界高
6、度重视, 发展迅速, 各种新的循环矩阵概念也被相继提出, 已有十几种: 如向后循环矩阵, 循环布尔矩阵, (块)循环矩阵和循环矩阵, 向后(对称) 循环矩阵, 块循环矩阵等等. 许多数学工作者对它进行了大量研究, 得出很多成果. 本文在对已有文献进行深入讨论和研究的基础之上进行分析总结, 了解我们现在对数学循环矩阵性质和应用的实际的现状综合, 整理关于循环矩阵的性质及应用, 并在此基础上进行进一步的讨论.参考文献1 Dan Kalman and James E.White, Polynomial Equations and Circulant MatricesJ, The Mathematic
7、al Association of America, 2001.11(18), 821-8402 Philip Davis, Circulant MatricesM, Wiley, New York, 1979, 12-253 张盛虞, 关于循环矩阵的一些性质J, 赣南东南民族师范高等专科学校学报, 2006.12 第24卷第6期4 吴世轩, 循环矩阵的若干性质及应用J, 南方冶金学院学报, 2002年1月第23卷第1期5 徐春, 一类特殊矩阵的性质及求逆方法, 科技传播J, 2010.116 李天增, 王瑜, 循环矩阵的性质及求逆方法J, 四川理工学院学报(自然科学版), 2009 年8月第22卷第4期7 赵立宽, 岳晓鹏, 杜学知, 关于循环矩阵的几个性质的推广J, 曲阜师范大学学报, 2006年4月第32卷第2期 8 郭训香, 吴冬香, 矩阵的一些性质J, 赣南师范学院学报2007年第6期9 江兆林, 周章鑫, 循环矩阵M, 成都科技大学出版社, 1999年1月10 石生明, 王萼芳, 高等代数M, 高等教育出版社(第三版), 1987.03
