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1、第16章 结构的极限荷载,16-1 概述,16-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态,16-3 超静定梁的极限荷载,16-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理,16-5 刚架的极限荷载,16-7 小结,16-6 用求解器求极限荷载(略),16-1 概 述,弹性设计方法 以许用应力为依据确定截面的尺寸或进行强度验算的作法。 缺点:没有考虑材料的塑性特性,不经济。,2. 塑性设计方法 考虑材料的塑性变形,确定结构破坏时所能承担的荷载(极限荷 载),以此为依据得到容许荷载的方法。,结构塑性分析中,为简化计算将材料简化 为理想弹塑性材料,其应力应变关系如图示:,OA段:线弹性阶段,应力-应变为线性关系 AB
2、段:塑性流动状态,一个应力对应不同的 应变。,以理想弹塑性材料的矩形截面梁处于纯弯曲状态为例:,随M的增大,梁截面 应力的变化如图所示:,图(b):弹性阶段,弯矩M为:,图(c):弹塑性阶段,y0部分为 弹性区,称为弹性核。,图(d):塑性流动阶段,y00。 弯矩M为:,16-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态,塑性铰:弯矩达到极限弯矩时的截面。,塑性铰只能沿弯矩增大方向发生有限的相对转角单向铰。,图(a)为只有 一个对称轴的截面,图(b)为弹性阶段:应力直线分布,中性轴过截面形心;,图(c)为弹塑性阶段:中性轴随弯矩的大小而变化;,图(d)为塑性流动阶段:受拉区和受压区的应力均为常量。 A1(受
3、拉区面积)= A2(受压区面积),Mu为,梁在横向荷载作用下的弯曲问题理想弹塑性材料,加载初期:各截面的MMs。继续加载,直到某个截面M=Ms, 弹性阶段终结。此时的荷载弹性极限荷载FPs。,荷载FPs :梁中形成塑性区。,加大荷载:在某截面处M=Mu,形成塑性铰。 承载力无法增加极限状态 此时的荷载极限荷载FPu。,梁的极限荷载可根据塑性铰截面的弯矩=极限值的条件,利 用平衡方程求出。,例16-1 设有矩形截面梁如图(a),试求极限荷载FPu。,解:由M图可知,塑性铰将在跨中 截面形成,截面弯矩=Mu,如 图(b)。,由静力条件:,得极限荷载:,1. 超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点,静定
4、梁:只要一个截面出现塑性铰,梁就成为机构,丧 失承载力以至破坏。 超静定梁:具有多与约束,必须出现足够多的塑性铰,才 能使其成为机构,丧失承载力以至破坏。,以图(a)所示等截面梁为例说明。,图(b)为弹性阶段(FP FPs)的M图,截面弯矩最大。,16-3 超静定梁的极限荷载,FPFPs后,塑性区在A附近形 成并扩大,在A截面形成第一个塑性 铰,M图如图(c)。,FP继续增加,荷载增量引起的 弯矩增量图相应于简支梁的弯矩 图,如图(d)。第二个塑性铰出现在 C截面,梁变为机构。,由平衡条件,得极限荷载,利用虚功原理求FPu,图(e)为 破坏机构的一种可能位移。,外力作功为,内力作功为,由虚功方
5、程,得,超静定结构极限荷载计算的特点 (1)只需考虑最后的破坏机构; (2)只需考虑静力平衡条件; (3)不受温度变化和支座位移等的影响。,例16-2 试求图(a)所示变截面梁的极限荷载。,(1)当截面D、B出现塑性铰时如图(b),此时M图如图(c),MA=3Mu,则此破坏机构实现的条件是,由图(b)的可能位移列虚功方程,得极限荷载,(2)当截面D、A出现塑性铰时如图(a),截面D的弯矩达到极限值Mu 截面A的弯矩达到极限值,弯矩图如图(b),截面B的弯矩,若MBMu,此破坏机构不能出现,此时,即此破坏机构的实现条件是:,由图(a)的可能位移列虚功方程,得极限荷载,3. 讨论,如果,图(a)、
6、图(b)所示的破坏机构都 能实现。此时,A、B、D三个截面 都出现塑性铰。,可得极限荷载,2. 连续梁的极限荷载,条件:梁在每一跨度内为等截面; 荷载的作用方向相同,并按比例增加。,结论:连续梁只可能在各跨独立形成破坏机构;如图(a)、(b) 不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构。如图(c),连续梁极限荷载的计算方法: 1)对每一单跨破坏机构分别求 出相应的破坏荷载; 2)取其最小值即为极限荷载。,例16-3 图(a)所示连续梁中,每跨为等截面梁。AB和BC跨的正极限 弯矩为Mu,CD跨的正极限弯矩为2Mu;又各跨负极限弯矩 为正极限弯矩的1.2倍。试求此连续梁的极限荷载qu。,解:AB跨破坏
7、时如图(b),得,BC跨破坏时如图(c),得,CD跨破坏时如图(d),得,极限荷载,比例加载:所有荷载变化时都彼此保持固定的比例,可用一个 参数FP表示; 荷载参数FP只是单调增大,不出现卸载现象。,假设条件:材料是理想弹塑性的; 截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等; 忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。,结构的极限受力状态应满足的条件: (1)平衡条件:结构的整体或任一局部都能维持平衡; (2)内力局限条件:任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩; (3)单向机构条件:结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。,16-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理,可破坏荷载:对于任一单向破坏机构,用平衡
8、条件求得的荷载 值,用 表示。,可接受荷载:如果在某个荷载值的情况下,能够找到某一内力 状态与之平衡,且各截面的内力都不超过其极限 值,此荷载值称为可接受荷载用 表示。,可破坏荷载 只满足平衡条件和单向机构条件。 可接受荷载 只满足平衡条件和内力局限条件。,极限荷载同时满足平衡条件、内力局限条件和单向机构条件; 极限荷载既是可破坏荷载,又是可接受荷载。,(1)基本定理: 可破坏荷载 恒不小于可接受荷载 ,即,(2)唯一性定理:极限荷载值是唯一确定的。,(3)上限定理(极小定理):可破坏荷载是极限荷载的上限; 即极限荷载是可破坏荷载中的极小值。,(4)下限定理(极大定理):可接受荷载是极限荷载的
9、下限; 即极限荷载是可破坏荷载中的极大值。,由上限定理和下限定理,可得出精确解的上下限范围,取 极小值便得到极限荷载的精确解; 唯一性定理可配合试算法来求极限荷载。,例16-4 试求图(a)所示梁在均布荷载作用下的极限荷载qu。,解:梁处于极限状态时,A端出现塑性 铰,另一个塑性铰C有待确定。,图(b)为一破坏机构,塑性铰C的 坐标为x。相应的可破坏荷载为 。,由虚功方程,得,令,得,解,由x2求得极限荷载,基本假设: (1)当出现塑性铰时,塑性区退化为一个截面(塑性铰处的 截面),其余部分仍为弹性区。 (2)荷载按比例增加,且为结点荷载,塑性铰只出现在结点 处。 (3)每个杆件的极限弯矩为常
10、数,各杆的极限弯矩可不同。 (4)忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。,增量变刚度法的基本思路:把非线性问题转化为分阶段的几 个线性问题。,16-5 刚架的极限荷载,方法的特点: (1)把总的荷载分成几个荷载增量,进行分阶段计算增量法; (2)对每个荷载增量按弹性方法计算,但不同阶段采用不同的刚 度阵变刚度法。,以图(a)所示超静定梁为例说明。,(1)弹性阶段:从零荷载开始到第一 个塑性铰出现。,FP=1作用下的弯矩图如图(b)。,控制截面A和B的弯矩组成弯矩向量:,与极限弯矩的比值为:,最小比值发生在A点,其值为:,最小比值用FP1来表示,当荷载增大到,相应的弯矩向量M1为:,当FP=FP1时,
11、截面A出现第一个塑性铰,弹性阶段终结。,(2)一个塑性铰阶段:从第一个塑性铰形成到第二个塑性铰出现,截面A改为单向铰结点,结构修改为 如图(a)。第二个塑性铰会出现在截面B。 此时所施加的荷载增量为:,荷载增量引起的弯矩增量为:,M2图如图(b),(3)极限状态:出现两个塑性铰后,结 构成为单向机构。弯矩 图如图(c) 。,极限荷载FPu为,2. 单元刚度矩阵的修正 新的塑性铰出现时,在一些单元中,杆端应修改为铰支端。,图(a)所示单元两端刚结,单元刚度阵已有。,(1)在 端出现塑性铰,如图(b)。,单元刚度阵为:,(2)在 端出现塑性铰,如图(c)。,(2)在 和 端同时出现塑性铰,如图(d
12、)。,3. 计算步骤-求刚架极限荷载(比例加载,荷载用荷载参数FP表示),(1)刚架承受荷载FP=1。形成整体刚度阵K求刚架的结点位移。 由单元刚度阵 各单元杆端力,各控制截面弯矩向量,此时,第一个塑性铰出现在单元e1的 端,第一阶段结束。,(3)e1单元的单元刚度阵修改为 ,整体刚度阵修改为K2。,(4)检验K2是否奇异, 0,结构未达到极限状态。修改后的 结构承受FP=1,由K2 求刚架的结点位移,由 或 各 单元杆端力。各控制截面弯矩向量为,(5)第二阶段终结时,各控制截面的弯矩增量,荷载的累加值,弯矩的累加值,此时,第二个塑性铰出现在单元e2的 端,第二阶段结束。,(6)重复第(3)、
13、(4)、(5)步的计算,直到第n阶段 =0为止,结 构成为机构,达到极限状态。极限荷载为:,例16-6 试用增量刚度法求图(a) 所示刚架的极限荷载。,解 (1)第一阶段计算: 图如图(b)。,第一个塑性铰出现在结点D的柱 端截面。第一阶段终结时的荷载为:,M1图如图(c)所示。,(2)第二阶段计算:截面D改为铰结 点,并修改刚度阵。 图如图(a)。,E截面的 比值最小。,第二阶段终结时,荷载,弯矩的累加值,如图(b),M2图如图(c),第二个塑性 铰在E截面出现。,(3)第三阶段计算:截面E改为铰结 点,并修改刚度阵。 图如图(a)。,A截面的 比值最小。,第三阶段终结时,如图(b),荷载,弯矩的累加值,M3图如图(c),第三个塑性 铰在A截面出现。,(4)第四阶段计算:截面A改为铰结 点,并修改刚度阵。 图如图(a)。,C截面的 比值最小。,第四阶段终结时,如图(b),荷载,弯矩的累加值,M4图如图(c),第四个塑性 铰在C截面出现。,(5)极限状态 截面D、E、A、C皆改为铰结点,并修改刚度阵。 此时K阵为奇异阵刚架变为机构极限状态。 FP4即为极限荷载:,16-7 小结,1 比例加载时,判定极限荷载的一般定理是计算极限荷载的理论依据,一共有4个,要了解他们的应用条件,2 刚架极限荷载的计算方法还有机构法、试算法、机构叠加法等方法。,