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1、第七章,方差分析,本章内容,1. 方差分析原理 2. 单因素方差分析,第一节 方差分析原理,一、问题提出,考察下列例子： 某厂使用四种不同颜色对产品进行包装，经过在五个城市的试销，获得销售数据如下（单位：万盒），试分析包装颜色对于销售量是否有影响。,二、基本概念,比较组间方差是否可以用组内方差来进行解释，从而判断若干组样本是否来自同一总体。 ANOVA：Analysis Of Variance 方差分析可以一次检验多组样本，避免了t检验一次只能比较两组的缺陷。,观察数据的列平均值，列平均值的差异反映出不同颜色包装的销售业绩差异。此时，需要判断这种差异与同一颜色包装在不同城市间的差异相比，是否显
2、著。如果不显著，则这种平均值的差异属于偶然差异。,三、方差分析的基本思想,计算观察值的组间方差和组内方差，并计算两者的比值，如果该比值比较小，说明组间方差与组内方差比较接近，组间方差可以用组内方差来解释，从而说明组间差异不存在。 建立原假设 H0：各组平均数相等 构造统计量 F组间方差组内方差 在计算组间方差时，使用自由度为(r-1)，计算组内方差时，使用自由度为(n-r)。 F满足第一自由度为(r-1)，第二自由度为(n-r)的F分布。 若F值大于0.05临界值，则拒绝原假设，认为各组平均数存在差异。,四、方差分析的基本条件和一般步骤,前提条件： （1）因素的每个水平是可以严格控制的。 （2
3、）试验的结果可以看做抽自总体的简单随机样本，各样本之间是相互独立的。,（2）计算检验统计量F值,（1）建立假设，确定检验水准,H0：三个总体均数相等，即三组工作人员的体重指数总体均数相等 H1：三个总体均数不等或不全相等 a=0.05,一般步骤:,（3）确定p值，作出统计推断,P2,45=3.20-3.218.87，本次F值处于F界值之外，说明组间均方组内均方比值属于小概率事件，因此拒绝H0，接受H1，三个总体均数不等或不全相等,五、数学模型,第二节 单因素方差分析,F检验： 1. 检验两个或多个总体的均值是否相等 2. 变量 一个名义自变量 两个或多个水平 3. 用于分析随机实验设计,单因素
4、方差分析F检验假设,1. 随机错误 独立随机样本 2. 正态分布 总体正态分布 3. 方差相同 总体方差相同,单因素方差分析F检验假设,H0: 1 = 2 = 3 = . = p 所有总体均值相等 没有分析影响 Ha: 并不是所有总体的均值相等 至少一个总体均值不等 分析影响1 2 . p is wrong,X,f(X),1,=,2,=,3,X,f(X),1,=,2,3,为什么产生差异?,有些处置变量不同于随机变量,组内差异,组间差异,A,B,不同的处理差异 相同的随机差异,Possible to conclude means are equal!,0,0,0,0,1. 比较两变量均值是否相等
5、 2. 比较基础是方差之比率 3. 如果处置差异大于随机差异，则均值 不等 4. Variation measures are obtained by artitioning? total variation,单因素方差分析 基本思想,单因素方差分析 总离差的分类,由于处理带来的离差,随机抽样带来的离差,总离差,误差平方和 组内平方和 组内离差,平方和的处理 样本内平方和 样本间平方和 组内离差,总离差,X,Group 1,Group 2,Group 3,Response, X,X11,处理离差,X,X3,X2,X1,Group 1,Group 2,Group 3,Response, X,随机
6、离差,X2,X1,X3,Group 1,Group 2,Group 3,Response, X,单因素方差分析F检验 检验统计量,1. 检验统计量 F = MST / MSE MST 是处理均方 MSE 是误差均方 2. 自由度 1 = p -1 2 = n - p p = # 组数 n = 总样本大小,单因素方差分析 汇总表,p - 1,SST,MST =,SST/(p - 1),MST,MSE,n - p,SSE,MSE =,SSE/(n - p),n - 1,SS(Total) =,SST+SSE,方差来源,自由度,平方和,均方,F,处理方,误差,总离差,单因素方差分析F检验 临界值,如
7、果均值相等, F = MST / MSE 1. 只有拒绝,永远单尾,F,p,n,p,(,),1,0,Reject H,0,Do Not,Reject H,0,F,?1984-1994 T/Maker Co.,单因素方差分析F检验 例子,作为一产品经理, 想知道3种机器是否有不同的运行时间. 安排了15个有相同经 验的工人, 每台机器5个人,. 以 .05为置信水平, 3台机器的运行时间是否有差异?,Mach1 Mach2 Mach3 25.40 23.40 20.00 26.31 21.80 22.20 24.10 23.50 19.75 23.74 22.75 20.60 25.10 21.
8、60 20.40,F,0,3.89,单因素方差分析F检验 方法,H0: 1 = 2 = 3 Ha: Not all equal = .05 1 = 2 2 = 12 临界值,检验统计量 决策: 结论: :, = .05,汇总表,From Computer,离差来源,自由度,平方和,均方,F,Treatment,(Machines),3 - 1 = 2,47.1640,23.5820,25.60,Error,15 - 3 = 12,11.0532,.9211,Total,15 - 1 = 14,58.2172,F,0,3.89,单因素方差分析F检验方法,H0: 1 = 2 = 3 Ha: Not
9、 all equal = .05 1 = 2 2 = 12 临界值,检验统计量 决策: 结论: :,当 = .05时拒绝,总体均值之间存在差异, = .05,F,MST,MSE,23,5820,9211,25,6,.,.,.,单因素方差分析F检验 趣味思考,假定你是 微软公司的培训者. 用4种方法培训12个人,他们的学习时间是否不同( =.05)? M1 M2 M3 M4 10 11 13 18 9 16 8 23 5 9 9 25 利用下表.,?1984-1994 T/Maker Co.,方差来源,自由度,均方和,均方,F,处理,(方法),348,误差,80,总计,F,0,4.07,单因素方
10、差分析F检验方法,H0: 1 = 2 = 3 = 4 Ha: Not all equal = .05 1 = 3 2 = 8 临界值,检验统计量 决策: 结论: :, = .05,汇总表,方差来源,自由度,平方和,均方,F,),4 - 1 = 3,348,116,11.6,12 - 4 = 8,80,10,12 - 1 = 11,428,处理,(方法),误差,总计,F,0,4.07,单因素方差分析F检验方法,H0: 1 = 2 = 3 = 4 Ha: Not all equal = .05 1 = 3 2 = 8 临界值,检验统计量 决策: 结论: :, = .05,F,MST,MSE,116,10,11,6,.,F,0,4.07,单因素方差分析F检验方法,H0: 1 = 2 = 3 = 4 Ha: Not all equal = .05 1 = 3 2 = 8 临界值,检验统计量 决策: 结论: :,当 = .05时拒绝,总体均值不同, = .05,F,MST,MSE,116,10,11,6,.,均值的多元比较过程,1. 哪种总体均值不同 例子: 1 = 2 3 2. 检验之后的步骤 拒绝原假设后才做 3. 方法: Bonferroni, Scheff? & Tukey,2 Groupings,
