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1、第八章,教学目的,了解相关分析的意义和作用 掌握测定现象之间相关程度和建立回归模 型的方法 会计算相关系数，一元回归方程参数。,第一节 简单线性相关分析 第二节 一元线性回归分析 第三节 多元线性回归分析,第八章 相关与回归,相关和回归分析是研究事物的相互关系，测定它们联系的紧密程度，揭示其变化的具体形式和规律性的统计方法，是构造各种经济模型、进行结构分析、政策评价、预测和控制的重要工具。,第一节 简单线性相关分析,一、变量之间的关系 客观事物或现象之间总是存在着相互联系、相互制约的关系。这些关系反映到数量上就是变量间的关系。变量之间的关系一般分为两类： （一）函数关系（也称确定性关系） （二
2、）相关关系（也称非确定性关系）,5,Y = f (x),二、相关关系的分类,6,(一) 根据相关关系涉及变量的多少,单相关,复相关,(二)按相关关系表现形态的不同,直线相关,曲线相关,(三) 根据相关关系的变化方向（在直线相关中）,7,正相关,负相关,（四）按相关的程度,完全相关,不完全相关,不相关（零相关）,一元相关,多元相关,负 相 关,正 相 关,线性相关,曲线相关,散点图 (scatter diagram),相关分析的主要内容 有两方面内容：一是确定现象之间有无相关关系；二是确定现象之间相关的形态和相关的密切程度。 （一）相关关系的判断 1定性分析。在进行相关分析之前，首先根据研究者的
3、理论知识、专业知识和实践经验，对客观现象之间是否存在相关关系，以及有何种相关关系做出判断，这就是定性分析。 2相关表。相关表就是根据现象之间的原始资料，将一变量的若干变量值按从小到大的顺序排列，并将另一变量的值与之对应排列形成的统计表。 3相关图。相关图又称散点图，它是根据相关表中的数据，在直角坐标系中绘制的图形。通常，以x轴代表自变量，以y轴代表因变量，将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来，用以表明相关点的分布状况。,相关图,11,也叫散点图，是在分析两个变量之间的关系时， 将对应的数据（x，y）在平面坐标上用点画出来， 通过点的分布可以初步判断现象x和y之间有无相关关系。,x,
4、散点图,y,三、相关关系的确定 相关系数,总体相关系数,样本相关系数,相关系数是标准化了的协方差,相关系数 (计算公式), 样本相关系数的计算公式,或化简为,用相关系数表示的相关程度的等级,14,1. r0：不相关 2. r 0.3:极低度相关 3. 0.3 0.8：高度相关 r1：完全相关,r0 正相关；r0 负相关,相关系数的性质 (取值及其意义的图解),r,二、回归分析和相关分析的联系与区别,1理论和方法具 有一致性；,2无相关就无回归， 相关程度越高，回归越好；,3相关系数和回归系数 方向一致，可以互相推算。,1相关分析是研究变量之间的共变关系 ，x与y对等，回归分析中，x与y要确定自
5、变量和因变量；,2相关分析中x，y均为随机变量，回归分析中，只有y为随机变量；,3相关分析测定相关程度和方向，回归分析用回归模型进行预测和控制。,第二节 一元线性回归分析,一、回归的概念 “回归”（Regression）一词是由英国生物学家FGalton在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。,三、一元线性回归模型,以家庭为单位，某种商品年需求量与该商品价格之间的一组数据如表所示。,从散点图可看出，这些数据描出的点分布在一条直线的附近，而不完全在一条直线上，这是由于Y还受到其它一些随机因素的影响。设这条直线为,四、模型参数的估计 Karl Gauss的最小化图,x,y,(xn , yn),(x1
6、 , y1),(x2 , y2),(xi , yi),由于Q是 ， 的二次函数，并且是非负的，由二次函数的性质可知，Q的最小值总是存在的。根据微积分学中极值原理，需使Q对 ， 的一阶偏导数为零，即,上式经整理后得正规方程组,求解正规方程组得,可以证明最小二乘估计量，具有线性、无偏性和最小方差性。,最小二乘法 ( 和 的计算公式), 根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下,为研究家庭收入和食品支出的关系，随机抽取了10个家庭的样本，得到数据见表7-3所示。试建立收入和支出之间的回归方程，并解释结果,于是，得到收入与支出的一元线性回归方程为,回归方程说明当收入为零时，也必须有217.26元的食品
7、支出，这部分支出可视为基本支出或固定支出水平。收入每增加100元，支出就增加20.23元,（一）拟合优度检验,判定系数（r2）,是对回归模型拟合优度的评价。,x,y,总偏差= 回归偏差 + 剩余偏差,r2表示全部偏差中有百分之几的偏差可由x与y的回归关系来解释。,r的符号同b,五、回归方程的统计检验,（二）回归方程的显著性检验,检验统计量,F,检验假设,= 或,一元线性回归方差分析表,六、利用回归方程进行预测,(一)点预测 设Y与X的回归方程为,已知X的一特定值，利用回归方程求出的估计值为,就是 的预测值，两者之间的偏差为估计标准误（Sxy）,（二）区间预测,给定x0，y0的置信度（1-）的置
8、信区间为：,x,y,X0,0,给定的x0越接 ，y值估计的精确度越高。,第三节 多元线性回归分析,一、多元线性回归模型,二元线性回归模型：,总体多元线性回归模型的一般形式,Y的数学期望E（Y）,随机误差,表明自变量,共同变动引起的Y 的平均变动。也称总体的二元线性回归方差。,常数项，,和Y构成的平面与Y轴的截距,偏回归系数，表示在 固定时 每变化一个单位引起的Y的平均变动；,偏回归系数，表示在 固定时 每变化一个单位引起的Y的平均变动；,随机误差，其理论假定与一元线性回归模型中的 一样。,在多元回归模型中，还要求各自变量之间不存在显著相关，或高度相关也即不得存在多重共线性。,总体多元线性回归模
9、型的一般形式,样本多元线性回归模型的一般形式,二元线性回归模型为：,其数学期望,也称样本（或估计的）二元线性回归方程。,二元线性回归方程的确定,根据实际资料，用最小平方法，即使 ，分别对a、b1、b2求编导并令其为零，求得三个标准方程：,解此联立方程便可得到a、b1、b2。,二、模型参数的估计,三、回归方程的统计检验,（一）拟合优度检验,判定系数,修正的判定系数：,要注意复相关系数同简单相关系数的区别，复相关系数是衡量作为一个整体的与Y的线性关系的密切程度。,估计标准误（Sy（x1、x2）,r2和Sy（x1、x2）都是对回归模型拟合优度的评价指标。 Sy（x1、x2）也是用自变量对因变量进行区
10、间估计的抽样误差。,（二）回归系数的显著性检验,H0: 1=0 , H1: 10; H0: 2=0, H1: 20。,检验统计量：,按显著性水平和自由度 （n-3）查t表可得到临界值,t,0,（三）回归系数的显著性检验,检验统计量：,（k自变量个数）,或,按给定的和自由度（2） 和（n-3）查F表可得到 临界值,F,四、利用回归方程进行预测,Y的平均值的区间估计,Y的特点值的区间估计,式中，,是,即区间估计的抽样误差。,的抽样分布的标准差，,式中，,是,的抽样分布的标准差，,即区间估计的抽样误差。,三、本章主要思考题 1、直线回归分析的特点。 2、直线回归分析的计算。 3、直线相关分析的特点。 4、相关系数的计算。 5、估计标准误差的涵义？,
